...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Gränsvärden och förberedelse inför Derivata

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Från ändringskvot till derivata

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Derivatan är mycket användbar när man vill studera olika händelseförlopps utveckling och förändring. Derivatan är nämligen ett sätt att studera och beräkna funktioners förändring i varje punkt. För att göra detta behöver vi kunna teckna och förenkla en ändringskvot. Det är det vi övar på i denna lektion.

Då ändringskvoten som beskriver derivatan alltid kommer ha nämnaren $h$h och definieras som gränsvärdet då $h\rightarrow0$h→0 kommer vi alltid behöva förenkla uttrycker genom att bryta ut $h$h och förkorta bort.

Förenkling av derivatans definition

Denna procedur upprepar vi varje gång när vi beräknar derivatan med dess definition. Med det går vi igenom närmre i videon Derivatans definition.

Exempel 1

Beräkna ändringskvoten $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h   då  $f(x)=2x+3$ƒ (x)=2x+3 

Lösning:

Vi börjar med att bestämma termerna i täljaren.

 $f\left(x+h\right)=2\cdot\left(x+h\right)+3$ƒ (x+h)=2·(x+h)+3  och  $f\left(x\right)=2x+3$ƒ (x)=2x+3 

Vi tecknar kvoten.

 $\frac{2\left(x+h\right)+3-2\left(x+3\right)}{h}=\frac{2x+2h+3-2x-3}{h}=\frac{2h}{h}=$2(x+h)+32(x+3)h =2x+2h+32x3h =2hh =  $2$2 

Exempel 2

Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h   då  $f(x)=x^2-5$ƒ (x)=x25 

Lösning:

Vi börjar med att bestämma termerna i täljaren.

 $f\left(x+h\right)=\left(x+h\right)^2-5$ƒ (x+h)=(x+h)25  och  $f\left(x\right)=x^2-5$ƒ (x)=x25 

Vi tecknar kvoten.

 $\frac{\left(x+h\right)^2-5-\left(x^2-5\right)}{h}=\frac{\left(x^2+2xh+h^2-5\right)-\left(x^2-5\right)}{h}=$(x+h)25(x25)h =(x2+2xh+h25)(x25)h = $\frac{x^2+2xh+h^2-5-x^2+5}{h}=$x2+2xh+h25x2+5h = $\frac{2xh+h^2}{h}=\frac{h\left(2x+h\right)}{h}=$2xh+h2h =h(2x+h)h = $2x+h$2x+h 

Nu beräknar vi gränsvärdet genom att låta  $h$h  gå mot noll.

$ \lim\limits_{h \to 0} $ $\left(2x+h\right)=2x+0=2x$(2x+h)=2x+0=2x  då  $h\rightarrow0$h→0 

Gränsvärden

Att undersöka gränsvärdet av en funktion, innebär som vi tidigare nämnt, att undersöka vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, ofta $x$x, närmar sig ett visst värde. Detta kommer vi alltså att använda när vi ska definiera derivatan. Derivatan definieras nämligen som ändringskvotens gränsvärde.

Gränsvärde

För alla kontinuerlig funktioner gäller att

$ \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a) $

Här ovan står alltså, att gränsvärdet för funktionen $f(x)$ då vi låter $x$ -värdet gå mot $a$, är lika med $f\left(a\right)$ƒ (a).

Exempel i videon

  • Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h   då  $f(x)=x^2+x$ƒ (x)=x2+x 

Kommentarer

Daniel Manassis

I videon fick du fram ett h^2 som jag inte riktigt är med på??

    Simon Rybrand (Moderator)

    Var i videon är det som du fastnar?

Jonathan Hermelin

I fråga 3 står det ”x→a” när det egentligen ska stå ”h→a”

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du sade till, vi fixar det direkt!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (2)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{h^2-2h}{h}$h22hh  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{6h^2-3h}{h}$6h23hh  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h   då  $f(x)=x+1$ƒ (x)=x+1 

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h   då  $f(x)=x^2-x$ƒ (x)=x2x 

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h   då  $f(x)=2x^2-3x$ƒ (x)=2x23x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h   då  $f(x)=5x^2+x-2$ƒ (x)=5x2+x2 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.