Integraler - definitionen – Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Integraler – definitionen

Integraler

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I denna video går vi igenom definitionen för en integral.Vi går också igenom det som kallas för integralkalkylens fundamentalsats. Vi löser också några inledande exempel på integralberäkningar.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
18 votes, average: 2,89 out of 518 votes, average: 2,89 out of 518 votes, average: 2,89 out of 518 votes, average: 2,89 out of 518 votes, average: 2,89 out of 5
18
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

4
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
MEDELPOÄNG
ALLA
2

Text

Exempel i videon

  • En fotbollsspelare kastar ett inkast. Hastigheten $v \, m/s$ de första två sekunderna efter inkastet kan beskrivas med hjälp av funktionen $v(t)=4-t^2$ där $t$ är tiden i sekunder. Hur lång sträcka har bollen rört sig under de två första sekunderna?
  • Beräkna $ \int\limits_0^2 (4-t^2) dt  $

Integralkalkylens Fundamentalsats

Ett vanligt exempel på användning av integraler är att beräkna arean under en funktionskurva

Integraler kan sägas vara en summa av förändringar där ett vanligt exempel och användningsområde för detta är att beräkna arean under en funktionskurva. Det här görs då genom att dela upp detta område i mindre delar och summera dessa.

Ibland kallas också dessa typer av summor för en Riemannsumma efter matematikern Berhard Riemann som, bland andra, har spelat stor roll för utvecklandet av det här begreppet.

Integralkalkylens fundamentalsats definieras enligt:

$ \int\limits_a^b f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) – F(a) $

där det är viktigt att känna till följande:

  • $ \int\limits_a^{b} $ kallas för integraltecken och a är den undre gränsen och b den övre.
  • f(x) kallas ibland för integrand och är den funktion som integralen skall beräknas för.
  • Med beteckningen dx menas att vi skall göra integralberäkningen med avseende på variabeln x.
  • För att få fram själva värdet tas den primitiva funktionen F(x) fram för f(x) och sedan beräknas F(b) – F(a)

Ett exempel på Integralberäkning

Beräkna integralen $ \int\limits_0^1 (2x + 1) dx $
Först tar vi fram primitiv funktion och får
$ \int\limits_0^1 (2x + 1) dx = \left[ x^2 + x \right]_0^1 $
Nu tar vi fram värdet genom att beräkna F(1) – F(0). Du sätter alltså in den undre gränsen och subtraherar med när du sätter in den övre gränsen i den primitiva funktionen.
$ \left[ x^2 + x \right]_0^1 = (1^2 + 1) – (0^2 + 0) = 2 $

Vi kan tolka svaret som vi får fram som arean under kurvan till f(x) = 2x+1 och över x – axeln mellan x = 0 till x = 1.

Kommentarer

  1. Hej!
    på fråga 3 räknade jag x^3/3 – x^3/3 +x=3
    tog 3*1,5=4,5a.e

    Hade jag tur eller hade jag också rätt??

    johannawallstrom
    1. Hej Johanna, har lite svårt att följa hur du tänkte här, i det här fallet så är det inte en ekvation som behöver lösas utan en integralberäkning så min rekommendation är att du försöker att göra liknande beräkningar med hjälp av integralkalkylens fundamentalsats så att det inte blir fel i framtida beräkningar.

      Simon Rybrand
  2. Hej! jag behöver hjälp med att lösa denna uppgiften :
    En sten kastas rakt upp i luften har hastigheten v(t)=24-9,8t. Tiden anges i sekunder och hastigheten i m/s.

    a) hur högt har föremålet stigit efter 1 sek i luften?
    b) hur högt stiger föremålet innan det vänder?
    c) Har funktionen v(t) några begränsningar? om ja, ange dessa.

    fatima94
    1. Hejsan, här kastas alltså en sten upp i luften och kommer sedan att ”dras” tillbaka igen mot marken av tyngdkraften. Hastigheten kommer här att minska mot 0 tills den har nått vändpunkten och sedan att vara negativ tills den landar igen.
      a) Här vet du t = 1 och skall beräkna s som ges av integralen från t = 0 till t = 1. Dvs
      $ \int\limits_0^1 (24-9,8t) dt $

      b) Här kan du lösa ekvationen
      v(t) = 0 ⇔
      24-9,8t=0
      Dvs när hastigheten är 0 så har du en vändpunkt för stenen.

      c)
      v(t) kan ju aldrig vara större än 24. Sedan så kommer stenen att landa igen. Så här behöver du ta reda på efter hur lång tid som den har landat och vilken hastighet som den har (kommer att vara negativ) i landningsögonblicket.

      Simon Rybrand
  3. Hej!
    Jag behöver hjälp med den här frågan,tack!
    En area begränsas av funktionen y= 4e^4x + 2 , linjen x= -1 samt koordinataxlrna.
    Jag försöker skicka biden av koordinatgrafen…

    Leila
    1. Hej,
      Tror att jag behöver se en bild eller veta i vilken kvadrant vi befinner oss för att kunna lösa denna korrekt.

      Simon Rybrand
  4. Bästa sidan för matte jag någonsin sett! Har alltid haft svårt att följa med på matte lektionerna men denna sida gör det flera gånger enklare att förstå. Tackar!

    Jonsar
    1. Kul att höra!
      Fortsatt lycka till med pluggandet!

      Simon Rybrand
  5. Hej! förstår inte riktigt varför 3x^1 blir 3x^2/2 ibland så blir det bara x^3/3 sen undrar jag hur man ska tänka när det är e^-0.4X eller e^2x, e^-0.5 tex. Har lite svårt för detta.

    Yosefd
    1. Hej
      Du kan egentligen hela tiden gå på metoden att du upphöjer exponenten med ett steg och även delar med exponenten. Det kommer att bli rätt då. Det du kommer att märka är att du sedan kan förenkla uttrycket så att den primitiva funktionen blir enklare. Två exempel på detta:
      $ 3x $ har den primitiva funktionen $ \frac{3x^2}{2} $ (går inte att förenkla mer)
      $ 3x^2 $ har den primitiva funktionen $\frac{3x^3}{3} = x^3$ (Här gick det att förenkla då 3/3=1)

      Simon Rybrand
  6. På sista frågan valde jag rätt svarsalternativ enligt er lösning till uppgiften men fick ”fel”. Det verkar som att ni inte har markerat vilket alternativ av de 4 som är rätt.

    Ebelia Perlkvist

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: