Komplexa tal, komplexa talplanet och vektorer - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 4

Komplexa tal, komplexa talplanet och vektorer

Video

I den här genomgången visar vi hur vektorer och komplexa tal fungerar. Dessutom går vi igenom hur man beräknar avståndet mellan två komplexa tal samt hur du kan beskriva områden i det komplexa talplanet.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.

Vad tycker du om videon?

9 votes, average: 4,56 out of 59 votes, average: 4,56 out of 59 votes, average: 4,56 out of 59 votes, average: 4,56 out of 59 votes, average: 4,56 out of 5
9
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
5

Text

Exempel i videon

  • Visualisering av $z = 3 + 2i$ och $q = 2 + 4i$ som vektorer i det komplexa talplanet.
  • Beräkning av längden (absolutbeloppet) av vektorerna till $z=3+2i$ och $q=2+4i$.
  • Beräkning av avståndet mellan $z=1+5i$ och $q=3+i$.
  • Markera området i det komplexa talplanet som beskrivs av $ |z| = 2$  där $z$ är ett komplext tal.
  • Markera området i det komplexa talplanet som beskrivs av $ 1< |z| ≤ 3 $.

Absolutbelopp – Längden på vektorn

I den här genomgången tittar vi på hur man kan beskriva ett komplext tal med en vektor I det komplexa talplanet.Idén är alltså att kunna beskriva riktning och längd för det komplexa med en vektor. Längden på denna vektor beräknas med hjälp av absolutbeloppet. Så om vi har det komplexa talet $z = a + bi$ så ges längden på vektorn genom nedanstånde beräkning.

Längden på vektorn till $z$

$ | z | = | a + bi | = \sqrt{a^2 + b^2} $

Avståndet mellan komplexa tal

Man kan även beräkna avståndet mellan två komplexa tal.

Avståndet mellan $z$ och $q$

Avståndet mellan vektorerna $z$ och $q$ ges genom absolutbeloppet $|z-q|$

Exempel 1

Så om vi har de två komplexa talen $ z = 3 + 2i $ och $ q = 2 + i $ så ges avståndet mellan dessa bägge komplexa tal genom

$ | z – q | = | (3+2i)-(2+i) | = | 1+i | = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $

Beskrivning av områden i det komplexa talplanet

Vi kan också använda absolutbelopp till komplexa tal för att beskriva områden i det komplexa talplanet. Eftersom absolutbeloppet $|z|$ beskriver längden på vektorn $ \vec{z} $ så kan detta användas för att beskriva ett området. Exempelvis beskriver $ |z | ≤ 5 $ alla komplexa tal som finns på ett avstånd mindre eller lika med 5 från origo. Om detta område ritas ut så ser det ut enligt följande:

komplext-talplan-vektorer

Nedan följer några exempel till på där vi beskriver områden i det komplexa talplanet

Exempel 2

Åskådliggör $ | z | < 3 $ i det komplexa talplanet.

Här söker vi alla komplexa tal som befinner sig på ett avstånd som är mindre än 3 från origo.

komplext-talplan-vektorer_2

Notera här ovan att vi har dragit en streckad linje för den yttre cirkeln då absolutbeloppet skall vara mindre än och inte lika med 3.

Exempel 3

Åskådliggör $ -1 ≤ Re z ≤ 3 $ i det komplexa talplanet.

Här söker vi alla z då den reella delen finns i intervallet större eller lika med -1 och mindre eller lika med 3. Detta område visas i bilden nedan.

omrade-komplexa-talplanet

Exempel 4

Åskådliggör $ | z + 2i | = 3 $ i det komplexa talplanet.

Vi kan skriva om $ | z + 2i | = | z – (-2i) | $. Då gäller att vi söker alla $z$ som ligger på avståndet 3 från $ (-2i) $. Detta område, en cirkel med radien 3 och origo i (0,-2i) visas i bilden nedan.

vektorer-avstand.komplexa-talplanet

Kommentarer

  1. Videon fungerar inte:(

    joawes
    1. Hej Joawes, vi testade videon och den fungerar från vår sida för vanliga webbläsare. Dock var det problem med uppspelning via mobil vilket är ordnat nu.

      Simon Rybrand
  2. Runt 6.20 – 144+196 är inte 244! Annars är videon (och alla andra jag kollat på) sjukt bra och lättförstådd! Man lär sig verkligen av att kolla på dem.

    ebbit
    1. (uppdatering: videon är åtgärdad)
      Hej och tack för din kommentar, bra att du reagerade på felet och kommenterade. Detta skall vi åtgärda så snart som möjligt.
      /Simon

      Simon Rybrand
  3. Videon fungerar inte på slutet, den bara laddar.
    Och jag svarade inget, men det stod bra jobbat ändå!
    Är rätt svar 5,1?

    Gina
    1. Hej, när vi testar videon här så fungerar den, kontakta oss gärna så hjälper vi gärna dig vidare för att hitta vart felet kan ligga.

      Ja det stämmer att absolutbeloppet är
      $ \sqrt{26} ≈ 5,1 $. Vi håller på att uppdatera dessa testuppgifter så att det blir mer och bättre förklaringar på dessa.

      Simon Rybrand
  4. Hej!
    Förstår inte riktigt sista exemplet. Är inte -3, -4 osv också mindre än 2? :s

    NISSE-MA
    1. Hej, här är det viktigt att förstå att ett absolutbelopp alltid ger ett ett positivt svar då det är en längd som vi jobbar med. I det här fallet så handlar det också om längden på alla vektorer som är mindre, eller lika med, 2 vilket gör att vi måste beskriva just detta område. Så visst är -3 och -4 mindre än talet 2 men vektorn från origo till dessa tal är större än 2.

      Simon Rybrand
  5. Tack!

    Leila
  6. Åskådliggör |z+2i|=3
    i det komplexa talplanet.
    Vi kan skriva om |z+2i|=|z–(−2i)|z
    2Iz 2i . Då gäller att vi söker alla z som ligger på avståndet 3 från (−2i) 2i. Detta område, en cirkel med radien 3 och origo i (0,-2i) visas i bilden nedan.

    Hej det jag inte förstår är varför man skriver om (z+2i) till z-(-2i) och sen lägger punkten på -2i och inte från början på 2i . Varför blir det fel om man lägger det på 2i och har avstånd 3 från origo. Det är exempel 4.
    Mvh shagufa.

    Shagi
    1. Hej
      När man skall beskriva ett avstånd så görs det med $|z-a|$, dvs det är avståndet mellan punkten a och z. Så här får vi skriva om absolutbeloppet så att att vi har minus där först så att det blir enklare att se vilket avstånd som menas. Dvs att
      $|z+2i|=|z-(-2i)|$

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: