...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Integraler - definitionen

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand Anna Karp
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Integralens definition

Integraler kan förenklat beskrivas som en summa av en massa förändringar. Ett vanligt sätt att bestämma integralens värde är att beräkna arean under en funktions kurva. I de fall där arean inte motsvarar en känd geometrisk figur beräknas den genom att delas upp i oändligt många rektanglar, vars areor summeras.

Ibland kallas också denna summa för en Riemannsumma efter matematikern Berhard Riemann. Han var en tysk matematiker, bland andra, som har spelat stor roll för utvecklandet av integralberäkningar.

Symbolen  $\int$ infördes av en annan tysk matematiker som jobbade med beräkningar av integraler, Nämligen Gottfried Willhelm von Leibniz. Symbolen är en dåtida bokstav för s:et i summa.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Från en summa av areor till en integral

Här kommer en beskrivning av hur arean under kurvan och integralen hänger ihop. Först delas arean in i ett antal rektanglar med basen $\bigtriangleup x$x.

Integral

Höjden på varje rektangel sätts till $f\left(x_i\right)$ƒ (xi), där $x_i$xi motsvarar $x$x -värdet i mitten av varje rektangel. Vi beräkna arean på varje rektangel som höjden $f\left(x_i\right)$ƒ (xi) gånger basen $\bigtriangleup x$x , och får en generell beskrivning av varje rektangels arean till  $f\left(x_i\right)\cdot\bigtriangleup x$ƒ (xi)·x

Integral

För att få värdet till var rektangels area sätter vi nu in det indexvärde varje $x_i$xi antar för de olika rektanglarna. Rektangeln längst till vänster har index  $i=1$i=1 vilket ger arena  $f\left(x_1\right)\cdot\bigtriangleup x$ƒ (x1)·x. Rektangeln nästa längst till vänster har index  $i=2$i=2 vilket i sin tur ger värdet  $f\left(x_2\right)\cdot\bigtriangleup x$ƒ (x2)·x. Så fortsätter detta mönster för varje rektangel.

Summerar vi dessa rektanglars areor får vi att arean $A$A  mellan kurvan och $x$x -axeln i intervallet $a\le x\le b$axb är

 $A=f\left(x_1\right)\cdot\bigtriangleup x+f\left(x_2\right)\cdot\bigtriangleup x+f\left(x_3\right)\cdot\bigtriangleup x$A=ƒ (x1)·x+ƒ (x2)·x+ƒ (x3)·x 

Detta ger ett ganska grov närmevärde, då vi ser att rektanglarnas areor inte stämmer så bra överens med den faktiska arean mellan kurvan och  $x$x -axeln. För att minska felet delar vi därför upp arean i rektanglar med mindre och mindre bas $\bigtriangleup x$x.

När vi till slut fått väldigt många rektanglar, effektiviserar vi beräkningen genom att skriva om summan med hjälp av symbolen sigma, så här

 $\Sigma_{i=1}^nf\left(x_i\right)\cdot\bigtriangleup x$Σi=1nƒ (xi)·x 

vilket alltså motsvarar summan av $n$n stycken rektanglars areor. När basen $\bigtriangleup x$x blir mindre och mindre kommer antalet rektanglar att bli fler och fler.

När antalet rektanglar blir oändligt många, när $n\rightarrow\infty$n→∞, får vi ett gränsvärde på summan som kan beskrivas med

$ \lim\limits_{n \to \infty }$ $\Sigma_{i=1}^nf\left(x_i\right)\cdot\bigtriangleup x$Σi=1nƒ (xi)·x 

Det är detta gränsvärde som fått en egen symbol och betecknas med 

$ \int\limits_a^b f(x) dx $

där  $\int$ härstammar från bokstaven s som i summa och är tecknet för integralen och $dx$dx är skrivsättet som här motsvarar att $\bigtriangleup x$x går mot noll. 

Och så har vi här nu fått en ny metod för att beräkna arean mellan kurvan och  $x$x  -axeln!

Algebraisk integralberäkning

Metoden som presenteras ovan ligger till grund för den sats som vi i denna kurs använder för att bestämma en integrals värde algebraiskt.

Integralkalkylens Fundamentalsats

För alla kontinuerliga funktioner $f$ƒ  gäller att

Integral
där $F’\left(x\right)=f\left(x\right)$F(x)=ƒ (x) 

I satsen motsvaras de olika symboler och tecknen följande.

  • $ \int\limits $ är integraltecknet
  •  $a$a är den undre integrationsgränsen, som begränsar arean åt vänster
  •  $b$b är den övre integrationsgränsen, som begränsar arean åt höger
  •  $f\left(x\right)$ƒ (x) är integranden, som är den funktion som vi beräknar integralen till
  •  $x$x i skrivningen $dx$dx anger integrationsvariabeln
  • $dx$dx anger att beräkningen ska ske med avseende på förändring i $x$x -led
  • $F\left(x\right)$F(x) är en primitiv funktion till  $f\left(x\right)$ƒ (x) 

Själva beräkningen av integralen genomförs alltså genom att sätta in den över gränsen $b$b i den primitiva funktionen till $f\left(x\right)$ƒ (x) och subtraherar med värdet du får när du sätter in den undre gränsen $a$a i den primitiva funktionen $F\left(x\right)$F(x). I nästa lektion går i vi igenom exakt hur du kan beräknar integralen algebraiskt  med hjälp av denna sats.

Exempel i videon

  • En fotbollsspelare kastar ett inkast. Hastigheten $v \, m/s$ de första två sekunderna efter inkastet kan beskrivas med hjälp av funktionen $v(t)=4-t^2$ där $t$ är tiden i sekunder. Hur lång sträcka har bollen rört sig under de två första sekunderna?
  • Beräkna $ \int\limits_0^2 (4-t^2) dt  $

Kommentarer

Ebelia Perlkvist

På sista frågan valde jag rätt svarsalternativ enligt er lösning till uppgiften men fick ”fel”. Det verkar som att ni inte har markerat vilket alternativ av de 4 som är rätt.

Yosefd

Hej! förstår inte riktigt varför 3x^1 blir 3x^2/2 ibland så blir det bara x^3/3 sen undrar jag hur man ska tänka när det är e^-0.4X eller e^2x, e^-0.5 tex. Har lite svårt för detta.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du kan egentligen hela tiden gå på metoden att du upphöjer exponenten med ett steg och även delar med exponenten. Det kommer att bli rätt då. Det du kommer att märka är att du sedan kan förenkla uttrycket så att den primitiva funktionen blir enklare. Två exempel på detta:
    $ 3x $ har den primitiva funktionen $ \frac{3x^2}{2} $ (går inte att förenkla mer)
    $ 3x^2 $ har den primitiva funktionen $\frac{3x^3}{3} = x^3$ (Här gick det att förenkla då 3/3=1)

Jonsar

Bästa sidan för matte jag någonsin sett! Har alltid haft svårt att följa med på matte lektionerna men denna sida gör det flera gånger enklare att förstå. Tackar!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kul att höra!
    Fortsatt lycka till med pluggandet!

Leila

Hej!
Jag behöver hjälp med den här frågan,tack!
En area begränsas av funktionen y= 4e^4x + 2 , linjen x= -1 samt koordinataxlrna.
Jag försöker skicka biden av koordinatgrafen…

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Tror att jag behöver se en bild eller veta i vilken kvadrant vi befinner oss för att kunna lösa denna korrekt.

fatima94

Hej! jag behöver hjälp med att lösa denna uppgiften :
En sten kastas rakt upp i luften har hastigheten v(t)=24-9,8t. Tiden anges i sekunder och hastigheten i m/s.

a) hur högt har föremålet stigit efter 1 sek i luften?
b) hur högt stiger föremålet innan det vänder?
c) Har funktionen v(t) några begränsningar? om ja, ange dessa.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hejsan, här kastas alltså en sten upp i luften och kommer sedan att ”dras” tillbaka igen mot marken av tyngdkraften. Hastigheten kommer här att minska mot 0 tills den har nått vändpunkten och sedan att vara negativ tills den landar igen.
    a) Här vet du t = 1 och skall beräkna s som ges av integralen från t = 0 till t = 1. Dvs
    $ \int\limits_0^1 (24-9,8t) dt $

    b) Här kan du lösa ekvationen
    v(t) = 0 ⇔
    24-9,8t=0
    Dvs när hastigheten är 0 så har du en vändpunkt för stenen.

    c)
    v(t) kan ju aldrig vara större än 24. Sedan så kommer stenen att landa igen. Så här behöver du ta reda på efter hur lång tid som den har landat och vilken hastighet som den har (kommer att vara negativ) i landningsögonblicket.

johannawallstrom

Hej!
på fråga 3 räknade jag x^3/3 – x^3/3 +x=3
tog 3*1,5=4,5a.e

Hade jag tur eller hade jag också rätt??

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Johanna, har lite svårt att följa hur du tänkte här, i det här fallet så är det inte en ekvation som behöver lösas utan en integralberäkning så min rekommendation är att du försöker att göra liknande beräkningar med hjälp av integralkalkylens fundamentalsats så att det inte blir fel i framtida beräkningar.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket påstående stämmer bäst för integralen?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken integral kan du använda för att beräkna arean av det markerade området?

    Integral

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm värdet på $a$a genom att studera beräkningen av integralen här nedan.

     $\int_a^5\text{ }\text{ }e^x\text{ }dx=[e^x]^b_a=e^5-e^2\approx141$a5 ex dx=[ex]ba=e5e2141 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Ange den figur vars markerade area motsvarar integralen

      $\int_0^1\text{ }\text{ }x^3-3x^2+x+1\text{ }\text{ }dx$01 x33x2+x+1 dx 

    Integraler

    Träna på att motivera ditt svar.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    När vi beräknar integraler introducerar vi ett nytt skrivsätt.
    Vilket alternativ är ett  korrekt skriv sätt för fortsatt av beräkning av  $\int_1^4\text{ }\text{ }3x^2dx$14 3x2dx ?

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar