Komplexa tal på polär form - Så skrivs talet om

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 4

Komplexa tal på Polär form

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom hur du kan skriva om ett komplext tal på polär form.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
13 votes, average: 4,85 out of 513 votes, average: 4,85 out of 513 votes, average: 4,85 out of 513 votes, average: 4,85 out of 513 votes, average: 4,85 out of 5
13
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
6

Text

Exempel i videon

  • Talet $ z=a+bi $ på polär form.
  • Skriv om talet $ z=3+4i $ på polär form.
  • Skriv $z = -4 + 5i$ på polär form.
  • Skriv $z = -3 – 3i$ på polär form.
  • Skriv $z = 4 – 4i$ på polär form.

Polär form

Ett komplext tal $ z=a+bi $ kan representeras genom att detta ritas ut som en vektor i det komplexa talplanet. Det går då att använda trigonometri för att beskriva det komplexa talet. Nyttan med detta är det blir enklare att dividera, multiplicera och framförallt beräkna potenser med komplexa tal. Ett till användningsområde är att vi kan använda polär form för att lösa ekvationer av typen $z^n=w$.

Så går du över till polär form

För att beskriva ett komplext tal på polär form behövs ett antal olika delar. Vi behöver dels vektorns längd, dvs absolutbeloppet, men också vinkeln mellan den positiva, reella talaxeln och det komplexa talets vektor. Vinkeln kallas för argumentet.

Argumentet beräknas lite olika beroende på i vilken kvadrant som det komplexa talets vektor befinner sig i, exempel på detta hittar du nedan.

Vi har ett komplext tal $ z = a+bi $

Absolutbeloppet ges av $ |z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} $ och argumentet (vinkeln) beräknas genom $ v = arctan(\frac{b}{a}) $.

Det komplexa talet $z$ på polär form blir då

$z = r(cos(v) + isin(v))$

Nedan hittar du exempel på hur du tar fram det komplexa talet på polär form i de fyra kvadranterna i ett komplext talplan.

Exempel 1

Skriv det komplexa talet $ q = 2+4i $ på polär form.

Lösning:

Vi kan åskådliggöra talet på följande vis:

exempel-1-polar-form

Absolutbeloppet blir $ |q|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20} $.

Argumentet blir $ v=arctan(\frac{4}{2})≈63° $.

Alltså blir $q $ på polär form $ q = \sqrt{20}(cos63°+isin63°) $

Exempel 2

Skriv det komplexa talet $ q = -3+4i $ på polär form.

Lösning:

Vi kan åskådliggöra talet på följande vis:

exempel-2-polar-form

Absolutbeloppet blir $ |q|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 $.

Då vektorn finns i den andra kvadranten får vi argumentet
$ v=180-w = 180 – arctan(\frac{4}{3})≈127° $.

Alltså blir $q $ på polär form $ q = \sqrt{20}(cos127°+isin127°) $

Exempel 3

Skriv det komplexa talet $ q = -4-5i $ på polär form.

Lösning:

Vi kan åskådliggöra talet på följande vis:

exempel-3-polar-form

Absolutbeloppet blir $ |q|=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41} $.

Då vektorn finns i den tredje kvadranten får vi argumentet
$ v=180+w = 180 + arctan(\frac{5}{4})≈231° $.

Alltså blir $q $ på polär form $ q = \sqrt{41}(cos231°+isin231°) $

Exempel 4

Skriv det komplexa talet $ q = 3-5i $ på polär form.

Lösning:

Vi kan åskådliggöra talet på följande vis:

exempel-4-polar-form

Absolutbeloppet blir $ |q|=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} $.

Då vektorn finns i den fjärde kvadranten får vi argumentet
$ v=360-w = 360 – arctan(\frac{5}{3})≈301° $.

Alltså blir $q $ på polär form $ q = \sqrt{34}(cos301°+isin301°) $

Kommentarer

  1. Det ser ut som att jag svart rätt men fått fel. Kanske Bör åtgärdas.

    Låt z=4(cos(90°)+isin(90°)), skriv z på formen z=a+ib. Du svarade tyvärr fel
    Ditt svar: z=4i

    Rätt Svar: z=4i

    lkhall
    1. Hej, tack för din kommentar, det korrekta svaret verkar inte ha varit ifyllt i den uppgiften, det är korrigerat.

      Simon Rybrand
  2. Jag sjukt tacksam för dina videos. Läser ingenjör på högskola och fick även jag en smärre chock när jag insåg att ett matte D för 10 år sedan inte hjälpte långt när mattematiken snabbt blev tillämpad. Fortsätt med ditt goa arbete, det hjälper något så fantastiskt! Kommer säkert med någon fråga men än så länge är det sjukt illustrativt och pedagogiskt 🙂

    Sunshineklein
    1. Hej!
      Kul att det hjälper dig, fortsatt lycka till med pluggandet!

      Simon Rybrand
  3. Väldigt klantig svenska där ser jag direkt :P. Så går det när man ivrigt pressar på ”send”.

    Sunshineklein
  4. Angående fråga 7:
    Skriv z=−8+15i på polär form
    FÖRKLARING
    Vektorn för det komplexa talet ligger i andra kvadranten så argumentet beräknas enligt
    v=180−arctan(15/12)≈129°
    Det komplexa talet på polär form kan nu skrivas som
    z=17(cos129°+isin129°)
    ——————-
    Varför divideras 15 med 12? Är det inte arctan(b/a), dvs. 15/8?

    bigr
    1. Jo det skall det vara, det är korrigerat, tack för att du kommenterade detta!

      Simon Rybrand
  5. Hej.

    Runt 4:43 borde inte a i absolut beloppet z bli -4^2? Har det någon betydelse om a och b. Alltså im och re är negativa när du ska räkna ut absolut beloppet?

    IA
    1. Hej
      Det har ingen betydelse om Im z eller Re z är positiva eller negativa för absolutbeloppet. Eftersom vi upphöjer med 2 så kommer det ändå alltid att bli ett positivt tal oavsett om det är negativt eller positivt. Eftersom absolutbeloppet beskriver ett avstånd så kommer detta även alltid att vara positivt.

      Simon Rybrand
      1. Tack så mycket!

        IA
  6. angående fråga 2. borde inte svaret vara absolutbelopp 5? bilden är vilseledande.

    Tacksam att denna tjänst finns.

    Ludvig Johansson
    1. Hej
      Nej bilden skall vara korrekt där, viktigt att se vart markören för 3 är.

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: