...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Komplexa tal - Imaginära tal

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Komplexa tal- Vad är det?

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

På den reella tallinjen motsvarar varje punkt ett specifikt reellt tal. Mängden av alla reella tal ”fyller” hela tallinjen, utan undantag. Men trots detta finns det ekvationer som saknar lösningar om vi endast söker dem på den reella tallinjen. 

Komplexa tal

För att lösa ekvationer på formen $x^2 = a$ där  $a<0$a<0 måste vi använda oss av komplexa tal. Namnet härstammar från latinets complexus, som översätts sammansatt. De komplexa talen är sammansatta av reella tal och imaginära tal. 

Komplext tal

Tal på formen $ z = a + bi $ motsvarar ett komplext tal

där $a$ är realdelen, $b$ imaginärdelen och $i=\sqrt{-1}$i=1.

$ \mathbf{C}=$ {z = a + bi, där $a$ och $b$ är reella tal och $i$ den imaginära enheten}

Under 1500-talets början gjordes de första beräkningarna med komplexa tal, även om matematikerna som utförde beräkningarna ansåg att kvadratrötter ur negativa tal egentligen inte fanns. Man sa att talen var inbillade, imaginära, till skillnad från de verkliga talen, de så kallade reella

Även om man sedan länge accepterat att komplexa tal är precis lika verkliga som de reella talen lever dess namn kvar.

Exempel 1

Ange realdelen och imaginärdelen för det komplexa talet $ w = 6+4i $

Lösning

Det komplexa talet $ w = 6+4i $ har realdelen $6$6 och imaginärdelen $4$4

Observera att talet $i$i inte ingår i imaginärdelen. Utan bara talen framför.

Mängden av komplexa tal en $\mathbf{C}$, kan definieras med hjälp av enbart reella tal, med tillägget att $i$i har egenskapen $i^2=-1$i2=1. Till följd av det kan räkneregler med de fyra räknesätten tillämpas i likhet med de reella talen. Men mer om det i kommande lektioner.

Imaginära tal

I Matematik 2 fördjupade vi oss i hur man löser andragradsekvationer. En av metoderna vi introducerade är kvadratsots metoden.

Lösningsmetoden går ut på att man drar roten ur båda leden för att finna ekvationens rötter. I vissa fall saknade ekvationen reella rötter. De resultaten fick vi när vi inte kunde hitta ett reellt tal, vars kvadrat blev negativ.

Detta var en av anledningar till att man konstruerade en ny typ av tal. Man ville nämligen kunna lösa ekvationer, av typen $x^2 = a$ där  $a<0$a<0

För att beteckna de nya talen införde man symbolen $i$i med egenskapen att $ i^2 = -1$. Denna nya typ tal, $bi$bi, kallade man för imaginära tal. 

Den imaginära enheten $i$i definieras som ett tal med egenskapen  $i^2=-1$i2=1.

Med hjälp av det nydefinierade talet $i$i  kan vi nu lösa ekvationer på formen $x^2 = a$ där $a<0$a<0.

Exempel 2

Lös ekvationen  $x^2=-1$x2=1 

Lösning

Vi använder kvadratrotsmetoden för att lösa ekvationen.

 $x^2=-1$x2=1           Dra roten ur båda leden

 $x=\pm\sqrt{-1}$x=±1 

Då  $i^2=-1$i2=1   gäller att  $i=\sqrt{-1}$i=1  vilket ger oss lösning

 $x=\pm i$x=±i 

Skulle vi välja att skriva rötterna som komplexa tal får vi  $z_1=i$z1=i och  $z_2=-i$z2=i

För denna lösning gäller att att realdelen $\text{Re }z=0$Re z=0 och imaginärdelen $\text{Im }z=\pm1$Im z=±1.  När realdelen i ett komplext tal saknas kallas talet för ett imaginärt tal.

Exempel 3

Ange realdelen och imaginärdelen för det komplexa talet $ z = -2i $

Lösning

För det  komplexa talet $ z = -2i $ gäller att realdelen $\text{Re }z=0$Re z=0 och imaginärdelen $\text{Im }z=-2$Im z=2 

Talet $ z = -2i $ saknar en realdel och är därmed ett imaginärt tal, eller ett rent imaginära tal.

 

De reella talen utgör en delmängd av de komplexa talen. Det innebär att alla reella tal kan skrivas som komplexa tal. Det görs genom att adderar ett imaginärt tal $0i$0i till det reella talet.

Det komplexa talplanet

Ett komplext talplan är ett bra sätt att visualisera de komplexa talen. Den horisontella axeln representera alla reella tal och den lodräta axeln alla imaginära tal. Det komplexa talet $ w = 3 + 2i $ kan då representeras genom att punkten med koordinaterna $(3, 2)$ markeras i det komplexa talplanet.

Exempel 4

Markera det komplexa talet $ z = -2 + 4i $ i ett komplext talplan.

Lösning

Vi markera realdelen efter den horisontella axeln och imaginärdelen efter den lodräta. 

Punkt i komplexa talplaner

Re $z = -2$ och $Im z = 4$ motsvarar punkten med koordinaterna $(-2, 4)$.

Olika talmängder

Som vi nämnde i lektionen om Tal och Talsystem har matematiken utvecklas genom historien. Nya upptäckter och behov medför upptäckten, eller uppfinnandet, av nya tal.  Talen kan delas upp i bland annat följande delmängder.

tal

Naturligt tal

Alla heltal större eller lika med noll.

$\mathbf{N}=$ { $ 0, \, 1,\, 2,\, 3, \, 4, \, 5, \, …$}

Heltal

Mängden av alla naturliga och negativa heltal.

$ \mathbf{Z}=$ { $ …-2,\, -1,\, 0, \, 1, \, 2…$}

Rationellt tal

Mängden av alla tal som kan skrivas som en kvot av två heltal $a$ och $b$, där $b≠0$.

$ \mathbf{Q}=$ { alla tal $\frac{a}{b}$, där $a$ och $b$ är hela tal och $b≠0$}

Irrationellt tal

Reella tal som inte är rationella. 

Reella tal

Varje punkt på en kontinuerlig tallinje motsvarar ett reellt tal.

$ \mathbf{R}=$ { alla tal på tal linjen}

Komplext tal

Alla tal på formen $ z = a + bi $ där $a$ är realdelen, $b$ imaginärdelen och $i^2=-1$i2=1 motsvarar ett komplext tal.

$ \mathbf{C}=$ {z = a + bi, där $a$ och $b$ är reella tal och $i$ den imaginära enheten}

Vissa av talen finns med i flera olika grupperingar. Inom mattematiken kan man kalla en mängd tal som även ingår i en annan mängd för delmängder.

Vill du repetera dessa talmängder mer grundläggande så finns som sagt mer info om varje mängd i lektionen om tal.

Som vi sett här är det fullt möjligt att definiera eller konstruera nya typer av tal, så länge de besitter de logiska regler som krävs för att man skall kunna räkna med dem. Så det är bara att sätta igång.

Exempel i videon

  • Lösning av ekvationen $ x^2 = -1 $.
  • Markering av $ z = 2+3i $ och $z = -2-i$ i det komplexa talplanet.
  • Markera z = 2 – 3i i det komplexa talplanet.
  • Ange Re z och Im z då z = -4 – 9i.
  • Lös ekvationen x² + 4 = 0

Kommentarer

Komvux Sundsvall Elev

På uppgift 8 i testet står det -100 i ekvationen, men enligt förklaringen ska det vara -1000 (det är bara då svaret stämmer också).

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det står fel där i uppgiftsfrågan, det är korrigerat, tack för att du sade till!

gulatun

hejsan! jag undrar om du kan hjälpa mig med dem här talen?

de komplexa talen z = 2 + 2i och w = 5i

a) Skriv z och w i polär form
b) Bestäm arg(w/z)
c) bestäm exakt absolutbeloppet av |z*w|

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, kika gärna på våra genomgångar om polär form och absolutbelopp och konjugat.

Leila

Tack!

Catarina

Hej!
Om man ska beräkna 3i * 3i vad blir det då?
Jag tycker det borde bli 9i upphöjt till 2, men det svarsalternativet finns inte.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, då blir det
    $ 3i*3i = 9i^2 = 9*(-1) = -9 $
    Viktigt att komma ihåg är att
    $ i^2 = -1 $

magdalena

Hej! Jag undrar om ni kan hjälpa mig med ett tal?

Skriv talet √3+1 på formen re^(iy)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du kan använda Eulers formel för detta, du hittar en genomgång om detta här.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (13)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vi vet att för det komplexa talet $z$z gäller att $\text{Re }z=2$Re z=2 och $\text{Im }z=-9$Im z=9.

    Ange talet på formen $a+bi$a+bi.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad motsvarar  $i$i  i ett tal på formen  $z=a+bi$z=a+bi ?

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad motsvarar  $a$a  i ett tal på formen  $z=a+bi$z=a+bi ?

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad motsvarar  $b$b  i ett tal på formen  $z=a+bi$z=a+bi ?

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad motsvarar  $z$z  i ett tal på formen  $z=a+bi$z=a+bi ?

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K

    Dra den röda punkten i det komplexa talplanet så att den representerar det komplexa talet  $z=2+4i$z=2+4i. Den horisontella axeln är alla reella tal och den lodräta axeln alla imaginära tal.

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel

    Dra den röda punkten i det komplexa talplanet så att den representerar det komplexa talet $ z = -3i $.
    (Den horisontella axeln är alla reella tal och den lodräta axeln alla imaginära tal)

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är realdelen till  $z=2+3i$z=2+3i ?

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    E C A
    B 1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vad är imaginärdelen av  $z=4-2i$z=42i ?

    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket komplext tal representerar punkten i grafen?

    Punkt i komplexa talplanet

    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket komplext tal representerar punkten i grafen?

    Punkt i komplexa talplanet

    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket komplext tal representerar punkten i grafen?

    Punkt i komplexa talplanet

    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    E C A
    B 1
    P 1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $ -1000 – 10x^2 = 0 $

    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.