Räkna med med integraler - (Matte 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Integraler – Räkna med dem

Integraler

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I denna video går vi igenom hur du använder integralkalkylens fundamentalsats för att beräkna värden för integraler.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
11 votes, average: 4,73 out of 511 votes, average: 4,73 out of 511 votes, average: 4,73 out of 511 votes, average: 4,73 out of 511 votes, average: 4,73 out of 5
11
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

12
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Hur man beräknar en Integral algebraiskt

I de fall där du inte kan beräkna integralens exakta värde grafiskt, alltså genom att beräkna arean mellan kurvan och $x$x  -axeln med någon känd geometrisk form, behöver vi göra det algebraiskt. I denna kurs använder vi integralkalkylens fundamentalsats för den algebraiska beräkningen. Varför detta fungerar gick i igenom i lektionen om Integralerns definition.

Vi upprepar satsen här igen. 

Integralkalkylens fundamentalsats

Integral
där

  •  $a$a är den undre integrationsgränsen, som begränsar arean åt vänster
  •  $b$b är den övre integrationsgränsen, som begränsar arean åt höger
  •  $f\left(x\right)$ƒ (x) är integranden, som är den funktion som vi beräknar arean under
  •  $x$x i skrivningen $dx$dx anger integrationsvariabeln, som anger att beräkningen sker med avseende på förändring i $x$x -led

Satsen säger alltså arean mellan kurvan och $x$x  -axeln kan beskrivas med integralen  $\int_a^bf\left(x\right)dx$abƒ (x)dx  och beräknas med differensen $F\left(b\right)-F\left(a\right)$F(b)F(a). Vi går igenom metoden steg för steg.

Integraler med algebraisk metod

  • Bestäm övre och undre integrationsgränsen
  • Ta fram den primitiva funktionen till integranden
  • Teckna integralen du ska beräkna
  • Börja beräkna integralen genom fylla i integralkalkylens fundamentalsats med dina värden
  • Beräkna  $F\left(b\right)-F\left(a\right)$F(b)F(a), där $F\left(b\right)$F(b) motsvarar den primitiva funktionens värde för den över gränsen $b$b och $F\left(a\right)$F(a) den primitiva funktionens värde för den under gränsen $a$a
  • Ange ditt svar med efterfrågad enhet

Genom att upprepa dessa steg kan vi nu beräkna integralens värde algebraiskt.

Exempel på beräkning av integral med algebraisk metod

Här följer nu några exempel på hur man beräkna integralen algebraiskt.

Exempel 1

Beräkna integralen $ \int\limits_0^1 (2x + 1) dx $

Integral

Lösning:

Eftersom att den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=2x+1$ƒ (x)=2x+1 är $F(x)=x^2+x$F(x)=x2+x 
får vi enligt integralkalkylens fundamentalsats att

$ \int\limits_0^1 (2x + 1) dx =$ $\left[x^2+x\right]_{_0}^{^1}=F\left(1\right)-F\left(0\right)$[x2+x]01=F(1)F(0) 

Genom att beräkna $F\left(1\right)-F\left(0\right)$F(1)F(0) får vi värdet på integralen. Du sätter alltså in den undre gränsen i den primitiva funktionen $F\left(x\right)$F(x), sedan den övre och subtraherar värdena med varandra.

 $F\left(1\right)-F\left(0\right)=\left(1^2+1\right)-\left(0^2+0\right)=1+1-0-0=2$F(1)F(0)=(12+1)(02+0)=1+100=2

Integralens värde är $2$2.

Vi kan tolka svaret som vi får fram, som arean mellan kurvan till $f\left(x\right)=2x+1$ƒ (x)=2x+1 och $x$x– axeln i intervallet $x=0$x=0 till $x=1$x=1 .

Exempel 2

Beräkna integralen $ \int\limits_1^3$ $(2x)\text{ }dx$(2x) dx 

Lösning:

Eftersom att den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=2x$ƒ (x)=2x är  $F(x)=x^2$F(x)=x2 
får vi enligt integralkalkylens fundamentalsats att

$ \int\limits_1^3$ $(2x)\text{ }dx$(2x) dx =  $\left[\text{ }x^2\text{ }\right]_{_1}^{^3}=$[ x2 ]13=  $3^2-1^2=9-1=8$3212=91=8 

Vanligt fel vid Integralberäkning

Då Integralkalkylens fundamentalsats säger att integralens värde motsvarar differensen $F\left(b\right)-F\left(a\right)$F(b)F(a), är det vanligt att man råkar glömma byta tecken i samband med att man förenklar uttrycket. För att undvika det är det ofta säkrast att först beräkna var parentes värde föra tt sedan utföra differensen. Men vill man inte det måste man vara noggrann och hålla tungan rätt i mun.

Räknereglerna säger att alla tecken i en parentes byts när man tar bort den, OM man har en minustecken precis i anslutning till parentesen.

Då  $a,\text{ }b$a, b och  $c$c är konstanter får vi att

 $-\left(a+b+c\right)=-a-b-c$(a+b+c)=abc 
 $-\left(-a-b-c\right)=a+b+c$(abc)=a+b+c 

Då man ska subtrahera $F\left(a\right)$F(a) kan det därför underlätta att först skriva uttrycket som ges av funktionen inom parentes. Detta för att inte missa att byta tecken på alla termer när parentesen tas bort.

Exempel 3

Förenkla uttrycket  $F\left(3\right)-F\left(1\right)$F(3)F(1) då  $F\left(x\right)=5x+4$F(x)=5x+4 

Lösning:

Vi skriver de två uttryck som motsvarar respektive term inom en varsin parentes för att undvika att få fel tecken på termerna.

 $F\left(3\right)-F\left(1\right)=\left(5\cdot3+4\right)-\left(5\cdot1+4\right)=\left(15+4\right)-\left(5+4\right)=$F(3)F(1)=(5·3+4)(5·1+4)=(15+4)(5+4)=  $15+4-5-4=10$15+454=10 

Exempel 4

Förenkla uttrycket  $F\left(2\right)-F\left(-1\right)$F(2)F(1) då  $F\left(x\right)=e^{2x}-4$F(x)=e2x4 

Svara exakt.

Lösning:

Vi skriver de två uttryck som motsvarar respektive term inom en varsin parentes för att undvika att få fel tecken på termerna. Tänk på att  $e^0=1$e0=1.

 $F\left(2\right)-F\left(0\right)=\left(e^{2\cdot2}-4\right)-\left(e^{2\cdot0}-4\right)=$F(2)F(0)=(e2·24)(e2·04)= $\left(e^4-4\right)-\left(1-4\right)=e^4-4-1+4=e^4-1$(e44)(14)=e441+4=e41  

Eftersom att  $e^4$e4 inte ger ett exakt värde, låter vi det finnas kvar i svaret.

Exempel i videon

  • Beräkna $ \int\limits_2^6 2x dx  $.
  • Beräkna $ \int\limits_0^4 e^x dx  $.
  • Beräkna $ \int\limits_0^{\pi/2} cosx dx  $.
  • Beräkna arean mellan x – axeln och kurvan till funktionen $f(x)=2-2x^2$.
  • Bestäm det positiva talet $a$ så att $ \int\limits_1^a \frac{1}{x} dx=2  $.

Kommentarer

  1. Hej.
    I uppgift 1 (på provet) står följande F(3)-F(-2) osv.
    I förklarningen skriva F(3)-F(-3) och dess uträkning. =(3^3-2*3+3)-((-1)^3-2*(-1)+3).
    Är det -2 som är den under integralhränsen eller -3 eller -1?
    Eller hur löser man uppgiften?

    Madelein Vidrik
    1. Tack för att du sade till! Det var fel där, det är korrigerat!

      Simon Rybrand
  2. Hej!

    I uppgift 8 söks konstanten ”a”, men i svaret anges och bestäms ”n”. Är frågan lite skumt ställd?

    // Rasmus

    Rasmus Mononen
    1. Hej
      Det är förstås n som söks där, vi formulerar om det.

      Simon Rybrand
  3. Hej!
    hur ska man tillämpa potensregeln när man ska få reda på F av 1/5x^1/2,det är 5an som strular till det för mig…

    Daniel yazdi
    1. Hej
      Om du har
      $f= \frac{1}{5x^{1/2}}=\frac15x^{-1/2}$
      Så får du den primitiva funktionen genom
      $F=\frac25x^{1/2}=\frac{2\sqrt{x}}{5}$

      Simon Rybrand
  4. Hej.
    Hur beräknar jag

    2 över och 1 under ∫ x^3/4 dx

    Sebastian Gren
    1. Du använder integralkalkylens fundamentalsats och får
      $\int\limits_{1}^{2}\,\frac{x^3}{4}\,dx=\left[ \frac{x^4}{16} \right]_1^2 =$
      $\left( \frac{2^4}{16} \right)- \left( \frac{1^4}{16} \right)=\frac{16}{16}-\frac{1}{16}=$
      $1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$

      Simon Rybrand
  5. Tackar !

    Yosefd
  6. varför är e upphöjt till 4 56.1 hur vet man det? e är ju en variabel.

    Yosefd
    1. Hej
      Nej talet $ e ≈ 2,71828 $ är faktiskt inte en variabel utan det är ett tal som tex $ \pi ≈ 3,14159 $.
      Se gärna mer om talet e här.

      Simon Rybrand
  7. Hej, tack för bra undervisning.
    Är dx = delta x? kan inte minnas att du sagt det, kanske är underförstått.

    Joakim Meier
    1. Hej
      Ja det kan vi nog kalla det men att vi låter delta x gå mot noll, då brukar det oftast kallas för dx.

      Simon Rybrand
  8. Hej jag har problem med Primitiva Funktionen 1/x, jag köper att man behöver känna till att räkna med ln… men vad händer om det är 2/x? alltså vad är primitiva funktionen för 2/x ?

    tack för att Ni svarar

    D.Dellkordo
    1. Hej
      Det blir en liknande primitiv funktion som $\frac1x$ som har den primitiva funktionen $lnx$. Du får då istället $2lnx$

      Simon Rybrand
  9. Hej
    jag har svårt med att beräkna integraler, skulle du kunna hjälpa mig med att integrera ∫(1)^(2) f(x) dx

    tack

    randsara
    1. det jag gjorde är

      (lnx)1 till 2 = ln2-ln1= 0,7
      är det rätt ?

      randsara
      1. Hej
        Du har skrivit integralen
        $ \int \limits 1^2 f(x) dx $
        och det jag funderar på är vilken funktion $f(x)$ som du har?

        Simon Rybrand
        1. uppgiften säger : Skissa funktionen f(x)=1/x och beräkna sedan grafiskt integral tecken (1 är under integral tecknet och 2 ovan på integral tecknet) f(x)dx. Markera i din figur vad det är du räknat ut med integralen.

          Jag har skissat funktionen f(x)=1/x det blev två kurvor, men sen jag vet inte hur jag ska gå vidare

          sara94
        2. Ok, då förstår jag. Här får du

          $\int \limits_1^2 \frac1x dx = $ $ \left[ ln x\right]_1^2 = $ $ ln2 – ln1 ≈ $ $0,693$

          Simon Rybrand
  10. Hej! Den funktionen 1/x går väl skriva om till 1*x^-1 ?
    I så fall blir väl den primitiva funktionen lika med x?
    Med tanke på x^-1+1/1 ?

    Stigenhed
    1. Hej, den primitiva funktionen här är lite speciell då den blir $ lnx $. Tänk på att du skall addera exponenten med 1 och att du då skulle få $x^0$ vilket är lika med 1. Siffran ett har ju derivatan 0 så i detta fall fungerar inte deriveringsreglerna/regler för primitiva funktioner som du använder. Du behöver alltså känna till att den primitiva funktionen är $lnx$

      Simon Rybrand
  11. Hej Simon!
    Jag har fastnat på denna fråga, räkna integralen exakt:

    (1/x – 1/x^2)dx med gränserna 2 till 1, får svaret ln2-1,5 men det verkar inte stämma med facit :/

    Dandono
    1. Hej, du skall alltså beräkna
      $ \int\limits_1^2 (1/x – 1/x^2) dx = $
      $ \left[ lnx + 1/x \right]_1^2 = (ln2+1/2) – (ln1+1)=$
      $ ln2+1/2-0-1=ln2-1/2 $

      Här kan det vara lite lurigt att få helt korrekt primitiv funktion så kolla gärna lite extra på detta.

      Simon Rybrand
  12. Simon:
    Jag är helt ny på det här med integralräkning, men ska det inte stå x^2 på uppgift 1?

    1 1
    ∫x^2dx = [x^2] = 1^2 – (-1)^2 = 2?
    -1 -1

    eller tänker jag fel?

    Thomas
    1. Hej, det gäller att ta rätt primitiv funktion där.
      Den primitiva funktionen för $ x^2 $ är nämligen $\frac{x^3}{3}$. Du kan alltid kontrollera att detta stämmer genom att derivera uttrycket och se att du får just derivatan $ x^2 $.

      Simon Rybrand
  13. Det står att jag svarade fel på uppg. 1. Det kan inte stämma, för det står ingenting om att det ska vara (-1) Om det inte står något antar jag att det är 0 som jag ska sätta in.

    Jag gjorde också uträkningen på räknaren och det blev 1/3 inte 2/3.

    Martina
    1. Hej, den undre gränsen i den uppgiften är -1 och den övre är 1 så du kommer att få svaret 2/3. Syns inte -1:an när du kikar på uppgiften?

      Simon Rybrand
  14. Tack Simon!

    Leila
  15. Hej!
    I ex. två , hur vet man mängden på e^2 ?

    Leila
    1. Det är nog enklast att använda din räknares ”knapp” för talet e ≈ 2,718281828459045 för att få fram ett ungefärligt värde.

      Simon Rybrand
  16. hur räknar man arean mellan två kurvor?
    Jag har en uppgift där jag ska räkna arean mellan y=6-x^2 och y=x^2-2x+2 och har ingen aning om hur detta ska räknas ut. :/

    danielakavander
    1. För att beräkna areor mellan kurvor så beräknar man integralen för den övre kurvan subtraherat med den undre (rita gärna ut integralerna så du ser detta tydligt).

      Så i det här fallet beräknar du:
      $ \int\limits_a^b (6-x^2) – (x^2-2x+2) dx $

      För att bestämma skärningspunkterna (dvs a och b) så löser du ekvationen
      $ 6-x^2 = x^2-2x+2 $

      Simon Rybrand
  17. hur vet man när man ska ha räknaren inställd på radianer och inte ?

    BotenAnnie
  18. Är inte sin pi/2=0.027? eller slår jag fel på min miniräknare

    katla
    1. Hej! Om du ställer in din räknare på radianer så kommer du att få 1, om den är inställt på grader så får du 0,027. Kolla gärna dina inställningar på detta och fråga mer om du har några frågor om detta.

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: