...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Integraler - introduktion

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Vad är en integral?

Lite förenklat kan man beskriva en integral som en matematisk operation, som gör det möjligt att beräkna areor mellan en funktions kurva och $x$x -axeln i ett intervall.

Vid tillämpning med integraler används den ofta för att beskriva och beräkna olika storheter som till exempel längd, area, massa, volym och flöde. Låt säga att du har en funktion som beskriver hastigheten $v\left(t\right)$v(t). Då kan beräkning av en integral hjälpa oss att beräkna en sträcka relaterad till hastigheten $v\left(t\right)$v(t).

När man beräknar integralens värde, säger man att man integrerar. För att beräkna integralens värde använder man sig av en primitiv funktion till den kurvan som begränsar arean.

Integralen har alltid samma värde, som storleken på arean mellan kurvan och $x$x -axeln. 

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Begrepp i samband med integralen

För att kunna förklara hur man räknar med integraler behöver vi inför några nya begrepp. Här kommer en sammanfattning av dem.

begreppsförklaring integraler

Nedan tar vi några exempel på hur vi kan beräkna integraler med hjälp av att förstå kopplingen till areor.

Uppskatta värdet av integralen

En vanlig metod för att beräkna en integral är, att området under kurvan delas in i mycket smala rektanglar. Sedan beräknas rektanglarnas totala area. Summan av dessa oändligt smala rektanglar ger integralens värde.

Integralen indelad i rektanglar

I illustrationen ovan kan vi med hjälp av rektanglarna göra en approximation av integralen, alltså ett ungefärligt värde. Ju smalare rektanglar man ritar, ju bättre närmevärde får arean i förhållande till integralens värde. Namnet för att beräkna en sådan summa kallas för en Riemannsumma, då Riemann var en av de matematiker som jobbade fram metoden.

Vi kommer att gå djupare in på exakt hur man gör i lektionen med Integralens definition. Denna metod kommer att landa i något som heter integralkalkylens fundamentalsats. Men i nuläget nöjer vi oss med att bara acceptera att integralens värde är den samma som mätetalet för arean mellan kurvan och $x$x -axeln.

Exempel 1

I figuren är grafen till funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) utritad. Använd figuren och uppskatta grovt värdet på $\int_{-1}^3f(x)dx$13ƒ (x)dx 

Negativ parabel

Lösning:

Då värdet på integralen $\int_{-1}^3f(x)dx$13ƒ (x)dx  motsvarar storleken på arean mellan kurvan och  $x$x -axeln kan vi grovt uppskatta arean under kurvan genom att räkna antalen rutor arean motsvarar. Observera graderingen, då en ruta inte alltid motsvarar $1$1 a.e. Men just i denna uppgift gäller det. 

Området har fyra hela rutor och sex rutor som inte är hela, med som sammanlagt kan uppskattas till drygt tre hela rutor. Vi får att arean mycket grovt räknar är ca $7$7.

Vi kommer i kommande lektioner gå igenom hur man beräknar integralens värde, och där med även arean, exakt. Se mer om detta här.

Integralens enhet

När du beräknar en integral får du ett värde utan enhet. Även om integralen kan tolkas en area, saknar den alltså enhet. Det är kontexten integralen anges i, som avgör vilken enhet svaret till uppgiften får.

I de fall uppgiften anger att integralen specifikt motsvarar en area skall du använda dig av areaenheter, som förkortas a.e, om någon annan enhet inte anges.

När du däremot jobbar med tillämpning och integraler och arean därmed motsvarar en storhet kan den bestämmas genom att multiplicera integrandens enhet med den oberoende variabelns,  $x$x  -axelns, enhet.

Till exempel när integranden motsvarar hastighet i m/s och den oberoende variabeln motsvarar tiden i sekunder, får vi att integralens enhet vid tillämpningen motsvarar sträckan m/s  $\cdot$· s = m. Beräkningen av integralen ger i detta fall en storhet med integralens värde som mätetal och enheten meter.

Om integranden motsvarar en populations tillväxthastighet i personer/år och den oberoende variabeln motsvarar tiden i år, får vi att integralens enhet vid tillämpningen motsvarar populationens storlek personer/år  $\cdot$· år = antal personer.

Exempel i videon

  • Exempel på grafisk tolkning av en integral.
  • Exempel på användning av integraler.

Kommentarer

Pedro Veenekamp

Hej Simon!

Jag undrar om det finns något om partiell integration?

Tack!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    I nuläget har vi tyvärr inget kring det men det skall förstås göras.
    Vi hoppas att vi kan lägga in detta i matematik 5 så snart som möjligt.

      Pedro Veenekamp

      Tack!

Simon Rybrand (Moderator)

Ok,
Du skall ju då söka när integralens värde i intervallet blir så litet som möjligt. Ett sätt är då att räkna ut integralen vilket ger en ny funktion som beror av k. Denna funktion kan då då med derivata söka dess minimivärde och därmed det minsta värdet på integralen. Det är en del algebraiskt pill förstås att få fram detta men inte på något vis omöjligt.

Simon Rybrand (Moderator)

Hej, har du något intervall som k skall hålla sig inom?

    qwert

    Nej, det är endast den informationen jag har

Lollsan

Hej och tusen tack för att ni gör det ni gör!
Sitter just nu med matematik D Integraler och kommer inte vidare i en uppgift och skulle vara så tacksam om jag fick hjälp. Har ställt upp en integral som anger den färgade arean på en bild som finns i boken x^3/3+2x-0,5x^2/2 den färgade arean snuddar x-axeln i 2 och -2 så jag vet att det bara är att sätta in 2 istället för x först och sedan samma sak med -2 och sedan subtrahera de två svaren med varandra men jag får det ändå inte till samma som facit= 13 1/3 a.e.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Jag antar att $x^3/3+2x-0,5x^2/2$ är din primitiva funktion och att du skall beräkna
    $F(2)-F(-2)=$
    $(\frac{2^3}{3}+2⋅2-\frac{0,5⋅2^2}{2})-(\frac{x^3}{3}+2⋅(-2)-\frac{0,5⋅(-2)^2}{2})=$
    $(8/3+4-1)-(-8/3-4-1)=$
    $(8/3+3)-(-8/3-5)=$
    $8/3+3+8/3+5=16/3+8=16/3+24/3= $
    $ 40/3=13\frac{1}{3} $

Scaleform2012

Hej.
Jag håller på med logaritmer. I min bok kommer det innan integraler. Men undrar om jag kan få hjälp med ett tal.

Antag att antalet elever på en högskola ökade enligt y=480 * e^0.085x Hur många elever finns det efter 4 år?

Svaret ska bli ca 670 elever (674)

Skulle va jätte snällt om du visar hur du räknar ut detta tal.

Skulle va

    Scaleform2012

    Hej igen ! Jag löste uppgiften själv trots allt så behöver ingen förklaring längre:)


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande tecken betecknar en integral

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Det skuggade områdets area på bilden kan beräknas med en integral.
    Integral

    Vilken är den övre integrationsgränsen för integralen?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Figuren beskriver grafen till $f\left(x\right)=-x^2+2x+3$ƒ (x)=x2+2x+3.

    Integral

    Vad beräknar du med integralen $ \int\limits_1^{2} (-x^2+2x+3)\,dx $?

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Funktionen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) är utritad i i koordinatsystemet.

    Använd figuren och uppskatta $ \int\limits_{-1}^3 f(x) dx $

    Integral

     

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Det skuggade områdets area kan beräknas med en integral.
    Integral

    Beräkna integralen värde.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Funktionen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) är utritad i i koordinatsystemet.

    Använd figuren och uppskatta $ \int\limits_{1}^4 f(x) dx $

    Integral

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Funktionen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) är utritad i i koordinatsystemet.

    Använd figuren och uppskatta $ \int\limits_{1}^4 f(x) dx $

    Integral

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Funktionen $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) är utritad i i koordinatsystemet.

    Använd figuren och uppskatta $ \int\limits_{-2}^2 f(x) dx $
    Integral

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar