...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Integraler - Arean mellan kurvor

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Så beräknas arean mellan kurvor

Vi har utgått från att en integral kan definieras som arean mellan kurvan och $x$x-axeln. Men egentligen är det faktiskt så att integralen motsvarar arean under kurvan.

Vi har i tidigare lektioner visat att integralen kan definieras med gränsvärdet av summa av oändligt många rektanglar med arean $\bigtriangleup y\cdot\bigtriangleup x$y·x. Vi kommer även fortsatt se det så, med tillägget att $\bigtriangleup y$y motsvarar differensen mellan den övre funktionen och den undres uttryck oavsett om den undre funktionen är $x$x -axeln eller någon annan funktion. Vi kommen använda oss av att $\bigtriangleup y=f\left(x\right)-g\left(x\right)$y=ƒ (x)g(x) för varje $x$x -värde i intervallet. 

Integralen mellan kurvor

Vi gestaltar beräkningens modellen ovan med hjälp av funktionerna $f\left(x\right)$ƒ (x) och $g\left(x\right)$g(x)

Två integraler

Om vi ritar de två integralerna i samma figur, så att de överlappar varandra, kommer ƒ (x) motsvara den över funktionen och $g\left(x\right)$g(x)  den undre.

Överlappade integraler

Genom att ta bort arean som motsvarar integralen av den undre funktionen, den area som här markeras med en något mörkare blå färg, får vi arean som motsvarar arean mellan kurvorna.

Integralen mellan kurvor

Denna area som uppstår mellan två kurvor över intervallet $a$ till $b$ beräknas med integralen för differensen mellan den övre och den undre kurvan.

Area mellan kurvor

Arean mellan en övre kurva  $f\left(x\right)$ƒ (x) och en undre  $g\left(x\right)$g(x) i intervallet $a$ till $b$ motsvarar värdet av integralen

$ \int\limits_a^b (f(x) – g(x)) dx $

Nu följer ett exempel på beräkning av arena mellan två kurvor med hjälp av en integral.

Exempel 1

De två funktionerna  $f(x)=x+2$ƒ (x)=x+2  och  $y=x^2$y=x2  skär varandra i  $x=-1$x=1  och  $x=2$x=2 .

Beräkna arean mellan dessa båda kurvor. 

Lösning:

Den övre funktionen är $f(x)$ och den undre är $y$ så arean kan beräknas med formeln

$ \int\limits_a^b (f(x) – y) dx $

Vi får att

$ \int\limits_{-1}^2 (x +2- x^2) dx = $

 $\left[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^2=$[x22 +2xx33 ]12= 

 $\frac{2^2}{2}+$222 +$2\cdot2-$2·2$\frac{2^3}{3}-(\frac{(-1)^2}{2}$233 ((1)22  $+2\cdot(-1)-$+2·(1)$\frac{(-1)^3}{3})=$(1)33 )=  

 $2+4-$2+4 $\frac{8}{3}-\frac{1}{2}+2-\frac{1}{3}=$83 12 +213 =  $4,5$4,5 

Integralens värde är $4,5$4,5 vilket innebär att arean mellan kurvorna är $4,5$4,5 a.e. 

Integralen har ingen enhet i sig själv, men då den i detta fall motsvarade en area anges enheten area enhet, som förkortas a.e.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Integral mellan eller under kurvor?

I tidigare genomgångar har vi använt oss av beskrivningen att integralen $\int_a^bf(x)dx$abƒ (x)dx motsvarar arean mellan kurva och $x$x-axeln, i stället för under kurvan $f\left(x\right)$ƒ (x). Varför har detta ändå gett oss korrekta beräkningar?

Eftersom att $x$x -axelns funktionsuttryck är $y=0$y=0 får vi att arean mellan en kurva som ligger över $x$x-axeln och själva $x$x-axeln kan beräknas av integralen av differensen $f\left(x\right)-g\left(x\right)$ƒ (x)g(x) där $g\left(x\right)=0$g(x)=0. När $x$x -axeln är den undre kurvan gäller alltid att $f\left(x\right)-g\left(x\right)=f\left(x\right)-0=f\left(x\right)$ƒ (x)g(x)=ƒ (x)0=ƒ (x). Därför har vi kunnat tolka integralen  $\int_a^bf(x)dx$abƒ (x)dx som arena mellan kurvan och $x$x -axeln, i stället för under $f\left(x\right)$ƒ (x), och ändå fått korrekta svar.

Men hur är det då om kurvan inte ligger över $x$x -axeln, utan under?

Areor under $x$x -axeln

Då integralen motsvarar arean mellan kurvor, där ofta $x$x-axeln är en av kurvorna, kommer integralens värde att påverkas av om arean den motsvarar ligger över eller under $x$x -axeln.

Integral över och under x-axeln

Integralens värdet beräknas med differensen  $f\left(x\right)-0$ƒ (x)0 som integrand i de intervall där kurvan ligger över $x$x -axeln och med $0-f\left(x\right)$0ƒ (x) i intervall där den ligger under $x$x -axeln.

Integralens värde är summan av den totala arean ovanför $x$x-axeln subtraherat den totala arean under axeln. 

En area är aldrig negativ. Men en integrals värde kan vara negativ. Resultatet uppstår då areorna under $x$x-axeln i integralens aktuella intervall sammanlagt är större än arean ovanför  $x$x-axeln. 

Är din uppgift att bestämma värdet av en area som motsvarar en integral vars intervall innefattar både areor ovanför och under $x$x-axeln måste intervallet delas upp i delintervall. Uppgiften löses genom att beräkna areorna ovanför och under var för sig, för att sedan omvandla till enbart positiva värden och summera. 

Exempel 2

Beräkna integralen.

Integral under x-axeln
Lösning:

Figuren visar grafen till funktionen $f\left(x\right)=x^2-3x$ƒ (x)=x23x . Vi ser att funktionen skär $x$x -axeln då  $x_1=0$x1=0 och  $x_2=3$x2=3 . Dessa skärningspunkter ger oss intervallet för integralen.

Vi beräknar arean med hjälp av integralen.

 $\int_0^3\left(x^2-3x\right)\text{ }dx=$03(x23x) dx= 

 $\left[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right]_{_0}^{^{^3}}=$[x33 3x22 ]03= 

 $\frac{3^3}{3}-\frac{3\cdot3^2}{2}-\left(\frac{0^3}{3}-\frac{3\cdot0^2}{2}\right)=$333 3·322 (033 3·022 )= 

 $\frac{27}{3}-\frac{27}{2}$273 272  $-0\approx-4,5$04,5 

Integralen har ingen enhet så vi svarar med  $-4,5$4,5 

Exempel 3

Beräkna det markerade områdets area.

Integral under x-axeln
Lösning:

Arena kan beräknas som en integral mellan två kurvor. I detta exempel kommer $x$x-axeln att motsvara den övre funktionen. Den undre är $f\left(x\right)=x^2-3x$ƒ (x)=x23x . Vi ser att funktionen skär  $x$x -axeln då  $x_1=0$x1=0 och  $x_2=3$x2=3 . Dessa skärningspunkter ger oss intervallet för området.

Arean kan beräknas med integralen

 $\int_0^3-f\left(x\right)\text{ }dx$03ƒ (x) dx  eftersom att ekvationen om motsvarar  $x$x -axeln är  $y=0$y=0 och vi då får att vi ska integrera med avseende på differensen $0-f\left(x\right)=-f\left(x\right)$0ƒ (x)=ƒ (x) 

Vi beräknar arean med hjälp av integralen.

 $\int_0^3-\left(x^2-3x\right)\text{ }dx=$03(x23x) dx= 

 $\int_0^3-x^2+3x\text{ }dx=$03x2+3x dx= 

 $\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right]_{_0}^{^{^3}}=$[x33 +3x22 ]03= 

 $-\frac{3^3}{3}+\frac{3\cdot3^2}{2}-\left(-\frac{0^3}{3}+\frac{3\cdot0^2}{2}\right)=$333 +3·322 (033 +3·022 )= 

 $-\frac{27}{3}+\frac{27}{2}$273 +272  $-0\approx4,5$04,5 

Då integralen motsvara arean svarar vi med $4,5$4,5 a.e

Egenskaper hos integraler

För att underlätta beräkningen med integralen kan du använda följande egenskaper.

Egenskaper hos integraler

 $\int_a^bk\text{ }\cdot f\left(x\right)\text{ }dx=k\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx$abk ·ƒ (x) dx=k abƒ (x) dx    där  $k$k är en konstant.

 $\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx+\text{ }\int_b^cf\left(x\right)\text{ }dx=\int_a^cf\left(x\right)\text{ }dx$abƒ (x) dx+ bcƒ (x) dx=acƒ (x) dx  då  $a\le b\le c$abc 

  $\int_a^bf\left(x\right)\text{ }\pm g\left(x\right)dx=\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx\text{ }\pm\text{ }\int_a^bg\left(x\right)\text{ }dx$abƒ (x) ±g(x)dx= abƒ (x) dx ± abg(x) dx

 $\text{ }\int_a^af\left(x\right)\text{ }dx=0$ aaƒ (x) dx=0 

 $\text{ }\int_a^bf\left(x\right)\text{ }dx=\text{ }-\int_b^af\left(x\right)\text{ }dx$ abƒ (x) dx= baƒ (x) dx  

Man kan alltså tolka integralen som en summa av areorna över  $x$x -axeln minus areorna under  $x$x -axeln.

Exempel i videon

  • Beräkna arean mellan graferna till funktionerna $f(x)=4x-2x^2$ och $g(x)=x$ mellan skärningspunkterna $x=0$ och $x=1,5$.
  • Beräkna arean mellan kurvorna $f(x)=cosx$ och $g(x)=sinx$ i intervallet $ \pi/4≤ x ≤ \pi $.
  • Kurvorna till $ y=e^{0,2x} $ och $y=x^2$ innesluter tillsammans med $y-axeln$ ett område i första kvadranten. Teckna integralen för områdets area samt bestäm denna area med minst tre värdesiffror.

Kommentarer

Kawa Ananni

Se gärna över de rätta svaren och inkludera några olikformulerade svarsmöjligheter. Till exempel är det enda möjliga rätta svaret till fråga 1 inskrivet som ”4, 5 a.e” (med ett mellanrum mellan 4 och 5, samt utan punkt efter e). Varken 4,5 a.e. eller 4.5 a.e. (eller ens 4,5 a.e) räknas som rätta svar. Likadant är det för fråga 2, 3, 6 och 7, medan svar för fråga 8 är inskrivet som ”4/3 a.e” (med rätta utan mellanrum mellan 4 och 3, dock utan punkt efter e). Rätt svar för fråga 4 är till och med ”9/2a.e”! Lite slarvigt kan tyckas. Har stött på liknande problem flera gånger med tidigare uppgifter/kapitel.

Tack!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi kikar igenom dessa uppgifter direkt.
    Viktigt att veta är att det är inte bara det alternativ som visas som kan vara det korrekta svaret. 4,5 a.e. 4.5 a.e. räknas även de som rätta svar även om det inte syns. Vi skall göra så att vi lägger till vilka varianter som kan vara korrekta så att detta syns. Mellanslag spelar ingen roll när det rättas,dvs systemet tolkar ett ”mellanrum” som ingenting.
    Vi har dock gått igenom dessa uppgifter och uppdaterat dem så att det är lättare att få korrekt svar.
    Tack för din kommentar!

Henrik Åslin

Tjena,
Jag har några frågor om testet.
På fråga 5 kryssade jag i rätt svar men det blev fel när det rättades(facit sa samma som det jag kryssade i)

på fråga 8 får jag det till1.333 samma med min kalkylator.
(2*4^1.5)/3 -(4^2)/4 = (16/3)-4 = 4/3

Vart har jag räknat fel?

Tack för svar.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Vi har fått in felrapportering på detta och det är nu fixat, tack för att du påpekade detta!

Jim Klintrup

Hej. Undrar om ni kan se över uppgifterna 5 och 8 i detta avsnitt om arean mellan kurvor. I uppgift 5 klickar jag i rätt svar enligt beskrivningen i förklaringen men får fel ändå. I uppgift 8 så skriver jag in integralen i min räknare och får svaret 1,333333544 men enligt facit så är det 3,2. Är rätt så övertygad om att jag inte gjort fel men man vet aldrig, kanske missat något….

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    En bugg och ett fel i svaret är fixat, tack för att du sade till!

Max Bremberg Gårdinger

Hej,

Jag har en fråga angående radianer kontra grader, jag har fått direktiv att använda mig av grader, men här verkar du använda dig av radianer. vad är det egentligen som gäller? är det olika standard beroende på vilket område inom matten man befinner sig i? att det exempelvis är radianer när man jobbar med integraler men grader när man jobbar med trigonometri?

mvh
max

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vanligt är att man använder sig av radianer när man jobbat med tex derivata och integraler i samband med detta. Men det är ju också lite olika beroende på vilken kurs som du läser. Om du läser matematik 3 så används framförallt grader i trigonometrin. Vi håller på och omstrukturerar vårt material en aning och kommer plocka bort radianbegreppet från Matematik 3.

Rasheed

Hejsan. Jag tycker att era videor är jättebra. Men tyvärr så laddar videona jättsakta. Gör man pauser för att anteckna eller bara för att fånga upp information så får man 8 ggr av 10 börja om från början av video. Detta gör att man inte vill pausa. Det måste förbättras tycker jag.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det låter verkligen inte bra att du upplever detta. Det skall inte fungera på detta vis och det kan förstås bero på vilken dator i kombination med webbläsare som man använder sig av. Du får gärna kontakta oss på support@matematikvideo.se så kan vi se om vi kan ge dig några tips för att få detta att fungera bättre.

Alex

På uppgift 2, varför blir x1 och x2 1 och 4 när de va 2,5 och 1,5 efter pq-formen??

    Alex

    Never minde

maggix

Hej!
Du säger flera gånger att tex att den primitiva funktionen sinx = -cosx
Jag har inte fått någon genomgång av de här och förstår inte riktigt varför?
har du nån video där du går igenom derivering och primitiva funktioner med sin/cos? eller något dokument?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Kika på den här videon om att derivera sinx och cos x. Sedan kan du även kika på den här videon om primitiva funktioner.
    Där hittar du grunderna till att derivera dessa funktioner och att ta fram primitiv funktion.
    Hoppas att det hjälper dig vidare, annars får du gärna ställa fler frågor!

darrrrUC

Hej ett litet tips till sidan bara, en snabb länk under varje video med stil :

<<>> vore toppen så man snabbt kan navigera mellan lektionerna. Riktigt grymma videos, pluggar på distans och dessa videos förklarar otroligt tydligt och bra!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, tack för ditt förslag, vi kommer att implementera detta till hösten!
    Kul också att du gillar våra videos!

yussuf

Hej!

I uppgiften i videon där du får svar 2,414 a.e. får jag svaret till 1. Tänker att sin och cos pi fjärdedelar är samma och därför borde ta ut varandra? Vad gör jag ev fel?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, ja de har ju samma värde men eftersom att du har
    $-(-cos(\pi/4)-sin(\pi/4))= -(-1/\sqrt{2}-1/\sqrt{2})=$
    $ -(-2/\sqrt{2})=+2/\sqrt{2} $
    så tar de alltså ändå inte ut varandra.

Dandono

Hej Simon!

Jag undrar hur man räknar ut gränserna, funktionerna x^2-2 och x är givna, förutom att kolla på grafräknaren så vill jag veta hur man räknar ut gränserna alltså x

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    För att hitta gränserna mellan den övre och den undre funktionen kan du sätta de bägge funktionerna lika med varandra och lösa den ekvation som då uppstår. Alltså lösa ekvationen
    $ x^2-2=x ⇔ $
    $ x^2-x-2=0 $
    Här kan du använda pq formeln för att lösa ut x – värdet för undre och övre gräns.

folkuniv

Hej!
Undrar jag om det finns något genom gång för asymptot och samband mellan förändrings hastighet? För att jag kunde inte hitta något!
Tack

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, i nuläget har vi väldigt lite kring just begreppet asymptoter. Det ligger i planeringen framåt att få med detta i kursen då det är ett viktigt område.

soulpat

Har en fråga till. Hur vet man vilken kurva som är f(x) och vilken som är g(x) om man har: y=x^2 och y=1/x^2

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det enklaste är att ta reda på vilken av dessa bägge kurvor som är den övre genom att använda grafritande räknare eller grafprogram på datorn. Alternativet till detta är att ta reda på var kurvorna skär varandra först och sedan välja ett x värde och undersöka y värdet mellan dessa bägge skärningspunkter för att se vilken kurva som ligger överst.

      soulpat

      Tack så mycket!

soulpat

Försöker lösa: e^(0,2x)=x^2 algebraiskt men får skärningspunkten till x=e^0,2=1,22. Alltså inte samma svar som när jag gör det grafiskt. Vad gör jag för fel? Skulle du kunna lösa det algebraiskt steg för steg?
Tack,

    Simon Rybrand (Moderator)

    Den typen av ekvation som du nämner här ovan är i regel enklare att lösa grafiskt genom att rita ut funktionerna
    $ y = e^{(0,2x)} $
    $ y = x^2 $
    och se var dessa skär varandra. Det är en komplicerad historia att lösa dem algebraiskt så min rekommendation är att lösa den grafiskt istället.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    De två funktionerna  $f(x)=x+2$ƒ (x)=x+2  och  $y=x^2$y=x2  skär varandra i  $x=-1$x=1  och  $x=2$x=2 .

    Beräkna arean mellan dessa båda kurvor. 

    Svara med enheten a.e

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    De två funktionerna  $f(x)=-x^2+8$ƒ (x)=x2+8  och  $y=x^2$y=x2 skär varandra i  $x=-2$x=2  och  $x=2$x=2.

    Beräkna arean mellan kurvorna.
    Integral mellan kurvor

    Svara med en decimals noggrannhet och enheten a.e

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna integralen mellan funktionerna  $f(x)=5-x$ƒ (x)=5x  och  $g(x)=5+4x-x^2$g(x)=5+4xx2 

    Integral
    Svara med en decimals noggrannhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    De två funktionerna  $f(x)=4x-x^2$ƒ (x)=4xx2  och  $g(x)=x$g(x)=x  skär varandra i  $x=0$x=0  och  $x=3$x=3 .

    Beräkna arean mellan dessa båda kurvor.

    Svara med enheten a.e

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    En av integralerna nedan beskriver den markerade arean nedan. 

    Vilken?
    Arean mellan kurvor

    Träna på att motivera ditt svar på ett papper.

    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M1
    R
    K

    Bestäm arean mellan kurvorna till funktionerna  $f(x)=4x-x^2+2$ƒ (x)=4xx2+2  och  $y=-x+6$y=x+6 .

    Svara med enheten a.e

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna integralen som begränsas de två funktionerna  $f(x)=$ƒ (x)=  $\frac{e^x}{6}$ex6   och  $g(x)=2x+2$g(x)=2x+2  i intervallet  $1\le x\le4$1x4.

    Svara med en decimals noggrannhet.

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M1
    R
    K

     Figuren föreställer funktionerna  $f(x)=-x^2-x+6$ƒ (x)=x2x+6  och  $g(x)=x^2-1$g(x)=x21 .

    Beräkna arean av den markerade området.

    Integral_mellan_kurvor

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/4)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M1
    R
    K1

    Figuren visar grafen till två funktioner som kan beskrivas med uttrycken  $x=2y$x=2y  och $x=y^2$x=y2.

    Beräkna arean av det markerade området.

    Integral mellan kurvor

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar