Komplexa tal - Lär dig hur ett komplext tal fungerar

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 4

Komplexa tal – Imaginära tal

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här genomgången får du lära dig om komplexa tal och imaginära tal. Vi börjar att titta på en typ av nya tal som kallas för imaginära tal. Vi förklarar orsaken till att man använder dessa tal och börjar förklara grunderna till just de komplexa talen.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
19 votes, average: 4,32 out of 519 votes, average: 4,32 out of 519 votes, average: 4,32 out of 519 votes, average: 4,32 out of 519 votes, average: 4,32 out of 5
19
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
6

Text

Exempel i videon

  • Lösning av ekvationen $ x^2 = -1 $.
  • Markering av $ z = 2+3i $ och $z = -2-i$ i det komplexa talplanet.
  • Markera z = 2 – 3i i det komplexa talplanet.
  • Ange Re z och Im z då z = -4 – 9i.
  • Lös ekvationen x² + 4 = 0

Komplexa tal – Så fungerar grunderna

I den här genomgången börjar vi att lära oss om de imaginära talen och hur de är konstruerade. Vi börjar med att titta på vilka olika typer av tal vi har använt oss av tidigare i gymnasiekurserna i matematik. De tal som vi då har tittat på är följande:

  • Naturliga tal (förkortas med bokstaven $ \mathbf{N} $): Alla heltal större eller lika med 0.
  • Hela tal (förkortas med bokstaven $\mathbf{Z}$): Alla heltal.
  • Rationella tal (förkortas med bokstaven $\mathbf{Q}$): Alla tal som kan skrivas som en kvot, dvs alla bråktal.
  • Reella tal (förkortas med bokstaven $\mathbf{R}$): Detta är alla tal som finns på den s.k. reella talaxeln även de som har oändligt antal decimaler (tex talet pi och talet e). De tal som har en oändlig decimalutveckling kallas för irrationella tal.

Här hittar du en grundläggande lektion om tal.

Imaginära tal och reella tal skapar Komplexa tal

En av alla anledningar till att man konstruerade en ny typ av tal är att man vill kunna lösa ekvationer av den här typen $x^2 = -1$.

Det går ju nämligen inte att lösa denna ekvation med någon av de övriga typen av tal. Därför konstrueras en ny typ av tal som man kallar för imaginära tal för att kunna lösa dessa ekvationer. Det man då gör är att definiera $i \cdot i = i^2 = -1$. Detta gör att en lösning till ekvationen här ovan blir att $x = ±i$. Det är också fullt möjligt att faktiskt konstruera nya typ av tal så länge de besitter de logiska regler som krävs för att man skall kunna räkna med dem. Man bör också komma ihåg att alla tal som vi nu använder är konstruerade av människor så visst kan vi skapa ännu mer typer av tal!

Så definieras det komplexa talet

Ett komplext tal kan vi alltså definiera som ett tal som består av både reella och imaginära delar. Så tex $ 2 + 3i $ är ett komplext tal med realdelen 2 och imaginärdelen 3.

Komplext tal

Allmänt brukar man beskriva ett komplext tal som $ z = a + bi $

där a är realdelen och b imaginärdelen.

Nedan följer exempel där vi anger realdel och imaginärdel till två stycken komplexa tal.

Exempel 1

Det komplexa talet $ w = 6+6i $ har

  • Realdelen 6
  • Imaginärdelen 6

Exempel 2

För det  komplexa talet $ z = -2i $ gäller att

  • Re z = 0
  • Im z = -2

Det komplexa talplanet

Ett komplext talplan är ett bra sätt att visualisera de komplexa talen. Här låter man den horisontella axeln (x – axeln) representera alla reella tal och den lodräta axeln (y-axeln) alla imaginära tal. Det komplexa talet $ w = 3 + 2i $ kan då representeras genom att punkten med koordinaterna (3, 2) markeras i det komplexa talplanet.

Exempel 3

Markera det komplexa talet $ z = -2 + 4i $ i ett komplext talplan.

Lösning:

exempel-komplexa-tal-imaginara-tal

 

Här Re z = -2 och Im z = 4 så vi får punkten med koordinaterna (-2, 4).

Kommentarer

  1. Hej! Jag undrar om ni kan hjälpa mig med ett tal?

    Skriv talet √3+1 på formen re^(iy)

    magdalena
    1. Hej, du kan använda Eulers formel för detta, du hittar en genomgång om detta här.

      Simon Rybrand
  2. Hej!
    Om man ska beräkna 3i * 3i vad blir det då?
    Jag tycker det borde bli 9i upphöjt till 2, men det svarsalternativet finns inte.

    Catarina
    1. Hej, då blir det
      $ 3i*3i = 9i^2 = 9*(-1) = -9 $
      Viktigt att komma ihåg är att
      $ i^2 = -1 $

      Simon Rybrand
  3. Tack!

    Leila
  4. hejsan! jag undrar om du kan hjälpa mig med dem här talen?

    de komplexa talen z = 2 + 2i och w = 5i

    a) Skriv z och w i polär form
    b) Bestäm arg(w/z)
    c) bestäm exakt absolutbeloppet av |z*w|

    gulatun
    1. Hej, kika gärna på våra genomgångar om polär form och absolutbelopp och konjugat. Om det fortfarande känns oklart så titta gärna in i vårt forum så tar vi det därifrån.

      Simon Rybrand
  5. På uppgift 8 i testet står det -100 i ekvationen, men enligt förklaringen ska det vara -1000 (det är bara då svaret stämmer också).

    Komvux Sundsvall Elev
    1. Hej
      Det står fel där i uppgiftsfrågan, det är korrigerat, tack för att du sade till!

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: