Integraler - Lär dig vad en Integral är

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Integraler – Vad är det?

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här genomgången tittar vi allmänt på idén med integraler. Vi visar hur du kan förstå hur man kan använda integraler till att beräkna arean under en kurva.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
12 votes, average: 4,08 out of 512 votes, average: 4,08 out of 512 votes, average: 4,08 out of 512 votes, average: 4,08 out of 512 votes, average: 4,08 out of 5
12
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

4
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
MEDELPOÄNG
ALLA
2

Text

Exempel i videon

  • Exempel på grafisk tolkning av en integral.
  • Exempel på användning av integraler.

Vad är en integral

I videofilmen här ovan går vi framförallt igenom grunderna bakom integraler men i texten här nedan så fördjupar vi integralbegreppen med fler delar. Om du vill se fler videos om detta så finns det i andra lektioner i kursen.

Att förstå idén bakom en integral

Arean mellan x – axeln och kurvan kan beräknas med en integral

Själva grundidén bakom en integralberäkning är att beräkna arean under en kurva. I de mest grundläggande exemplen så lär man sig beräkna arean mellan x – axeln och kurvan. Om vi tex skulle vilja beräkna arean under grafen till funktionen $ f(x) = -x^2 + 1 $ mellan x värdena x = -1 och x = 1 så gör vi helt enkelt det med integralen:

$ \int\limits_{-1}^1 (-x^2+1) dx = \left[ – \frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^1 = $

$ = ( – \frac{1}{3} + 1 ) – ( \frac{1}{3} – 1) = 2 – \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \text{ a.e} $

När man ser en sådan här beräkning för första gången kan man förstås få lite skrämselhicka och tänka att det nog är alldeles för många beräkningar och symboler för min del för att våga mig på ;-). Men som med alla matematiska formler/idéer så vänjer du dig och efter ett tag löser du integraler på löpande band. Det som i alla fall händer här ovan är att man egentligen delar in området mellan x – axeln och grafen i små små rektanglar och beräknar deras area med en så kallad riemansumma.

Det kan vara bra att nämna att det också är viktigt att du först lär dig idén bakom primitiva funktioner (baklängesderivata) innan du sätter igång och beräknar integraler.

Olika sätt att beräkna areor med integraler

När du väl har fått koll på att beräkna areor mellan kurvor och x – axeln så kan det vara bra att ta några steg till. I matematik D gäller det nämligen att ha koll på några andra metoder också. En av de viktigaste är att beräkna arean mellan kurvor med hjälp av integralerna. Det fungerar egentligen på samma vis som här ovan (vad det gäller själva integralberäkningen) men nu ställer du istället upp integralen för den övre funktionen minus den undre funktionen. Så om vi skulle vilja beräkna arean mellan funktionerna $ f(x) = x $ och $ f(x) = -x $ mellan x = 0 och x = 1 så gör vi det genom integralen

$ \int\limits_0^1 x – (-x) dx = \int\limits_0^1 2x dx = $

$ = \left[ x^2 \right]_0^1 = 1 $ a. e

Nu är exemplet här ovan enklaste möjliga men principen är densamma även för lite krångligare integraler med krångligare primitiva funktioner.

Kommentarer

  1. Var hittar jag en genomgång om hur man löser/beräknar integraler, hittar inte det…

    Mattis
    1. Hej Mattis, du hittar en sådan grundläggande genomgång på den här sidan. Där går vi igenom ett antal exempel på integralberäkningar.

      Simon Rybrand
  2. Hej.
    Jag håller på med logaritmer. I min bok kommer det innan integraler. Men undrar om jag kan få hjälp med ett tal.

    Antag att antalet elever på en högskola ökade enligt y=480 * e^0.085x Hur många elever finns det efter 4 år?

    Svaret ska bli ca 670 elever (674)

    Skulle va jätte snällt om du visar hur du räknar ut detta tal.

    Skulle va

    Scaleform2012
    1. Hej igen ! Jag löste uppgiften själv trots allt så behöver ingen förklaring längre:)

      Scaleform2012
  3. Hej och tusen tack för att ni gör det ni gör!
    Sitter just nu med matematik D Integraler och kommer inte vidare i en uppgift och skulle vara så tacksam om jag fick hjälp. Har ställt upp en integral som anger den färgade arean på en bild som finns i boken x^3/3+2x-0,5x^2/2 den färgade arean snuddar x-axeln i 2 och -2 så jag vet att det bara är att sätta in 2 istället för x först och sedan samma sak med -2 och sedan subtrahera de två svaren med varandra men jag får det ändå inte till samma som facit= 13 1/3 a.e.

    Lollsan
    1. Jag antar att $x^3/3+2x-0,5x^2/2$ är din primitiva funktion och att du skall beräkna
      $F(2)-F(-2)=$
      $(\frac{2^3}{3}+2⋅2-\frac{0,5⋅2^2}{2})-(\frac{x^3}{3}+2⋅(-2)-\frac{0,5⋅(-2)^2}{2})=$
      $(8/3+4-1)-(-8/3-4-1)=$
      $(8/3+3)-(-8/3-5)=$
      $8/3+3+8/3+5=16/3+8=16/3+24/3= $
      $ 40/3=13\frac{1}{3} $

      Simon Rybrand
  4. Hej!

    Undrar om du kan hjälpa mig.

    Jag har problem med att bestämma konstanten k så att värdet av (1 överst (en integral) 0 under) (3x-k)^2 blir så litet som möjligt.

    qwert
    1. Hej, har du något intervall som k skall hålla sig inom? Fortsätt gärna och ställ denna fråga i vårt forum så blir det enklare att diskutera vidare.

      Simon Rybrand
      1. Nej, det är endast den informationen jag har

        qwert
    2. Ok,
      Du skall ju då söka när integralens värde i intervallet blir så litet som möjligt. Ett sätt är då att räkna ut integralen vilket ger en ny funktion som beror av k. Denna funktion kan då då med derivata söka dess minimivärde och därmed det minsta värdet på integralen. Det är en del algebraiskt pill förstås att få fram detta men inte på något vis omöjligt. Om du vill ha mer hjälp med just den delen så hojta till i forumet som sagt så har jag mer utrymme att visa detta.

      Simon Rybrand
  5. Hej Simon!

    Jag undrar om det finns något om partiell integration?

    Tack!

    Pedro Veenekamp
    1. Hej
      I nuläget har vi tyvärr inget kring det men det skall förstås göras.
      Vi hoppas att vi kan lägga in detta i matematik 5 så snart som möjligt.

      Simon Rybrand
      1. Tack!

        Pedro Veenekamp

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: