...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Komplexa tal på Polär form

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Polär form

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Ett komplext tal $ z=a+bi $ kan representeras genom att detta ritas ut som en vektor i det komplexa talplanet. Det går då att använda trigonometri för att beskriva det komplexa talet. Nyttan med detta är det blir enklare att dividera, multiplicera och framförallt beräkna potenser med komplexa tal. Ett till användningsområde är att vi kan använda polär form för att lösa ekvationer av typen $z^n=w$.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Så går du över till polär form

För att beskriva ett komplext tal på polär form behövs ett antal olika delar. Vi behöver dels vektorns längd, dvs absolutbeloppet, men också vinkeln mellan den positiva, reella talaxeln och det komplexa talets vektor. Vinkeln kallas för argumentet.

Argumentet beräknas lite olika beroende på i vilken kvadrant som det komplexa talets vektor befinner sig i, exempel på detta hittar du nedan.

Vi har ett komplext tal $ z = a+bi $

Absolutbeloppet ges av $ |z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} $ och argumentet (vinkeln) beräknas genom $ v = arctan(\frac{b}{a}) $.

Det komplexa talet $z$ på polär form blir då

$z = r(cos(v) + isin(v))$

Nedan hittar du exempel på hur du tar fram det komplexa talet på polär form i de fyra kvadranterna i ett komplext talplan.

Exempel 1

Skriv det komplexa talet $ q = 2+4i $ på polär form.

Lösning:

Vi kan åskådliggöra talet på följande vis:

exempel-1-polar-form

Absolutbeloppet blir $ |q|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20} $.

Argumentet blir $ v=arctan(\frac{4}{2})≈63° $.

Alltså blir $q $ på polär form $ q = \sqrt{20}(cos63°+isin63°) $

Exempel 2

Skriv det komplexa talet $ q = -3+4i $ på polär form.

Lösning:

Vi kan åskådliggöra talet på följande vis:

exempel-2-polar-form

Absolutbeloppet blir $ |q|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 $.

Då vektorn finns i den andra kvadranten får vi argumentet
$ v=180-w = 180 – arctan(\frac{4}{3})≈127° $.

Alltså blir $q $ på polär form $ q = 5(cos127°+isin127°) $

Exempel 3

Skriv det komplexa talet $ q = -4-5i $ på polär form.

Lösning:

Vi kan åskådliggöra talet på följande vis:

exempel-3-polar-form

Absolutbeloppet blir $ |q|=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{16+25}=\sqrt{41} $.

Då vektorn finns i den tredje kvadranten får vi argumentet
$ v=180+w = 180 + arctan(\frac{5}{4})≈231° $.

Alltså blir $q $ på polär form $ q = \sqrt{41}(cos231°+isin231°) $

Exempel 4

Skriv det komplexa talet $ q = 3-5i $ på polär form.

Lösning:

Vi kan åskådliggöra talet på följande vis:

exempel-4-polar-form

Absolutbeloppet blir $ |q|=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34} $.

Då vektorn finns i den fjärde kvadranten får vi argumentet
$ v=360-w = 360 – arctan(\frac{5}{3})≈301° $.

Alltså blir $q $ på polär form $ q = \sqrt{34}(cos301°+isin301°) $

Exempel i videon

  • Talet $ z=a+bi $ på polär form.
  • Skriv om talet $ z=3+4i $ på polär form.
  • Skriv $z = -4 + 5i$ på polär form.
  • Skriv $z = -3 – 3i$ på polär form.
  • Skriv $z = 4 – 4i$ på polär form.

Kommentarer

Wael Mahrous

Hej!

På exempel 2 i texten så står det först att r = 5, men sedan sätter ni roten ur 20 istället…

Tack för coola tjänsten!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för påpekandet, det är fixat!

Ludvig Johansson

angående fråga 2. borde inte svaret vara absolutbelopp 5? bilden är vilseledande.

Tacksam att denna tjänst finns.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nej bilden skall vara korrekt där, viktigt att se vart markören för 3 är.

IA

Hej.

Runt 4:43 borde inte a i absolut beloppet z bli -4^2? Har det någon betydelse om a och b. Alltså im och re är negativa när du ska räkna ut absolut beloppet?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det har ingen betydelse om Im z eller Re z är positiva eller negativa för absolutbeloppet. Eftersom vi upphöjer med 2 så kommer det ändå alltid att bli ett positivt tal oavsett om det är negativt eller positivt. Eftersom absolutbeloppet beskriver ett avstånd så kommer detta även alltid att vara positivt.

      IA

      Tack så mycket!

bigr

Angående fråga 7:
Skriv z=−8+15i på polär form
FÖRKLARING
Vektorn för det komplexa talet ligger i andra kvadranten så argumentet beräknas enligt
v=180−arctan(15/12)≈129°
Det komplexa talet på polär form kan nu skrivas som
z=17(cos129°+isin129°)
——————-
Varför divideras 15 med 12? Är det inte arctan(b/a), dvs. 15/8?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Jo det skall det vara, det är korrigerat, tack för att du kommenterade detta!

Sunshineklein

Väldigt klantig svenska där ser jag direkt :P. Så går det när man ivrigt pressar på ”send”.

Sunshineklein

Jag sjukt tacksam för dina videos. Läser ingenjör på högskola och fick även jag en smärre chock när jag insåg att ett matte D för 10 år sedan inte hjälpte långt när mattematiken snabbt blev tillämpad. Fortsätt med ditt goa arbete, det hjälper något så fantastiskt! Kommer säkert med någon fråga men än så länge är det sjukt illustrativt och pedagogiskt 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej!
    Kul att det hjälper dig, fortsatt lycka till med pluggandet!

lkhall

Det ser ut som att jag svart rätt men fått fel. Kanske Bör åtgärdas.

Låt z=4(cos(90°)+isin(90°)), skriv z på formen z=a+ib. Du svarade tyvärr fel
Ditt svar: z=4i

Rätt Svar: z=4i

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, tack för din kommentar, det korrekta svaret verkar inte ha varit ifyllt i den uppgiften, det är korrigerat.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel

    Vilket är argumentet för det markerade komplexa talet z i figuren?

    ovning-1-polar-form

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel

    Vilket är absolutbeloppet för det komplexa talet $z$ som åskådliggörs som en vektor i det komplexa talplanet?

    ovning-2-polar-form

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel

    Låt $z=3-i$, beräkna $r$.

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel

    Skriv $z=1+2i$ på polär form.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel

    Hur kan vi beräkna realdelen i polär form?

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel

    Skriv $z=5 -12i$ på polär form

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel

    Skriv $z=-8 +15i$ på polär form

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel

    Låt $z=4(cos(90°)+i sin(90°))$, skriv $z$ på formen $z=a+ib$.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar