Lär dig Integraler - (Matte 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Integraler – introduktion

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här genomgången tittar vi allmänt på idén med integraler. Vi visar hur du kan förstå hur man kan använda integraler till att beräkna arean under en kurva.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
15 votes, average: 4,27 out of 515 votes, average: 4,27 out of 515 votes, average: 4,27 out of 515 votes, average: 4,27 out of 515 votes, average: 4,27 out of 5
15
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
2

Text

Vad är en integral?

Lite förenklat kan man beskriva en integral som en matematisk operation, som gör det möjligt att beräkna areor mellan en funktions kurva och $x$x -axeln i ett intervall.

Vid tillämpning med integraler används den ofta för att beskriva och beräkna olika storheter som till exempel längd, area, massa, volym och flöde. Låt säga att du har en funktion som beskriver hastigheten $v\left(t\right)$v(t). Då kan beräkning av en integral hjälpa oss att beräkna en sträcka relaterad till hastigheten $v\left(t\right)$v(t).

När man beräknar integralens värde, säger man att man integrerar. För att beräkna integralens värde använder man sig av en primitiv funktion till den kurvan som begränsar arean.

Integral som en area

Integralen har alltid samma värde, som storleken på arean mellan kurvan och $x$x -axeln. 

Hur beräknar man värdet av en integral?

En vanlig metod för att beräkna en integral är, att området under kurvan delas in i mycket smala rektanglar. Sedan beräknas rektanglarnas totala area. Summan av dessa oändligt smala rektanglar ger integralens värde.

Integralen indelad i rektanglar

I illustrationen ovan kan vi med hjälp av rektanglarna göra en approximation av integralen, alltså ett ungefärligt värde. Ju smalare rektanglar man ritar, ju bättre närmevärde får arean i förhållande till integralens värde. Namnet för att beräkna en sådan summa kallas för en Riemannsumma, då Riemann var en av de matematiker som jobbade fram metoden.

Vi kommer att gå djupare in på exakt hur man gör i lektionen med Integralens definition. I nuläget behöver du bara acceptera att arean mellan kurvan och  $x$x -axel i ett intervall ger samma värde som integralen.

Begrepp i samband med integralen

För att kunna förklara hur man räknar med integraler behöver vi inför några nya begrepp. Här kommer en sammanfattning av dem.

Integralens begrepp

Integralkalkylens fundamentalsats

För att beräkna en integrals värde används det som kallas för integralkalkylens fundamentalsats.

Den säger att arean mellan kurvan och $x$x  -axeln kan beskrivas med integralen  $\int_a^bf\left(x\right)dx$abƒ (x)dx  och beräknas med differensen $F\left(b\right)-F\left(a\right)$F(b)F(a)

Integralkalkylens fundamentalsats

Integral
där

  •  $a$a är den undre integrationsgränsen, som begränsar arean åt vänster
  •  $b$b är den övre integrationsgränsen, som begränsar arean åt höger
  •  $f\left(x\right)$ƒ (x) är integranden, som är den funktion som vi beräknar arean under
  •  $x$x i skrivningen $dx$dx anger integrationsvariabeln, som anger att beräkningen sker med avseende på förändring i $x$x -led

Du sätter alltså in den över gränsen $b$b i den primitiva funktionen till $f\left(x\right)$ƒ (x) och subtraherar med värdet du får när du sätter in den undre gränsen $a$a i den primitiva funktionen $F\left(x\right)$F(x). Mer om detta i kommande lektioner.

Nedan tar vi några exempel på hur vi kan beräkna integraler med hjälp av att förstå kopplingen till areor. Men vill du redan nu gå vidare så rekommenderas följande lektioner.

Exempel 1

I figuren är grafen till funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) utritad. Använd figuren och uppskatta grovt värdet på $\int_{-1}^3f(x)dx$13ƒ (x)dx 

Negativ parabel

Lösning:

Då värdet på integralen $\int_{-1}^3f(x)dx$13ƒ (x)dx  motsvarar storleken på arean mellan kurvan och  $x$x -axeln kan vi grovt uppskatta arean under kurvan genom att räkna antalen rutor arean motsvarar. Observerar graderingen, då en ruta inte alltid motsvarar $1$1 a.e. Men just i denna uppgift gäller det. 

Området har fyra hela rutor och sex rutor som inte är hela, med som sammanlagt kan uppskattas till drygt tre hela rutor. Vi får att arean mycket grovt räknar är ca $7$7

 

Vi kommer i kommande lektioner gå igenom hur man beräknar integralens värde, och där med även arean, exakt. Se mer om detta här.

Undre och övre integrationsgräns

Övre och undre gräns

När du beräknar en integral så beräknar du arean mellan en kurva och  $x$x -axeln från en undre till en övre gräns i $x$x -led. Ibland utgörs dessa gränser av integrandens nollställen. I annat fall utgör dessa två gränser av två lodräta linjer  $x=a$x=a  och  $x=b$x=b.

Den undre gränsen $x=a$x=a befinner sig längst till vänster och har minst $x$x -värde. Den övre gränsen $x=b$x=b befinner sig längst till högre och har det största $x$x -värdet. När du beräknar integralens värde med integralkalkylens fundamentalsats placerar du den undre gränsen ”längst ned”, under tecknet för integralen. Den övre gränsen placerar du ”längst upp”, över tecknet för integralen. 

Integralens värde och areaenheter

När du beräknar integral så kan detta tolkas som att du beräknar en area. Men när man beräknar en integral så anges allmänt ingen enhet. Om du däremot specifikt skall ange en area så kan du använda dig av areaenheter som förkortas a.e.

När du däremot jobbar med tillämpning och integraler och arean därmed motsvarar en storhet kan den bestämmas genom att multiplicera integrandens enhet med den oberoende variabelns,  $x$x  -axelns, enhet.

Till exempel får vi att om integranden är motsvarar hastighet i m/s och den oberoende variabeln motsvarar tiden i sekunder, får vi att integralens enhet vid tillämpningen motsvarar sträckan m/s  $\cdot$· s = m, alltså storheten meter.

Om integranden motsvarar en populations tillväxthastighet i personer/år och den oberoende variabeln motsvarar tiden i år, får vi att integralens enhet vid tillämpningen motsvarar populationens storlek personer/år  $\cdot$· år = antal personer.

Exempel i videon

  • Exempel på grafisk tolkning av en integral.
  • Exempel på användning av integraler.

Kommentarer

  1. Hej Simon!

    Jag undrar om det finns något om partiell integration?

    Tack!

    Pedro Veenekamp
    1. Hej
      I nuläget har vi tyvärr inget kring det men det skall förstås göras.
      Vi hoppas att vi kan lägga in detta i matematik 5 så snart som möjligt.

      Simon Rybrand
      1. Tack!

        Pedro Veenekamp
  2. Hej!

    Undrar om du kan hjälpa mig.

    Jag har problem med att bestämma konstanten k så att värdet av (1 överst (en integral) 0 under) (3x-k)^2 blir så litet som möjligt.

    qwert
    1. Hej, har du något intervall som k skall hålla sig inom? Fortsätt gärna och ställ denna fråga i vårt forum så blir det enklare att diskutera vidare.

      Simon Rybrand
      1. Nej, det är endast den informationen jag har

        qwert
    2. Ok,
      Du skall ju då söka när integralens värde i intervallet blir så litet som möjligt. Ett sätt är då att räkna ut integralen vilket ger en ny funktion som beror av k. Denna funktion kan då då med derivata söka dess minimivärde och därmed det minsta värdet på integralen. Det är en del algebraiskt pill förstås att få fram detta men inte på något vis omöjligt. Om du vill ha mer hjälp med just den delen så hojta till i forumet som sagt så har jag mer utrymme att visa detta.

      Simon Rybrand
  3. Hej och tusen tack för att ni gör det ni gör!
    Sitter just nu med matematik D Integraler och kommer inte vidare i en uppgift och skulle vara så tacksam om jag fick hjälp. Har ställt upp en integral som anger den färgade arean på en bild som finns i boken x^3/3+2x-0,5x^2/2 den färgade arean snuddar x-axeln i 2 och -2 så jag vet att det bara är att sätta in 2 istället för x först och sedan samma sak med -2 och sedan subtrahera de två svaren med varandra men jag får det ändå inte till samma som facit= 13 1/3 a.e.

    Lollsan
    1. Jag antar att $x^3/3+2x-0,5x^2/2$ är din primitiva funktion och att du skall beräkna
      $F(2)-F(-2)=$
      $(\frac{2^3}{3}+2⋅2-\frac{0,5⋅2^2}{2})-(\frac{x^3}{3}+2⋅(-2)-\frac{0,5⋅(-2)^2}{2})=$
      $(8/3+4-1)-(-8/3-4-1)=$
      $(8/3+3)-(-8/3-5)=$
      $8/3+3+8/3+5=16/3+8=16/3+24/3= $
      $ 40/3=13\frac{1}{3} $

      Simon Rybrand
  4. Hej.
    Jag håller på med logaritmer. I min bok kommer det innan integraler. Men undrar om jag kan få hjälp med ett tal.

    Antag att antalet elever på en högskola ökade enligt y=480 * e^0.085x Hur många elever finns det efter 4 år?

    Svaret ska bli ca 670 elever (674)

    Skulle va jätte snällt om du visar hur du räknar ut detta tal.

    Skulle va

    Scaleform2012
    1. Hej igen ! Jag löste uppgiften själv trots allt så behöver ingen förklaring längre:)

      Scaleform2012
  5. Var hittar jag en genomgång om hur man löser/beräknar integraler, hittar inte det…

    Mattis
    1. Hej Mattis, du hittar en sådan grundläggande genomgång på den här sidan. Där går vi igenom ett antal exempel på integralberäkningar.

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: