Gränsvärden - Derivata (Ma 3, Ma 4) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Gränsvärden

Gränsvärden

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här genomgången går vi igenom innebörden av vad ett gränsvärde är samt hur dessa beräknas.

30 votes, average: 3,33 out of 530 votes, average: 3,33 out of 530 votes, average: 3,33 out of 530 votes, average: 3,33 out of 530 votes, average: 3,33 out of 5
30
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Exempel i videon

  • $ \lim\limits_{x \to ∞} \frac{1}{x} $
  • $ \lim\limits_{x \to 10} (100+x) $
  • $ \lim\limits_{h \to 0} \frac{2hx +h^2}{h} $
  • $ \lim\limits_{x \to ∞} \left( 9+\frac{9}{x} \right) $

Vad är ett gränsvärde?

Att beräkna ett gränsvärde innebär att få en beskrivning av funktionens värde, $y = f(x)$, då vi låter ett argument till funktionen (ofta används variabeln $x$ eller $h$ som argument) gå mot ett visst värde. Gränsvärden betecknas med lim efter latinskans limes och ser ut enligt följande:

För alla kontinuerlig funktioner gäller att

$ \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a) $

Här ovan har vi gränsvärdet för funktionen $f(x)$ då vi låter $x$ – värdet gå mot $a$.

Att beräkna gränsvärden

När du beräknar ett gränsvärde ersätter du de variabler som ”går mot något” mot det de går mot för att få ut resultatet. Ibland är gränsvärden relativt självklart att se och ibland behöver du förenkla eller utveckla uttrycket först för att få fram resultatet.

Exempel 1

$ \lim\limits_{x \to 2} (20x + x^2 + 10) $

Alla x går mot 2 så

$ \lim\limits_{x \to 2} (20x + x^2 + 10) = 40 + 4 + 10 = 54 $

Exempel 2

$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{15}{30+x} $

$x$ går mot $0$ så

$ \lim\limits_{x \to 0} \frac{15}{30+x} = \frac{15}{30}=\frac{1}{2} $

Exempel 3

$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{3xh+h^2}{xh} $

Vi förenklar först uttrycket till

$\frac{3xh+h^2}{xh} =  \frac{3x+h}{x} $

Vi får då gränsvärdet

$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{3x+h}{x}= \frac{3x}{x} = 3$

Kommentarer

  1. Skitbra sida, men saknar något tal där du dividerar med mer än bara ett tal i nämnare. Typ som detta.
    limes x->x
    4x^2+3x / x^2+x+10.
    Jag bröt ut x i täljaren och fick x(4x+3) / x^2+x+10.
    Stryker X i både täljare o nämnare = 4x+3 / x^2+10. Hur gör man sen?

    Hendick
    1. Hej, du har alltså gränsvärdet
      $ \lim\limits_{x \to x} \frac{4x^2+3x}{x^2+x+10} $
      Tyvärr så kan du inte förenkla det på det viset som du gör då det inte finns ett x vid 10. Ett alternativ hade varit att man kunde ha använt tex en kvadreringsregel för att faktorisera nämnaren på ett bra vis men i detta fall är detta tyvärr svårt. Det har inte blivit ngn siffra eller bokstav fel eller att jag kanske missförstår dig på ngt vis?

      Simon Rybrand
  2. Hej!
    kan någon förklara lite för mig.

    i parentes, hur kom det att
    exp 4 f(x+a)=(x+a)^2
    exp 5 f(x+h) =(x+h)^2+(x+h)

    jag är lite förvirrad/A

    Aggie
    1. Det handlar om vilken funktion du har, dvs i exempel 4 så har du funktionen
      $ f(x) = x^2 $
      Då gäller tex att
      $ f(2) = 2^2 $
      $ f(a) = a^2 $
      $ f(x+h) = (x+h)^2 $
      Dvs du byter ut x mot x+h

      Simon Rybrand
  3. Hur gör man när man har bråktal som täljare: (1/(3+h) – 1/3)/h

    nti_ma3
    1. Hej, jag tolkar det som att du har
      $ \lim\limits_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{3+h} – \frac{1}{3} }{h} $

      Här kan vi först jobba med att förenkla detta uttryck genom att skriva täljarens rationella uttryck på samma nämnare. Annars kommer det att bli svårt att beräkna gränsvärdet.

      $ \frac{ \frac{1}{3+h} – \frac{1}{3} }{h} = $

      $\frac{ \frac{3}{3(3+h)}-\frac{3+h}{3(3+h)} }{h} =$

      $\frac{ \frac{3-3-h}{3(3+h)}}{h} =$

      $\frac{-h}{3(3+h)} / \frac{h}{1} =$

      $ \frac{-h}{3h(3+h)} = \frac{-1}{9+h} $

      Nu blir det enklare att se att gränsvärdet går
      mot $ \frac{-1}{9} $ då h -> 0.

      Simon Rybrand
  4. Hej,

    Kan det saknas gränsvärde?
    I min mattebok finns detta
    lim x–> 4 x+1/x-4

    mitt svar är att gränsvärdet är= +- eternity men i boken står det att gränsvärdet saknas, samm för denna:
    lim y—-> -3 4/x+3.
    Jag tycker att de e eternity tecknet igen men det står att det saknas gränsvärde.
    Vad ser man skillnaden?

    Andrea
    1. Hej,
      Om vi tar det första gränsvärdet du har:
      $ \lim\limits_{x \to 4} \frac{x+1}{x-4} $
      så är detta inte definierat för att x->4 och vi får inte informationen om att vi går från vänster eller höger. Dvs om x->4⁻ eller x->4⁺ så hade det varit definierat och mycket riktigt blivit -∞ eller +∞ men då vi bara får reda på att det går mot 4 så kommer gränsvärdet hela tiden att variera (oscillera) mellan ±∞ och det går därmed inte att bestämma.

      Simon Rybrand
  5. Hej!

    Jag har en uppgift som jag har problem med att lösa, frågan lyder;

    beräkna gränsvärdet av

    xn=((n+1)/(n-1))^n

    när n går mot oändligheten?

    Någon som förstår var jag ska börja någonstans?
    MVH
    Linnea

    Linnea
    1. Hej Linnea,
      Jag tolkar ditt gränsvärde som
      $ \lim\limits_{n \to 0} (\frac{n+1}{n-1})^n $

      Då kan du skriva om kvoten som
      $ (\frac{n+1}{n-1})^n = (\frac{n}{n-1}+\frac{1}{n-1})^n $

      $ \frac{n}{n-1} = 1 $ då $ n -> ∞ $
      och
      $ \frac{1}{n-1} = 0 $ då $ n -> ∞ $

      Alltså gäller att
      $ \lim\limits_{n \to 0} (\frac{n+1}{n-1})^n = 1 $

      och xn=x*1 =x

      Simon Rybrand
  6. Hej kan någon hjälpa?
    Om lim->oändligheten och det står roten ur( 16x/(4x+9)) vad gör man då.?

    Emilia
    1. Jag tolkar det som att du har:
      $ \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\frac{16x}{4x+9}} $

      Det du kan göra här är att tänka att när x blir riktigt stort så kommer 9:an inte spelar så stor roll för gränsvärdet. De termer som dominerar för stora x blir
      $ \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\frac{16x}{4x}} =
      \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4} = 2
      $

      Simon Rybrand
  7. Hej!
    Jag förstår inte riktigt fråga 3. Jag ska alltså beräkna gränsvärdet lim 1/x när h -> 0. Jag fattar inte riktigt hur jag ska behandla variablerna när de inte är samma variabel. Alltså, Jag hade förstått frågan om den var ”beräkna gränsvärdet lim 1/x när x -> 0”. Står h & x alltid för något speciellt?

    viktorrydberg
    1. Hej, nej du har inte missförstått detta utan det är otydligt i den uppgiften. Vi har tydliggjort detta, säg till om något fortfarande är otydligt.

      Simon Rybrand
  8. hur gör man om uppgiften lyder: Beräkna gränsländet lim x->1
    (2-roten ur(5x-1))/(1-x^2)

    majanilsson
    1. Hej, här får du låta $ x -> 1^- $ (från vänster) och även låta $ x -> 1^+ $ (från höger)

      När $ x -> 1^- $ så går uttrycket mot +∞ då nämnaren går mot noll och är positiv.

      När $ x -> 1^+ $ så går uttrycket mot -∞ då nämnaren går mot noll och är negativ.

      Simon Rybrand
  9. Hur går det till när man dividerar kvadratrötter?
    Min uppgift:
    Bestäm ett troligt värde på gränsvärdet genom att beräkna uttryckets värde för mindre och mindre värden på x.

    A) lim när x går mot noll, roten ur 1+2x-1 dividerat med 2x

    B) lim när x går mot noll, 2^x-1 div med x

    Tack!! Bra sida med rättning och förklaringar ^^

    Olivia
    1. A)
      Du har alltså
      $ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x-1}}{2x} $
      Här kan vi skriva om kvoten
      $ \frac{\sqrt{1+2x-1}}{2x} = \frac{\sqrt{2x}}{2x} = $
      $ \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{2x} \cdot \sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}} $

      Nu kan du istället ta reda på
      $ \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{2x}} = ∞ $
      då nämnaren blir mycket liten och därmed går det mot oändligheten. Det kan också vara viktigt att fundera på om vi går från vänster (0⁻) eller höger (0⁺) mot noll. Om vi går från vänster kommer vi ju att behöva ta roten ur ett negativt tal och behöva hantera gränsvärdet med komplexa tal.

      Hoppas att detta hjälper dig på vägen!

      Simon Rybrand
  10. Hej, jag har en uppgift som jag inte kan lösa, kan någon snälla hjälpa mig?

    Beräkna gränsvärdena;
    Lim x–>3 = 3x^2-18x+27 / x-3

    Tänker jag rätt om jag har kommit fram till svaret -6 ?

    Etolie
    1. Hej,
      Tror att just svaret -6 inte stämmer.
      Här kan du först jobba med det rationella uttrycket först för att förenkla detta:

      $ \frac{3x^2-18x+27}{x-3} = \frac{3(x^2-6x+9)}{x-3} $
      Nu kan man faktorisera $ x^2-6x+9 $ så att vi får
      $\frac{3(x-3)(x-3)}{x-3} = 3(x-3) = 3x-9 $

      När x->3 för 3x-9 borde detta alltså blir 0.

      Simon Rybrand
      1. Jag förstår inte svaret du gav Etolie här.
        När man har kommit så långt som till 3x-9, tar man inte 9/3 då för att få x ensamt? Eller varför blir det 0? Vet ju att man inte kan sätta in 9/3=3 i ekvationen för då bli nämnaren 0…

        Jill
  11. Hej jag har en uppgift som jag kunde inte lösa, kan ni hjälpa mig snälla?

    beräkna gränsvärdet
    lim x–> -4 2x+8/x^2-16

    jag fick svar 240, men det känns fel

    randsara
    1. $\lim\limits_{x \to (-4)} \frac{2x+8}{x^2-16} $

      Du kan förenkla det rationella uttrycket enligt:
      $\frac{2x+8}{x^2-16} = $ $\frac{2(x+4)}{(x+4)(x-4)} = $ $\frac{2}{x-4} $

      Gränsvärdet blir då
      $ \lim\limits_{x \to (-4)} \frac{2}{x-4} = -\frac14$

      Simon Rybrand
      1. Hur får du fram värdet – 1/4 ur: 2/x-4?

        Jill
        1. Så här:
          $\lim\limits_{x \to (-4)} \frac{2}{x-4} = $ $ \frac{2}{-4-4} =\frac{2}{-8}= -\frac14$

          Simon Rybrand
  12. Hur kan jag visa att (1+1/n)^n = e då n —> oändligheten?

    kotte
    1. Hej,
      Två sätt att troliggöra (dock ej bevisa) detta är att välja ett antal värden på n för att på så vis se att gränsvärdet går mot e alternativt att rita ut funktionen $ f(x)=(1+1/x)^x $ och där se att funktionen går mot e.
      Det går även att bevisa det hela men det är mycket mer komplicerat. Titta in i vårt forum och posta frågan där så kan vi hjälpas åt med detta.

      Simon Rybrand
  13. Hej, jag har en fråga. Kan den här uträkningen stämma?
    lim x²+10x+25/x+5=-25-50+25/-5+5=100/-5=-20 ?
    x→-5

    Oscar
    1. Hej, nej du jobbar lite fel med gränsvärdet där. En vägledning till detta kan vara följande.

      $\lim\limits_{x \to 5} \frac{x²+10x+25}{x+5}$

      Jobba först med det rationella uttrycket där vi kan faktorisera täljaren med en kvadreringsregel.

      $\frac{x²+10x+25}{x+5}=\frac{(x+5)^2}{x+5}=x+5$
      $\lim\limits_{x \to 5} (x+5) = 10$

      Simon Rybrand
  14. Hej, kan du hjälpa mig att förstå det här talet?
    Lim går mot -1 x^3-x/1+x

    Oscar
    1. $\lim\limits_{x \to -1} \frac{x^3-x}{1+x} = $
      $\lim\limits_{x \to -1} \frac{x(x^2-1)}{1+x} = $(konjugatregeln i nämnaren)
      $\lim\limits_{x \to -1} \frac{x(x+1)(x-1)}{1+x} = $
      $\lim\limits_{x \to -1} x(x-1) = $
      $\lim\limits_{x \to -1} x^2-x = 2$
      Sista steget ges av:
      $(-1)^2-(-1)=1+1=2$

      Simon Rybrand
  15. Hej, jag har en fråga om två tal. Vad blir gränsvärdet (om det finns nåt) i de här talen då x närmar sig 2?

    f(x)= (2-2)^2/2-2 Först trodde jag det blev 0 men nu -2 stämmer det?

    f(x)= (x-2)^2/(x-2)^3 Om det inte finns på denna, varför inte?

    Cissi
    1. I den första funktionen så saknas en variabel x i formeln, skulle det vara ett x där någonstans?

      Det andra uppgiften har ett gränsvärde. Den går mot +∞ om x→2⁺ (från höger) och -∞ om x→2⁻ (från vänster).

      Vi kan skriva det så här:
      $\lim\limits_{x \to 2} \frac{\left(x-2\right)^2}{(x-2)^3} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)}$

      Från höger:
      $\lim\limits_{x \to 2^{+}} \frac{1}{(x-2)} = +∞ $

      Från Vänster:
      $\lim\limits_{x \to 2^{-}} \frac{1}{(x-2)} = -∞ $

      Simon Rybrand
  16. Ja på första skulle det vara f(x)=(x-2)^2/(x-2)

    Cissi
    1. eller nej utan parentes i nämnaren, i övrigt samma

      Cissi
    2. $\frac{(x-2)^2}{x-2}=x-2$

      $\lim\limits_{x \to 2} (x-2) = 0$

      Simon Rybrand
  17. Hej!
    Hur räknar man ut lim t->0 för t / (roten ur 4+t minus roten ur 4-t)

    OliviaFrida
    1. Antar att du menar gränsvärdet
      $\lim\limits_{t \to 0} \frac{t}{\sqrt{4+t}-\sqrt{4-t}} $
      Här kan du multiplicera med nämnarens konjugat både i täljaren och nämnaren, dvs
      $\frac{t(\sqrt{4+t}+\sqrt{4-t})}{(\sqrt{4+t}-\sqrt{4-t})(\sqrt{4+t}+\sqrt{4-t})}$
      Nu kan du utveckla nämnaren med konjugatregeln och då ges
      $\frac{t(\sqrt{4+t}+\sqrt{4-t})}{(\sqrt{4+t})^2-(\sqrt{4-t})^2} = $ $\frac{t(\sqrt{4+t}+\sqrt{4-t})}{4+t-(4-t)} = $
      $\frac{t(\sqrt{4+t}+\sqrt{4-t})}{2t} = $ $ \frac12(\sqrt{4+t}+\sqrt{4-t}) $
      Om du nu låter t gå mot noll i detta uttryck så kommer du få gränsvärdet 2. Dvs
      $\lim\limits_{t \to 0} \frac{t}{\sqrt{4+t}-\sqrt{4-t}} = 2$

      Simon Rybrand
  18. Hur löser jag följande: lim —>2 (x^2-4/x-2+4x-8/x^2-4) ?

    Kim kärki
    1. Stämmer det att det gäller uttrycket $\lim\limits_{x \to 2} \, (x^2-\frac{4}{x}-2+4x-\frac{8}{x^2}-4)$?
      I så fall går det gränsvärdet mot 2 då
      $ 2^2-\frac{4}{2}-2+4·2-\frac{8}{2^2}-4 = 2 $

      Simon Rybrand
  19. Hej
    I uppgift 3 så sår det: lim x→0 i 1/x och svaret ska vara −∞ men om man testar att räkna ut några steg på vägen t.ex. 1/0.1=10 1/0.01=100 1/0.001=1000 så värkar det för mig som om det går mot den positiva oändligheten, skulle du kunna förklara hur jag tänker fel och hur jag ska tänka.

    Tack

    Anton Boyertson
    1. Hej Anton
      Här står det att x går mot ”minus noll”, dvs $ x \to 0^- $. Det här innebär att vi går mot 0 från vänster så det du skall skriva istället är:
      1/-0.1=-10 1/-0.01=-100 1/-0.001=-1000
      Ett gränsvärde kan närma sig något både från vänster och från höger.

      Simon Rybrand
  20. Hej, hur löser jag denna gränsvärde lim x^2+10x+25/x+5 (x går mot -5)

    Kim kärki
    1. Faktorisera täljaren med en kvadreringsregel så att du får
      $ x^2+10x+25=(x+5)^2 $
      Då får du gränsvärdet
      $\lim\limits_{x \to -5} \frac{\left(x+5\right)^2}{x+5} =$
      $\lim\limits_{x \to -5} (x+5) =0$

      Simon Rybrand
  21. Sitter med samma uppgift som jag antar att Kim Kärki, några poster upp, tidigare försökte förklara.

    $\lim\limits_{x \to 2} ( \frac{x^2-4}{x-2} + \frac{4x-8}{x^2-4} )$

    Skulle uppskatta hjälp på denna uppgift.

    Tim Fredell
    1. Hej! Det blir enklare här att se vad gränsvärdet går mot om vi först förenklar det rationella uttrycken.
      Det första vi kan göra är att med hjälp av konjugatregeln skriva $ x^2-4=x^2-2^2=(x+2)(x-2) $. Då får vi
      $\frac{(x+2)(x-2)}{x-2} + \frac{4x-8}{(x+2)(x-2)} $
      I den andra termens täljare bryter vi nu ut 4 och får
      $\frac{(x+2)(x-2)}{x-2} + \frac{4(x-2)}{(x+2)(x-2)} $
      I bägge termerna kan vi nu förkorta med $(x-2)$ vilket ger oss
      $x+2 + \frac{4}{x+2} $
      Så nu har vi gränsvärdet
      $\lim\limits_{x \to 2} ( x+2 + \frac{4}{x+2} ) = 5 $

      $ 2+2 + \frac{4}{2+2}=4+1=5 $

      Simon Rybrand
  22. Blir inte riktigt klok på

    lim —> oändligheten 2x/x^2

    Försöker bestämma gränsvärdet, men fastar på denna

    Mattefreak
    1. $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x}{x^2}$
      Förkorta med x
      $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2}{x} =0$

      Simon Rybrand
  23. Ljudet på denna videon funkar inte

    Tobias Persson
    1. Testade snabbt här och då fungerade det. Vilken webbläsare/datortyp/mobil använder du?

      Simon Rybrand
  24. hej! Skulle behöva hjälp med att lösa denna uppgift:
    lim x->∞ 4x^2+3x-5/x^2+1
    Tacksam för hjälp!

    Anna Nyback
    1. Är det uttrycket $\frac{4x^2+3x-5}{x^2+1}$?

      Simon Rybrand
  25. I sista uppgiften dyker det i förklaringen upp en 3:a i nämnaren när ”h” ersätts med olika tal. 3:an finns inte med i grunduttrycket. Kunde inte lösa uppgiften – men nu när 3:an dök upp så är det ju möjligt. Borde 3:an stå med från början? // Rasmus

    Rasmus Mononen
    1. Hej Rasmus.

      I uppgiften har du trean i exponenten. Det är därifrån trean kommer.

      $\lim\limits_{h \to 0} \frac{10^{3+h}-10^3}{h}$

      Du sätter sedan in små värden för $h$ och beräknar.

      David Admin

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: