Integraler - Räkna med dem – Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Integraler – Räkna med dem

Integraler

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I denna video går vi igenom hur du använder integralkalkylens fundamentalsats för att beräkna värden för integraler.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
6 votes, average: 4,50 out of 56 votes, average: 4,50 out of 56 votes, average: 4,50 out of 56 votes, average: 4,50 out of 56 votes, average: 4,50 out of 5
6
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Exempel i videon

  • Beräkna $ \int\limits_2^6 2x dx  $.
  • Beräkna $ \int\limits_0^4 e^x dx  $.
  • Beräkna $ \int\limits_0^{\pi/2} cosx dx  $.
  • Beräkna arean mellan x – axeln och kurvan till funktionen $f(x)=2-2x^2$.
  • Bestäm det positiva talet $a$ så att $ \int\limits_1^a \frac{1}{x} dx=2  $.

Räkna med integraler – Metoden

I den här genomgången så fortsätter vi att lära oss mer om integraler och hur dessa beräknas. Vi tillämpar här Integralkalkylens fundamentalsats på flera olika exempel.

Integralkalkylens fundamentalsats definieras enligt:

$ \int\limits_a^b f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) – F(a) $ där

  • a är den undre gränsen och b den övre.
  • f(x) är integranden, dvs den funktion vi tar fram primitiv funktion F(x) på.
  • För att få fram värdet på integralen beräknas sedan F(b) – F(a)

Ett av de viktiga tillämpningsområdet när man jobbar med integraler är att kunna beräkna arean mellan en kurva och x – axeln. Även detta tar vi exempel på in denna genomgång.

Ett exempel på beräkning av integraler

Beräkna $ \int\limits_0^1 3x^2 dx $

Lösning:

Metoden här är att vi först tar fram den primitiva funktionen och sedan beräknar dess värde för den övre gränsen och subtraherar med dess värde för den undre gränsen. Då får vi värdet:

$ \int\limits_0^1 3x^2 dx = \left[ x^3 \right]_0^1 = 1^3 – 0^3 = 1 $

Det här kan ses som arean som begränsas av kurvan till $ f(x) = 3x^2 $ och x – axeln mellan x = 0 till x = 1.

Kommentarer

  1. Är inte sin pi/2=0.027? eller slår jag fel på min miniräknare

    katla
    1. Hej! Om du ställer in din räknare på radianer så kommer du att få 1, om den är inställt på grader så får du 0,027. Kolla gärna dina inställningar på detta och fråga mer om du har några frågor om detta.

      Simon Rybrand
  2. hur vet man när man ska ha räknaren inställd på radianer och inte ?

    BotenAnnie
  3. hur räknar man arean mellan två kurvor?
    Jag har en uppgift där jag ska räkna arean mellan y=6-x^2 och y=x^2-2x+2 och har ingen aning om hur detta ska räknas ut. :/

    danielakavander
    1. För att beräkna areor mellan kurvor så beräknar man integralen för den övre kurvan subtraherat med den undre (rita gärna ut integralerna så du ser detta tydligt).

      Så i det här fallet beräknar du:
      $ \int\limits_a^b (6-x^2) – (x^2-2x+2) dx $

      För att bestämma skärningspunkterna (dvs a och b) så löser du ekvationen
      $ 6-x^2 = x^2-2x+2 $

      Simon Rybrand
  4. Hej!
    I ex. två , hur vet man mängden på e^2 ?

    Leila
    1. Det är nog enklast att använda din räknares ”knapp” för talet e ≈ 2,718281828459045 för att få fram ett ungefärligt värde.

      Simon Rybrand
  5. Tack Simon!

    Leila
  6. Det står att jag svarade fel på uppg. 1. Det kan inte stämma, för det står ingenting om att det ska vara (-1) Om det inte står något antar jag att det är 0 som jag ska sätta in.

    Jag gjorde också uträkningen på räknaren och det blev 1/3 inte 2/3.

    Martina
    1. Hej, den undre gränsen i den uppgiften är -1 och den övre är 1 så du kommer att få svaret 2/3. Syns inte -1:an när du kikar på uppgiften?

      Simon Rybrand
  7. Simon:
    Jag är helt ny på det här med integralräkning, men ska det inte stå x^2 på uppgift 1?

    1 1
    ∫x^2dx = [x^2] = 1^2 – (-1)^2 = 2?
    -1 -1

    eller tänker jag fel?

    Thomas
    1. Hej, det gäller att ta rätt primitiv funktion där.
      Den primitiva funktionen för $ x^2 $ är nämligen $\frac{x^3}{3}$. Du kan alltid kontrollera att detta stämmer genom att derivera uttrycket och se att du får just derivatan $ x^2 $.

      Simon Rybrand
  8. Hej Simon!
    Jag har fastnat på denna fråga, räkna integralen exakt:

    (1/x – 1/x^2)dx med gränserna 2 till 1, får svaret ln2-1,5 men det verkar inte stämma med facit :/

    Dandono
    1. Hej, du skall alltså beräkna
      $ \int\limits_1^2 (1/x – 1/x^2) dx = $
      $ \left[ lnx + 1/x \right]_1^2 = (ln2+1/2) – (ln1+1)=$
      $ ln2+1/2-0-1=ln2-1/2 $

      Här kan det vara lite lurigt att få helt korrekt primitiv funktion så kolla gärna lite extra på detta.

      Simon Rybrand
  9. Hej! Den funktionen 1/x går väl skriva om till 1*x^-1 ?
    I så fall blir väl den primitiva funktionen lika med x?
    Med tanke på x^-1+1/1 ?

    Stigenhed
    1. Hej, den primitiva funktionen här är lite speciell då den blir $ lnx $. Tänk på att du skall addera exponenten med 1 och att du då skulle få $x^0$ vilket är lika med 1. Siffran ett har ju derivatan 0 så i detta fall fungerar inte deriveringsreglerna/regler för primitiva funktioner som du använder. Du behöver alltså känna till att den primitiva funktionen är $lnx$

      Simon Rybrand
  10. Hej
    jag har svårt med att beräkna integraler, skulle du kunna hjälpa mig med att integrera ∫(1)^(2) f(x) dx

    tack

    randsara
    1. det jag gjorde är

      (lnx)1 till 2 = ln2-ln1= 0,7
      är det rätt ?

      randsara
      1. Hej
        Du har skrivit integralen
        $ \int \limits 1^2 f(x) dx $
        och det jag funderar på är vilken funktion $f(x)$ som du har?

        Simon Rybrand
        1. uppgiften säger : Skissa funktionen f(x)=1/x och beräkna sedan grafiskt integral tecken (1 är under integral tecknet och 2 ovan på integral tecknet) f(x)dx. Markera i din figur vad det är du räknat ut med integralen.

          Jag har skissat funktionen f(x)=1/x det blev två kurvor, men sen jag vet inte hur jag ska gå vidare

          sara94
        2. Ok, då förstår jag. Här får du

          $\int \limits_1^2 \frac1x dx = $ $ \left[ ln x\right]_1^2 = $ $ ln2 – ln1 ≈ $ $0,693$

          Simon Rybrand
  11. Hej jag har problem med Primitiva Funktionen 1/x, jag köper att man behöver känna till att räkna med ln… men vad händer om det är 2/x? alltså vad är primitiva funktionen för 2/x ?

    tack för att Ni svarar

    D.Dellkordo
    1. Hej
      Det blir en liknande primitiv funktion som $\frac1x$ som har den primitiva funktionen $lnx$. Du får då istället $2lnx$

      Simon Rybrand
  12. Hej, tack för bra undervisning.
    Är dx = delta x? kan inte minnas att du sagt det, kanske är underförstått.

    Joakim Meier
    1. Hej
      Ja det kan vi nog kalla det men att vi låter delta x gå mot noll, då brukar det oftast kallas för dx.

      Simon Rybrand
  13. varför är e upphöjt till 4 56.1 hur vet man det? e är ju en variabel.

    Yosefd
    1. Hej
      Nej talet $ e ≈ 2,71828 $ är faktiskt inte en variabel utan det är ett tal som tex $ \pi ≈ 3,14159 $.
      Se gärna mer om talet e här.

      Simon Rybrand
  14. Tackar !

    Yosefd
  15. Hej.
    Hur beräknar jag

    2 över och 1 under ∫ x^3/4 dx

    Sebastian Gren
    1. Du använder integralkalkylens fundamentalsats och får
      $\int\limits_{1}^{2}\,\frac{x^3}{4}\,dx=\left[ \frac{x^4}{16} \right]_1^2 =$
      $\left( \frac{2^4}{16} \right)- \left( \frac{1^4}{16} \right)=\frac{16}{16}-\frac{1}{16}=$
      $1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$

      Simon Rybrand
  16. Hej!
    hur ska man tillämpa potensregeln när man ska få reda på F av 1/5x^1/2,det är 5an som strular till det för mig…

    Daniel yazdi
    1. Hej
      Om du har
      $f= \frac{1}{5x^{1/2}}=\frac15x^{-1/2}$
      Så får du den primitiva funktionen genom
      $F=\frac25x^{1/2}=\frac{2\sqrt{x}}{5}$

      Simon Rybrand
  17. Hej!

    I uppgift 8 söks konstanten ”a”, men i svaret anges och bestäms ”n”. Är frågan lite skumt ställd?

    // Rasmus

    Rasmus Mononen
    1. Hej
      Det är förstås n som söks där, vi formulerar om det.

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: