...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Gränsvärden

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Vad är ett gränsvärde?

Funktionen  $f\left(x\right)=$ƒ (x)= $\frac{6}{x-3}$6x3   är inte definierad för $x=3$x=3 . För när $x=3$x=3 blir nämnaren lika med noll och vi får en kvot vi inte kan beräkna värdet av. Det leder till att funktionen inte är definierar för detta värde. Däremot kan vi bestämma värdet på kvoten för $x$x -värden som ligger väldigt nära $3$3, tex $x=2,999$x=2,999 eller  $x=3,001$x=3,001 och på så sätt uppskatta funktionsvärdet, vi får ett gränsvärde.

Att undersöka gränsvärden till funktioner, innebär att undersöka vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, ofta $x$x, närmar sig ett givet värde.

Ett gränsvärde är det värde uttrycket eller funktionen antar, när variabeln närmar sig det värde variabeln ”går mot”. 

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Skrivsättet limes i matematiken

Gränsvärden betecknas med lim efter latinskans limes. För att ange att $x$x går mot värdet $a$a skriver man ${x \to a} $.

För att skriva ”gränsvärdet då $x$x går mot $a$a” använder man skrivsättet $ \lim\limits_{x \to a} $.

Man kan förstå uttrycket ”går mot” som att $x$x -värdet närmar sig det värde det ”går mot” otroligt mycket. Så mycket att man till och med kan ersätta variabeln med värdet vid beräkningen av uttryckets gränsvärde.

Gränsvärde

För alla kontinuerlig funktioner gäller att

$ \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a) $

Här ovan står alltså, att gränsvärdet för funktionen $f(x)$ då vi låter $x$ -värdet gå mot $a$, är lika med $f\left(a\right)$ƒ (a).

Att beräkna gränsvärden algebraiskt

Du beräknar ett gränsvärde genom att ersätta variabeln med det givna värdet det går mot, för att sedan beräkna uttryckets eller funktionens värde. 

För vissa uttryck och funktioner kan man beräkna gränsvärdet direkt genom insättning. För andra behöver man först förenkla eller skriva om uttrycket på olika vis, för att sedan kunna beräkna gränsvärdet.

Exempel 1

Beräkna gränsvärdet  $ \lim\limits_{x \to 3} $ $4+x$4+x 

Lösning:

Genom att låta $x$x närma sig värdet $3$3 kommer uttrycket närma sig värdet $7$7, därför att 

$ \lim\limits_{x \to 3} $ $4+x=$4+x= $4+3=7$4+3=7 då $ x \to 3$

Här är det inget problem att låta variabeln gå mot värdet utan att skriva om eller förenkla först.

Exempel 2

Beräkna gränsvärdet $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{3h+h^2}{h}$3h+h2h  

Lösning:

Ersätter vi  $h$h med noll direkt, får vi en nolldivision, alltså en kvot där nämnaren är noll. Då kan vi inte beräkna kvotens värde och därmed inte gränsvärdet. Därför förenklar vi först uttrycket till

 $\frac{3h+h^2}{h}=\frac{h\left(3+h\right)}{h}=\frac{3+h}{1}=$3h+h2h =h(3+h)h =3+h1 = $3+h$3+h  

Nu beräknar vi gränsvärdet genom att ersätta $h$h med noll.

$ \lim\limits_{h \to 0} $ $\left(3+h\right)=3+0=3$(3+h)=3+0=3  då  $h\rightarrow0$h→0 

Att beräkna gränsvärden numeriskt

För vissa funktioner är det lättast att bestämma gränsvärdet genom att sätta värden nära värdet variabeln går mot för att på så sätt beräkna ett gränsvärdet numeriskt.

Exempel 3

Grafen beskriver exponentialfunktionen   $y=-0,7^x+5$y=0,7x+5. Bestäm funktionens gränsvärde då $x$x blir oändligt stort.

Lösning:

Genom att studera grafen ser vi att funktionen närmar sig värdet  $y=5$y=5 då funktionen antar större och större värde på  $x$x .

Algebraiskt kan vi beräkna detta genom att större och större värden för $x$x.

 $x=10$x=10 ⇒ $y\left(10\right)=-0,7^{10}+5\approx-2,8\cdot10^{-1}+5=4,72$y(10)=0,710+52,8·101+5=4,72

 $x=100$x=100 ⇒   $y\left(100\right)=-0,7^{100}+5\approx-3,23\cdot10^{16}+5\approx0+5=5$y(100)=0,7100+53,23·1016+50+5=5 

x=1 000 ⇒ $y\left(1\text{ }000\right)=-0,7^{1\text{ }000}+5\approx-1,25\cdot10^{-155}+5\approx0+5=5$y(1 000)=0,71 000+51,25·10155+50+5=5 

x=1 000 000 ⇒ $y\left(1\text{ }000\text{ }000\right)=-0,7^{1\text{ }000\text{ }000}+5\approx-1,10\cdot10^{-154\text{ }902}+5\approx0+5=5$y(1 000 000)=0,71 000 000+51,10·10154 902+50+5=5 

Vi ser att för  $x=1\text{ }000\text{ }000$x=1 000 000 får  $y\left(1\text{ }000\text{ }000\right)=-0,7^{1\text{ }000\text{ }000}+5\approx0+5=5$y(1 000 000)=0,71 000 000+50+5=5. 

Det innebär att gränsvärdet för funktionen när  blir oändligt stort är $5$5

Med ett matematiskt språk skriver vi

$ \lim\limits_{x \to ∞} $ $-0,7^x+5=0+5$0,7x+5=0+5 då $x\rightarrow+\infty$x+

Man skulle även resonera sig fram till svaret genom att veta att en bas som finns i intervallet  $0<$0< $a<1$a<1 kommer bli mindre och mindre ju större exponenten blir. Tillslut kommer värdet vara så litet att man kan räkna med det som det som värdet noll.

När använder man gränsvärden?

När vi vill beskriva hur en funktion förändras beräknar vi en ändringskvot i ett intervall. Ju mindre intervall vi väljer, ju bättre närmevärde till funktionens faktiska förändringshastighet. Vill vi få en exakt beskrivning av förändringen i en punkt behöver vi en tangent istället. Alltså en linje som tangerar, ”rör vid”, grafen i endast en punkt.

Men en tangent är inte helt lätta att rita så att den får en korrekt lutning, en lutning som faktiskt motsvarar punktens lutning. Lättare då är att rita en sekant, med ett mycket litet avstånd mellan de två punkterna. Det är här gränsvärdet framför allt tillämpas i denna kurs. Vi vill göra så att avståndet mellan punkterna närmar sig värdet noll. Alltså sammanfaller och går från att vara två punkter till att bli en. Det är detta gränsvärde som vi ska använda för att definiera derivatan.

En annan tillämpning är, som vi nämnt tidigare i denna text, för att kunna beräkna funktionens närmevärde för i punkter på grafen som ligger mycket nära variabelvärden där funktionen annars inte är definierad.  Till exempel för rationella funktioner.

Exempel i videon

  • Beräkna gränsvärdet $ \lim\limits_{x \to ∞} \frac{1}{x} $
  • Beräkna gränsvärdet $ \lim\limits_{x \to 10} (100+x) $
  • Beräkna gränsvärdet $ \lim\limits_{h \to 0} \frac{2hx +h^2}{h} $
  • Beräkna gränsvärdet $ \lim\limits_{x \to ∞} \left( 9+\frac{9}{x} \right) $

Kommentarer

Rasmus Mononen

I sista uppgiften dyker det i förklaringen upp en 3:a i nämnaren när ”h” ersätts med olika tal. 3:an finns inte med i grunduttrycket. Kunde inte lösa uppgiften – men nu när 3:an dök upp så är det ju möjligt. Borde 3:an stå med från början? // Rasmus

    David Admin (Moderator)

    Hej Rasmus.

    I uppgiften har du trean i exponenten. Det är därifrån trean kommer.

    $\lim\limits_{h \to 0} \frac{10^{3+h}-10^3}{h}$

    Du sätter sedan in små värden för $h$ och beräknar.

Anna Nyback

hej! Skulle behöva hjälp med att lösa denna uppgift:
lim x->∞ 4x^2+3x-5/x^2+1
Tacksam för hjälp!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Är det uttrycket $\frac{4x^2+3x-5}{x^2+1}$?

Tobias Persson

Ljudet på denna videon funkar inte

    Simon Rybrand (Moderator)

    Testade snabbt här och då fungerade det. Vilken webbläsare/datortyp/mobil använder du?

Mattefreak

Blir inte riktigt klok på

lim —> oändligheten 2x/x^2

Försöker bestämma gränsvärdet, men fastar på denna

    Simon Rybrand (Moderator)

    $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2x}{x^2}$
    Förkorta med x
    $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{2}{x} =0$

Tim Fredell

Sitter med samma uppgift som jag antar att Kim Kärki, några poster upp, tidigare försökte förklara.

$\lim\limits_{x \to 2} ( \frac{x^2-4}{x-2} + \frac{4x-8}{x^2-4} )$

Skulle uppskatta hjälp på denna uppgift.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej! Det blir enklare här att se vad gränsvärdet går mot om vi först förenklar det rationella uttrycken.
    Det första vi kan göra är att med hjälp av konjugatregeln skriva $ x^2-4=x^2-2^2=(x+2)(x-2) $. Då får vi
    $\frac{(x+2)(x-2)}{x-2} + \frac{4x-8}{(x+2)(x-2)} $
    I den andra termens täljare bryter vi nu ut 4 och får
    $\frac{(x+2)(x-2)}{x-2} + \frac{4(x-2)}{(x+2)(x-2)} $
    I bägge termerna kan vi nu förkorta med $(x-2)$ vilket ger oss
    $x+2 + \frac{4}{x+2} $
    Så nu har vi gränsvärdet
    $\lim\limits_{x \to 2} ( x+2 + \frac{4}{x+2} ) = 5 $

    $ 2+2 + \frac{4}{2+2}=4+1=5 $

Kim kärki

Hej, hur löser jag denna gränsvärde lim x^2+10x+25/x+5 (x går mot -5)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Faktorisera täljaren med en kvadreringsregel så att du får
    $ x^2+10x+25=(x+5)^2 $
    Då får du gränsvärdet
    $\lim\limits_{x \to -5} \frac{\left(x+5\right)^2}{x+5} =$
    $\lim\limits_{x \to -5} (x+5) =0$

Anton Boyertson

Hej
I uppgift 3 så sår det: lim x→0 i 1/x och svaret ska vara −∞ men om man testar att räkna ut några steg på vägen t.ex. 1/0.1=10 1/0.01=100 1/0.001=1000 så värkar det för mig som om det går mot den positiva oändligheten, skulle du kunna förklara hur jag tänker fel och hur jag ska tänka.

Tack

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Anton
    Här står det att x går mot ”minus noll”, dvs $ x \to 0^- $. Det här innebär att vi går mot 0 från vänster så det du skall skriva istället är:
    1/-0.1=-10 1/-0.01=-100 1/-0.001=-1000
    Ett gränsvärde kan närma sig något både från vänster och från höger.

Kim kärki

Hur löser jag följande: lim —>2 (x^2-4/x-2+4x-8/x^2-4) ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Stämmer det att det gäller uttrycket $\lim\limits_{x \to 2} \, (x^2-\frac{4}{x}-2+4x-\frac{8}{x^2}-4)$?
    I så fall går det gränsvärdet mot 2 då
    $ 2^2-\frac{4}{2}-2+4·2-\frac{8}{2^2}-4 = 2 $

OliviaFrida

Hej!
Hur räknar man ut lim t->0 för t / (roten ur 4+t minus roten ur 4-t)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Antar att du menar gränsvärdet
    $\lim\limits_{t \to 0} \frac{t}{\sqrt{4+t}-\sqrt{4-t}} $
    Här kan du multiplicera med nämnarens konjugat både i täljaren och nämnaren, dvs
    $\frac{t(\sqrt{4+t}+\sqrt{4-t})}{(\sqrt{4+t}-\sqrt{4-t})(\sqrt{4+t}+\sqrt{4-t})}$
    Nu kan du utveckla nämnaren med konjugatregeln och då ges
    $\frac{t(\sqrt{4+t}+\sqrt{4-t})}{(\sqrt{4+t})^2-(\sqrt{4-t})^2} = $ $\frac{t(\sqrt{4+t}+\sqrt{4-t})}{4+t-(4-t)} = $
    $\frac{t(\sqrt{4+t}+\sqrt{4-t})}{2t} = $ $ \frac12(\sqrt{4+t}+\sqrt{4-t}) $
    Om du nu låter t gå mot noll i detta uttryck så kommer du få gränsvärdet 2. Dvs
    $\lim\limits_{t \to 0} \frac{t}{\sqrt{4+t}-\sqrt{4-t}} = 2$

Cissi

Ja på första skulle det vara f(x)=(x-2)^2/(x-2)

    Cissi

    eller nej utan parentes i nämnaren, i övrigt samma

    Simon Rybrand (Moderator)

    $\frac{(x-2)^2}{x-2}=x-2$

    $\lim\limits_{x \to 2} (x-2) = 0$

Cissi

Hej, jag har en fråga om två tal. Vad blir gränsvärdet (om det finns nåt) i de här talen då x närmar sig 2?

f(x)= (2-2)^2/2-2 Först trodde jag det blev 0 men nu -2 stämmer det?

f(x)= (x-2)^2/(x-2)^3 Om det inte finns på denna, varför inte?

    Simon Rybrand (Moderator)

    I den första funktionen så saknas en variabel x i formeln, skulle det vara ett x där någonstans?

    Det andra uppgiften har ett gränsvärde. Den går mot +∞ om x→2⁺ (från höger) och -∞ om x→2⁻ (från vänster).

    Vi kan skriva det så här:
    $\lim\limits_{x \to 2} \frac{\left(x-2\right)^2}{(x-2)^3} = \lim\limits_{x \to 2} \frac{1}{(x-2)}$

    Från höger:
    $\lim\limits_{x \to 2^{+}} \frac{1}{(x-2)} = +∞ $

    Från Vänster:
    $\lim\limits_{x \to 2^{-}} \frac{1}{(x-2)} = -∞ $

Oscar

Hej, kan du hjälpa mig att förstå det här talet?
Lim går mot -1 x^3-x/1+x

    Simon Rybrand (Moderator)

    $\lim\limits_{x \to -1} \frac{x^3-x}{1+x} = $
    $\lim\limits_{x \to -1} \frac{x(x^2-1)}{1+x} = $(konjugatregeln i nämnaren)
    $\lim\limits_{x \to -1} \frac{x(x+1)(x-1)}{1+x} = $
    $\lim\limits_{x \to -1} x(x-1) = $
    $\lim\limits_{x \to -1} x^2-x = 2$
    Sista steget ges av:
    $(-1)^2-(-1)=1+1=2$

Oscar

Hej, jag har en fråga. Kan den här uträkningen stämma?
lim x²+10x+25/x+5=-25-50+25/-5+5=100/-5=-20 ?
x→-5

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, nej du jobbar lite fel med gränsvärdet där. En vägledning till detta kan vara följande.

    $\lim\limits_{x \to 5} \frac{x²+10x+25}{x+5}$

    Jobba först med det rationella uttrycket där vi kan faktorisera täljaren med en kvadreringsregel.

    $\frac{x²+10x+25}{x+5}=\frac{(x+5)^2}{x+5}=x+5$
    $\lim\limits_{x \to 5} (x+5) = 10$

kotte

Hur kan jag visa att (1+1/n)^n = e då n —> oändligheten?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Två sätt att troliggöra (dock ej bevisa) detta är att välja ett antal värden på n för att på så vis se att gränsvärdet går mot e alternativt att rita ut funktionen $ f(x)=(1+1/x)^x $ och där se att funktionen går mot e.
    Det går även att bevisa det hela men det är mycket mer komplicerat.

randsara

Hej jag har en uppgift som jag kunde inte lösa, kan ni hjälpa mig snälla?

beräkna gränsvärdet
lim x–> -4 2x+8/x^2-16

jag fick svar 240, men det känns fel

    Simon Rybrand (Moderator)

    $\lim\limits_{x \to (-4)} \frac{2x+8}{x^2-16} $

    Du kan förenkla det rationella uttrycket enligt:
    $\frac{2x+8}{x^2-16} = $ $\frac{2(x+4)}{(x+4)(x-4)} = $ $\frac{2}{x-4} $

    Gränsvärdet blir då
    $ \lim\limits_{x \to (-4)} \frac{2}{x-4} = -\frac14$

      Jill

      Hur får du fram värdet – 1/4 ur: 2/x-4?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Så här:
        $\lim\limits_{x \to (-4)} \frac{2}{x-4} = $ $ \frac{2}{-4-4} =\frac{2}{-8}= -\frac14$

Etolie

Hej, jag har en uppgift som jag inte kan lösa, kan någon snälla hjälpa mig?

Beräkna gränsvärdena;
Lim x–>3 = 3x^2-18x+27 / x-3

Tänker jag rätt om jag har kommit fram till svaret -6 ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Tror att just svaret -6 inte stämmer.
    Här kan du först jobba med det rationella uttrycket först för att förenkla detta:

    $ \frac{3x^2-18x+27}{x-3} = \frac{3(x^2-6x+9)}{x-3} $
    Nu kan man faktorisera $ x^2-6x+9 $ så att vi får
    $\frac{3(x-3)(x-3)}{x-3} = 3(x-3) = 3x-9 $

    När x->3 för 3x-9 borde detta alltså blir 0.

      Jill

      Jag förstår inte svaret du gav Etolie här.
      När man har kommit så långt som till 3x-9, tar man inte 9/3 då för att få x ensamt? Eller varför blir det 0? Vet ju att man inte kan sätta in 9/3=3 i ekvationen för då bli nämnaren 0…

Olivia

Hur går det till när man dividerar kvadratrötter?
Min uppgift:
Bestäm ett troligt värde på gränsvärdet genom att beräkna uttryckets värde för mindre och mindre värden på x.

A) lim när x går mot noll, roten ur 1+2x-1 dividerat med 2x

B) lim när x går mot noll, 2^x-1 div med x

Tack!! Bra sida med rättning och förklaringar ^^

    Simon Rybrand (Moderator)

    A)
    Du har alltså
    $ \lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x-1}}{2x} $
    Här kan vi skriva om kvoten
    $ \frac{\sqrt{1+2x-1}}{2x} = \frac{\sqrt{2x}}{2x} = $
    $ \frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{2x} \cdot \sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}} $

    Nu kan du istället ta reda på
    $ \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{2x}} = ∞ $
    då nämnaren blir mycket liten och därmed går det mot oändligheten. Det kan också vara viktigt att fundera på om vi går från vänster (0⁻) eller höger (0⁺) mot noll. Om vi går från vänster kommer vi ju att behöva ta roten ur ett negativt tal och behöva hantera gränsvärdet med komplexa tal.

    Hoppas att detta hjälper dig på vägen!

majanilsson

hur gör man om uppgiften lyder: Beräkna gränsländet lim x->1
(2-roten ur(5x-1))/(1-x^2)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, här får du låta $ x -> 1^- $ (från vänster) och även låta $ x -> 1^+ $ (från höger)

    När $ x -> 1^- $ så går uttrycket mot +∞ då nämnaren går mot noll och är positiv.

    När $ x -> 1^+ $ så går uttrycket mot -∞ då nämnaren går mot noll och är negativ.

viktorrydberg

Hej!
Jag förstår inte riktigt fråga 3. Jag ska alltså beräkna gränsvärdet lim 1/x när h -> 0. Jag fattar inte riktigt hur jag ska behandla variablerna när de inte är samma variabel. Alltså, Jag hade förstått frågan om den var ”beräkna gränsvärdet lim 1/x när x -> 0”. Står h & x alltid för något speciellt?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, nej du har inte missförstått detta utan det är otydligt i den uppgiften. Vi har tydliggjort detta, säg till om något fortfarande är otydligt.

Emilia

Hej kan någon hjälpa?
Om lim->oändligheten och det står roten ur( 16x/(4x+9)) vad gör man då.?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Jag tolkar det som att du har:
    $ \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\frac{16x}{4x+9}} $

    Det du kan göra här är att tänka att när x blir riktigt stort så kommer 9:an inte spelar så stor roll för gränsvärdet. De termer som dominerar för stora x blir
    $ \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{\frac{16x}{4x}} =
    \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{4} = 2
    $

Linnea

Hej!

Jag har en uppgift som jag har problem med att lösa, frågan lyder;

beräkna gränsvärdet av

xn=((n+1)/(n-1))^n

när n går mot oändligheten?

Någon som förstår var jag ska börja någonstans?
MVH
Linnea

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Linnea,
    Jag tolkar ditt gränsvärde som
    $ \lim\limits_{n \to 0} (\frac{n+1}{n-1})^n $

    Då kan du skriva om kvoten som
    $ (\frac{n+1}{n-1})^n = (\frac{n}{n-1}+\frac{1}{n-1})^n $

    $ \frac{n}{n-1} = 1 $ då $ n -> ∞ $
    och
    $ \frac{1}{n-1} = 0 $ då $ n -> ∞ $

    Alltså gäller att
    $ \lim\limits_{n \to 0} (\frac{n+1}{n-1})^n = 1 $

    och xn=x*1 =x

Andrea

Hej,

Kan det saknas gränsvärde?
I min mattebok finns detta
lim x–> 4 x+1/x-4

mitt svar är att gränsvärdet är= +- eternity men i boken står det att gränsvärdet saknas, samm för denna:
lim y—-> -3 4/x+3.
Jag tycker att de e eternity tecknet igen men det står att det saknas gränsvärde.
Vad ser man skillnaden?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Om vi tar det första gränsvärdet du har:
    $ \lim\limits_{x \to 4} \frac{x+1}{x-4} $
    så är detta inte definierat för att x->4 och vi får inte informationen om att vi går från vänster eller höger. Dvs om x->4⁻ eller x->4⁺ så hade det varit definierat och mycket riktigt blivit -∞ eller +∞ men då vi bara får reda på att det går mot 4 så kommer gränsvärdet hela tiden att variera (oscillera) mellan ±∞ och det går därmed inte att bestämma.

nti_ma3

Hur gör man när man har bråktal som täljare: (1/(3+h) – 1/3)/h

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, jag tolkar det som att du har
    $ \lim\limits_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{3+h} – \frac{1}{3} }{h} $

    Här kan vi först jobba med att förenkla detta uttryck genom att skriva täljarens rationella uttryck på samma nämnare. Annars kommer det att bli svårt att beräkna gränsvärdet.

    $ \frac{ \frac{1}{3+h} – \frac{1}{3} }{h} = $

    $\frac{ \frac{3}{3(3+h)}-\frac{3+h}{3(3+h)} }{h} =$

    $\frac{ \frac{3-3-h}{3(3+h)}}{h} =$

    $\frac{-h}{3(3+h)} / \frac{h}{1} =$

    $ \frac{-h}{3h(3+h)} = \frac{-1}{9+h} $

    Nu blir det enklare att se att gränsvärdet går
    mot $ \frac{-1}{9} $ då h -> 0.

Aggie

Hej!
kan någon förklara lite för mig.

i parentes, hur kom det att
exp 4 f(x+a)=(x+a)^2
exp 5 f(x+h) =(x+h)^2+(x+h)

jag är lite förvirrad/A

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det handlar om vilken funktion du har, dvs i exempel 4 så har du funktionen
    $ f(x) = x^2 $
    Då gäller tex att
    $ f(2) = 2^2 $
    $ f(a) = a^2 $
    $ f(x+h) = (x+h)^2 $
    Dvs du byter ut x mot x+h

Hendick

Skitbra sida, men saknar något tal där du dividerar med mer än bara ett tal i nämnare. Typ som detta.
limes x->x
4x^2+3x / x^2+x+10.
Jag bröt ut x i täljaren och fick x(4x+3) / x^2+x+10.
Stryker X i både täljare o nämnare = 4x+3 / x^2+10. Hur gör man sen?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du har alltså gränsvärdet
    $ \lim\limits_{x \to x} \frac{4x^2+3x}{x^2+x+10} $
    Tyvärr så kan du inte förenkla det på det viset som du gör då det inte finns ett x vid 10. Ett alternativ hade varit att man kunde ha använt tex en kvadreringsregel för att faktorisera nämnaren på ett bra vis men i detta fall är detta tyvärr svårt. Det har inte blivit ngn siffra eller bokstav fel eller att jag kanske missförstår dig på ngt vis?


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (11)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna gränsvärdet $ \lim\limits_{x \to 5}$   $(\text{ }7+x)$( 7+x) 

     

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna gränsvärdet $ \lim\limits_{h \to 2}$ $(3h+1000)$(3h+1000) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \lim\limits_{x \to 3} $ $\frac{12}{x}$12x  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna gränsvärdet $ \lim\limits_{x \to 0}$ $\frac{15}{30+x}$1530+x  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \lim\limits_{x \to (-4)} \sqrt{20+x} $

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna gränsvärdet $ \lim\limits_{x \to 8}$   $(\text{ }x^2)$( x2) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna gränsvärdet $ \lim\limits_{x \to 2} $  $(20x+x^2+10)$(20x+x2+10) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $\lim\limits_{x \to 9}$ $\left(\sqrt{x}+1\right)$(x+1) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \lim\limits_{h \to ∞}$ $\left(10-\frac{100}{h}\right)$(10100h ) 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Grafen visar funktionen  $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{1}{x}$1x  $+5$+5 .

    Grafen till en rationellfunktion

    Ange gränsvärdet för funktionen  $f(x)$ƒ (x)  då  $x→\pm∞$x± 

    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna gränsvärdet $ \lim\limits_{x\to 0^-} $ $\frac{1}{x}$1x  

    Rättar...

c-uppgifter (5)

  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Beräkna gränsvärdet $ \lim\limits_{x \to ∞} $ $\frac{20}{x+2}$20x+2  

    Rättar...
  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Grafen visar funktionen  $f(x)=$ƒ (x)=$\frac{1}{x-5}$1x5  .

    Grafen till en rationell funktion

    Ange gränsvärdet för funktionen  $f\left(x\right)$ƒ (x)  då  $x→5$x→5 

    Rättar...
  • 14. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna gränsvärdet $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{10x^3h-h^2}{h}$10x3hh2h  

    Rättar...
  • 15. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $\lim\limits_{x \to 0} $ $\frac{8x^3+16x^2}{4x^2}$8x3+16x24x2  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 16. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K1

    Vill man ange ett troligt gränsvärde på en funktion som inte kan förenklas algebraiskt, får man beräkna ett troligt gränsvärde genom upprepade beräkningar för mindre och mindre värden.

    Bestäm ett troligt gränsvärde för $\lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{10^{3+h}-10^3}{h}$103+h103h   med en decimals säkerhet.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 17. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/1)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Bestäm$\lim\limits_{x \to ∞ }$ $\sqrt{\frac{32x}{2x+1}}$32x2x+1  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar