███████████████
/ ██████████████████████████
Gränsvärden och förberedelse inför Derivata
Från ändringskvot till derivata
Derivatan är mycket användbar när man vill studera olika händelseförlopps utveckling och förändring. Derivatan är nämligen ett sätt att studera och beräkna funktioners förändring i varje punkt. För att göra detta behöver vi kunna teckna och förenkla en ändringskvot. Det är det vi övar på i denna lektion.
Då ändringskvoten som beskriver derivatan alltid kommer ha nämnaren $h$h och definieras som gränsvärdet då $h\rightarrow0$h→0 kommer vi alltid behöva förenkla uttrycker genom att bryta ut $h$h och förkorta bort.
Denna procedur upprepar vi varje gång när vi beräknar derivatan med dess definition. Med det går vi igenom närmre i videon Derivatans definition.
Exempel 1
Beräkna ändringskvoten $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h då $f(x)=2x+3$ƒ (x)=2x+3
Lösning:
Vi börjar med att bestämma termerna i täljaren.
$f\left(x+h\right)=2\cdot\left(x+h\right)+3$ƒ (x+h)=2·(x+h)+3 och $f\left(x\right)=2x+3$ƒ (x)=2x+3
Vi tecknar kvoten.
$\frac{2\left(x+h\right)+3-2\left(x+3\right)}{h}=\frac{2x+2h+3-2x-3}{h}=\frac{2h}{h}=$2(x+h)+3−2(x+3)h =2x+2h+3−2x−3h =2hh = $2$2
Exempel 2
Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h då $f(x)=x^2-5$ƒ (x)=x2−5
Lösning:
Vi börjar med att bestämma termerna i täljaren.
$f\left(x+h\right)=\left(x+h\right)^2-5$ƒ (x+h)=(x+h)2−5 och $f\left(x\right)=x^2-5$ƒ (x)=x2−5
Vi tecknar kvoten.
$\frac{\left(x+h\right)^2-5-\left(x^2-5\right)}{h}=\frac{\left(x^2+2xh+h^2-5\right)-\left(x^2-5\right)}{h}=$(x+h)2−5−(x2−5)h =(x2+2xh+h2−5)−(x2−5)h = $\frac{x^2+2xh+h^2-5-x^2+5}{h}=$x2+2xh+h2−5−x2+5h = $\frac{2xh+h^2}{h}=\frac{h\left(2x+h\right)}{h}=$2xh+h2h =h(2x+h)h = $2x+h$2x+h
Nu beräknar vi gränsvärdet genom att låta $h$h gå mot noll.
$ \lim\limits_{h \to 0} $ $\left(2x+h\right)=2x+0=2x$(2x+h)=2x+0=2x då $h\rightarrow0$h→0
Gränsvärden
Att undersöka gränsvärdet av en funktion, innebär som vi tidigare nämnt, att undersöka vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, ofta $x$x, närmar sig ett visst värde. Detta kommer vi alltså att använda när vi ska definiera derivatan. Derivatan definieras nämligen som ändringskvotens gränsvärde.
Gränsvärde
För alla kontinuerlig funktioner gäller att
$ \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a) $
Här ovan står alltså, att gränsvärdet för funktionen $f(x)$ då vi låter $x$ -värdet gå mot $a$, är lika med $f\left(a\right)$ƒ (a).
Exempel i videon
- Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h då $f(x)=x^2+x$ƒ (x)=x2+x
Kommentarer
e-uppgifter (2)
1. Premium
Rapportera fel (1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Bestäm $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{h^2-2h}{h}$h2−2hh
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Rättar...2. Premium
Rapportera fel (1/0/0)E C A B P 1 PL M R K Bestäm $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{6h^2-3h}{h}$6h2−3hh
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Rättar...c-uppgifter (4)
3. Premium
Rapportera fel (0/2/0)E C A B P 2 PL M R K Bestäm $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h då $f(x)=x+1$ƒ (x)=x+1
Rättar...4. Premium
Rapportera fel (0/2/0)E C A B P 2 PL M R K Bestäm $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h då $f(x)=x^2-x$ƒ (x)=x2−x
Rättar...5. Premium
Rapportera fel (0/2/0)E C A B P 2 PL M R K Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h då $f(x)=2x^2-3x$ƒ (x)=2x2−3x
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Rättar...6. Premium
Rapportera fel (0/2/0)E C A B P 2 PL M R K Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h då $f(x)=5x^2+x-2$ƒ (x)=5x2+x−2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Rättar...
Det finns inga befintliga prov.
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
via
eller via
Daniel Manassis
I videon fick du fram ett h^2 som jag inte riktigt är med på??
Simon Rybrand (Moderator)
Var i videon är det som du fastnar?
Jonathan Hermelin
I fråga 3 står det ”x→a” när det egentligen ska stå ”h→a”
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för att du sade till, vi fixar det direkt!
Endast Premium-användare kan kommentera.