...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Integraler - Räkna med dem

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Hur man beräknar en Integral algebraiskt

I de fall där du inte kan beräkna integralens exakta värde grafiskt, alltså genom att beräkna arean mellan kurvan och $x$x  -axeln med någon känd geometrisk form, behöver vi göra det algebraiskt. I denna kurs använder vi integralkalkylens fundamentalsats för den algebraiska beräkningen. Varför detta fungerar gick i igenom i lektionen om Integralerns definition.

Vi upprepar satsen här igen. 

Integralkalkylens fundamentalsats

Integral
där

  •  $a$a är den undre integrationsgränsen, som begränsar arean åt vänster
  •  $b$b är den övre integrationsgränsen, som begränsar arean åt höger
  •  $f\left(x\right)$ƒ (x) är integranden, som är den funktion som vi beräknar arean under
  •  $x$x i skrivningen $dx$dx anger integrationsvariabeln, som anger att beräkningen sker med avseende på förändring i $x$x -led

Satsen säger alltså arean mellan kurvan och $x$x  -axeln kan beskrivas med integralen  $\int_a^bf\left(x\right)dx$abƒ (x)dx  och beräknas med differensen $F\left(b\right)-F\left(a\right)$F(b)F(a). Vi går igenom metoden steg för steg.

Integraler med algebraisk metod

  • Bestäm övre och undre integrationsgränsen
  • Ta fram den primitiva funktionen till integranden
  • Teckna integralen du ska beräkna
  • Börja beräkna integralen genom fylla i integralkalkylens fundamentalsats med dina värden
  • Beräkna  $F\left(b\right)-F\left(a\right)$F(b)F(a), där $F\left(b\right)$F(b) motsvarar den primitiva funktionens värde för den över gränsen $b$b och $F\left(a\right)$F(a) den primitiva funktionens värde för den under gränsen $a$a
  • Ange ditt svar med efterfrågad enhet

Genom att upprepa dessa steg kan vi nu beräkna integralens värde algebraiskt.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Exempel på beräkning av integral med algebraisk metod

Här följer nu några exempel på hur man beräkna integralen algebraiskt.

Exempel 1

Beräkna integralen $ \int\limits_0^1 (2x + 1) dx $

Integral

Lösning:

Eftersom att den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=2x+1$ƒ (x)=2x+1 är $F(x)=x^2+x$F(x)=x2+x 
får vi enligt integralkalkylens fundamentalsats att

$ \int\limits_0^1 (2x + 1) dx =$ $\left[x^2+x\right]_{_0}^{^1}=F\left(1\right)-F\left(0\right)$[x2+x]01=F(1)F(0) 

Genom att beräkna $F\left(1\right)-F\left(0\right)$F(1)F(0) får vi värdet på integralen. Du sätter alltså in den undre gränsen i den primitiva funktionen $F\left(x\right)$F(x), sedan den övre och subtraherar värdena med varandra.

 $F\left(1\right)-F\left(0\right)=\left(1^2+1\right)-\left(0^2+0\right)=1+1-0-0=2$F(1)F(0)=(12+1)(02+0)=1+100=2

Integralens värde är $2$2.

Vi kan tolka svaret som vi får fram, som arean mellan kurvan till $f\left(x\right)=2x+1$ƒ (x)=2x+1 och $x$x– axeln i intervallet $x=0$x=0 till $x=1$x=1 .

Exempel 2

Beräkna integralen $ \int\limits_1^3$ $(2x)\text{ }dx$(2x) dx 

Lösning:

Eftersom att den primitiva funktionen till $f\left(x\right)=2x$ƒ (x)=2x är  $F(x)=x^2$F(x)=x2 
får vi enligt integralkalkylens fundamentalsats att

$ \int\limits_1^3$ $(2x)\text{ }dx$(2x) dx =  $\left[\text{ }x^2\text{ }\right]_{_1}^{^3}=$[ x2 ]13=  $3^2-1^2=9-1=8$3212=91=8 

Vanligt fel vid Integralberäkning

Då Integralkalkylens fundamentalsats säger att integralens värde motsvarar differensen $F\left(b\right)-F\left(a\right)$F(b)F(a), är det vanligt att man råkar glömma byta tecken i samband med att man förenklar uttrycket. För att undvika det är det ofta säkrast att först beräkna var parentes värde föra tt sedan utföra differensen. Men vill man inte det måste man vara noggrann och hålla tungan rätt i mun.

Räknereglerna säger att alla tecken i en parentes byts när man tar bort den, OM man har en minustecken precis i anslutning till parentesen.

Då  $a,\text{ }b$a, b och  $c$c är konstanter får vi att

 $-\left(a+b+c\right)=-a-b-c$(a+b+c)=abc 
 $-\left(-a-b-c\right)=a+b+c$(abc)=a+b+c 

Då man ska subtrahera $F\left(a\right)$F(a) kan det därför underlätta att först skriva uttrycket som ges av funktionen inom parentes. Detta för att inte missa att byta tecken på alla termer när parentesen tas bort.

Exempel 3

Förenkla uttrycket  $F\left(3\right)-F\left(1\right)$F(3)F(1) då  $F\left(x\right)=5x+4$F(x)=5x+4 

Lösning:

Vi skriver de två uttryck som motsvarar respektive term inom en varsin parentes för att undvika att få fel tecken på termerna.

 $F\left(3\right)-F\left(1\right)=\left(5\cdot3+4\right)-\left(5\cdot1+4\right)=\left(15+4\right)-\left(5+4\right)=$F(3)F(1)=(5·3+4)(5·1+4)=(15+4)(5+4)=  $15+4-5-4=10$15+454=10 

Exempel 4

Förenkla uttrycket  $F\left(2\right)-F\left(-1\right)$F(2)F(1) då  $F\left(x\right)=e^{2x}-4$F(x)=e2x4 

Svara exakt.

Lösning:

Vi skriver de två uttryck som motsvarar respektive term inom en varsin parentes för att undvika att få fel tecken på termerna. Tänk på att  $e^0=1$e0=1.

 $F\left(2\right)-F\left(0\right)=\left(e^{2\cdot2}-4\right)-\left(e^{2\cdot0}-4\right)=$F(2)F(0)=(e2·24)(e2·04)= $\left(e^4-4\right)-\left(1-4\right)=e^4-4-1+4=e^4-1$(e44)(14)=e441+4=e41  

Eftersom att  $e^4$e4 inte ger ett exakt värde, låter vi det finnas kvar i svaret.

Exempel i videon

  • Beräkna $ \int\limits_2^6 2x dx  $.
  • Beräkna $ \int\limits_0^4 e^x dx  $.
  • Beräkna $ \int\limits_0^{\pi/2} cosx dx  $.
  • Beräkna arean mellan x – axeln och kurvan till funktionen $f(x)=2-2x^2$.
  • Bestäm det positiva talet $a$ så att $ \int\limits_1^a \frac{1}{x} dx=2  $.

Kommentarer

Wayde Brown

hej. Uppgift 13. Jag tror att ni har missat att ta med 2an från ekvationen:
∫f(x)dx=2⋅f(a)

när ni skulle bestämma a med:
12=√4a

det borde stå:
12=2⋅√4a

och svaret blir då a=1/9

eller har jag missat något?

    Anna Admin (Moderator)

    Tack, Wayde, för din hjälp med att uppmärksamma oss på detta. Uppgiften är nu korrigerad!

Madelein Vidrik

Hej.
I uppgift 1 (på provet) står följande F(3)-F(-2) osv.
I förklarningen skriva F(3)-F(-3) och dess uträkning. =(3^3-2*3+3)-((-1)^3-2*(-1)+3).
Är det -2 som är den under integralhränsen eller -3 eller -1?
Eller hur löser man uppgiften?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du sade till! Det var fel där, det är korrigerat!

Rasmus Mononen

Hej!

I uppgift 8 söks konstanten ”a”, men i svaret anges och bestäms ”n”. Är frågan lite skumt ställd?

// Rasmus

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det är förstås n som söks där, vi formulerar om det.

Daniel yazdi

Hej!
hur ska man tillämpa potensregeln när man ska få reda på F av 1/5x^1/2,det är 5an som strular till det för mig…

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Om du har
    $f= \frac{1}{5x^{1/2}}=\frac15x^{-1/2}$
    Så får du den primitiva funktionen genom
    $F=\frac25x^{1/2}=\frac{2\sqrt{x}}{5}$

Sebastian Gren

Hej.
Hur beräknar jag

2 över och 1 under ∫ x^3/4 dx

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du använder integralkalkylens fundamentalsats och får
    $\int\limits_{1}^{2}\,\frac{x^3}{4}\,dx=\left[ \frac{x^4}{16} \right]_1^2 =$
    $\left( \frac{2^4}{16} \right)- \left( \frac{1^4}{16} \right)=\frac{16}{16}-\frac{1}{16}=$
    $1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$

Yosefd

Tackar !

Yosefd

varför är e upphöjt till 4 56.1 hur vet man det? e är ju en variabel.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nej talet $ e ≈ 2,71828 $ är faktiskt inte en variabel utan det är ett tal som tex $ \pi ≈ 3,14159 $.
    Se gärna mer om talet e här.

Joakim Meier

Hej, tack för bra undervisning.
Är dx = delta x? kan inte minnas att du sagt det, kanske är underförstått.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja det kan vi nog kalla det men att vi låter delta x gå mot noll, då brukar det oftast kallas för dx.

D.Dellkordo

Hej jag har problem med Primitiva Funktionen 1/x, jag köper att man behöver känna till att räkna med ln… men vad händer om det är 2/x? alltså vad är primitiva funktionen för 2/x ?

tack för att Ni svarar

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det blir en liknande primitiv funktion som $\frac1x$ som har den primitiva funktionen $lnx$. Du får då istället $2lnx$

randsara

Hej
jag har svårt med att beräkna integraler, skulle du kunna hjälpa mig med att integrera ∫(1)^(2) f(x) dx

tack

    randsara

    det jag gjorde är

    (lnx)1 till 2 = ln2-ln1= 0,7
    är det rätt ?

      Simon Rybrand (Moderator)

      Hej
      Du har skrivit integralen
      $ \int \limits 1^2 f(x) dx $
      och det jag funderar på är vilken funktion $f(x)$ som du har?

        sara94

        uppgiften säger : Skissa funktionen f(x)=1/x och beräkna sedan grafiskt integral tecken (1 är under integral tecknet och 2 ovan på integral tecknet) f(x)dx. Markera i din figur vad det är du räknat ut med integralen.

        Jag har skissat funktionen f(x)=1/x det blev två kurvor, men sen jag vet inte hur jag ska gå vidare

        Simon Rybrand (Moderator)

        Ok, då förstår jag. Här får du

        $\int \limits_1^2 \frac1x dx = $ $ \left[ ln x\right]_1^2 = $ $ ln2 – ln1 ≈ $ $0,693$

Stigenhed

Hej! Den funktionen 1/x går väl skriva om till 1*x^-1 ?
I så fall blir väl den primitiva funktionen lika med x?
Med tanke på x^-1+1/1 ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, den primitiva funktionen här är lite speciell då den blir $ lnx $. Tänk på att du skall addera exponenten med 1 och att du då skulle få $x^0$ vilket är lika med 1. Siffran ett har ju derivatan 0 så i detta fall fungerar inte deriveringsreglerna/regler för primitiva funktioner som du använder. Du behöver alltså känna till att den primitiva funktionen är $lnx$

Dandono

Hej Simon!
Jag har fastnat på denna fråga, räkna integralen exakt:

(1/x – 1/x^2)dx med gränserna 2 till 1, får svaret ln2-1,5 men det verkar inte stämma med facit :/

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du skall alltså beräkna
    $ \int\limits_1^2 (1/x – 1/x^2) dx = $
    $ \left[ lnx + 1/x \right]_1^2 = (ln2+1/2) – (ln1+1)=$
    $ ln2+1/2-0-1=ln2-1/2 $

    Här kan det vara lite lurigt att få helt korrekt primitiv funktion så kolla gärna lite extra på detta.

Thomas

Simon:
Jag är helt ny på det här med integralräkning, men ska det inte stå x^2 på uppgift 1?

1 1
∫x^2dx = [x^2] = 1^2 – (-1)^2 = 2?
-1 -1

eller tänker jag fel?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det gäller att ta rätt primitiv funktion där.
    Den primitiva funktionen för $ x^2 $ är nämligen $\frac{x^3}{3}$. Du kan alltid kontrollera att detta stämmer genom att derivera uttrycket och se att du får just derivatan $ x^2 $.

Martina

Det står att jag svarade fel på uppg. 1. Det kan inte stämma, för det står ingenting om att det ska vara (-1) Om det inte står något antar jag att det är 0 som jag ska sätta in.

Jag gjorde också uträkningen på räknaren och det blev 1/3 inte 2/3.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, den undre gränsen i den uppgiften är -1 och den övre är 1 så du kommer att få svaret 2/3. Syns inte -1:an när du kikar på uppgiften?

Leila

Tack Simon!

Leila

Hej!
I ex. två , hur vet man mängden på e^2 ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det är nog enklast att använda din räknares ”knapp” för talet e ≈ 2,718281828459045 för att få fram ett ungefärligt värde.

danielakavander

hur räknar man arean mellan två kurvor?
Jag har en uppgift där jag ska räkna arean mellan y=6-x^2 och y=x^2-2x+2 och har ingen aning om hur detta ska räknas ut. :/

    Simon Rybrand (Moderator)

    För att beräkna areor mellan kurvor så beräknar man integralen för den övre kurvan subtraherat med den undre (rita gärna ut integralerna så du ser detta tydligt).

    Så i det här fallet beräknar du:
    $ \int\limits_a^b (6-x^2) – (x^2-2x+2) dx $

    För att bestämma skärningspunkterna (dvs a och b) så löser du ekvationen
    $ 6-x^2 = x^2-2x+2 $

BotenAnnie

hur vet man när man ska ha räknaren inställd på radianer och inte ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan,
    Jag har skrivit om detta på vår blogg, du hittar inlägget om radianer här.

katla

Är inte sin pi/2=0.027? eller slår jag fel på min miniräknare

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej! Om du ställer in din räknare på radianer så kommer du att få 1, om den är inställt på grader så får du 0,027. Kolla gärna dina inställningar på detta och fråga mer om du har några frågor om detta.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (9)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Förenkla uttrycket  $F\left(3\right)-F\left(-1\right)$F(3)F(1) så långt som möjligt då  $F\left(x\right)=x^2-2x+3$F(x)=x22x+3 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna integralen $ \int\limits_0^3$ $(2x)\text{ }dx$(2x) dx 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna integralen $ \int\limits_0^1 f(x) \, dx $ då  $f(x)=x-x^2$ƒ (x)=xx2 

    Ange ett exakt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $ \int\limits_0^1 3x^2 dx $

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $ \int\limits_{-1}^1 x^2 dx $

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M1
    R
    K

    I figuren är  $f(x)=3x-x^2$ƒ (x)=3xx2  utritad. Beräkna arean av det blåmarkerade området.

    Integral

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M1
    R
    K

    Figuren visar kurvan till funktionen  $y=4-x^2$y=4x2 . Bestäm arean $A$A av det skuggade området med en decimals noggrannhet.

    Integral

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ ger det bästa närmevärdet till $ \int\limits_0^1 (e^{2x} + 1) dx $?

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna arean som uppstår mellan $x$x -axeln och grafen till funktionen  $f(x)=5+4x-x^2$ƒ (x)=5+4xx2  i intervallet $0$0 till $5$5.

    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna integralen $ \int\limits_2^4$ $\left(\sqrt{4x}\right)\text{ }dx$(4x) dx 

    Svara med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm konstanten $a$a så att   $\int_1^3\left(3x^2+a\right)dx=34$13(3x2+a)dx=34 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K1

    Bestäm konstanten $n$n så att  $\int_0^n\left(2x+4\right)dx=5$0n(2x+4)dx=5  då $0<$0< $n<6$n<6 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K1

    Bestäm konstanten $a$a så att  $\int_0^9f\left(x\right)dx=2\cdot f\left(a\right)$09ƒ (x)dx=2·ƒ (a)  då  $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\sqrt{\frac{4}{x}}$4x  

    Ange exakt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar