...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Gränsvärden och förberedelse inför Derivata

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Från ändringskvot till derivata

Derivatan är mycket användbar när man vill studera olika händelseförlopps utveckling och förändring. Derivatan är nämligen ett sätt att studera och beräkna funktioners förändring i varje punkt. För att göra detta behöver vi kunna teckna och förenkla en ändringskvot. Det är det vi övar på i denna lektion.

Då ändringskvoten som beskriver derivatan alltid kommer ha nämnaren $h$h och definieras som gränsvärdet då $h\rightarrow0$h→0 kommer vi alltid behöva förenkla uttrycker genom att bryta ut $h$h och förkorta bort.

Förenkling av derivatans definition

Denna procedur upprepar vi varje gång när vi beräknar derivatan med dess definition. Med det går vi igenom närmre i videon Derivatans definition.

Exempel 1

Beräkna ändringskvoten $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h   då  $f(x)=2x+3$ƒ (x)=2x+3 

Lösning:

Vi börjar med att bestämma termerna i täljaren.

 $f\left(x+h\right)=2\cdot\left(x+h\right)+3$ƒ (x+h)=2·(x+h)+3  och  $f\left(x\right)=2x+3$ƒ (x)=2x+3 

Vi tecknar kvoten.

 $\frac{2\left(x+h\right)+3-2\left(x+3\right)}{h}=\frac{2x+2h+3-2x-3}{h}=\frac{2h}{h}=$2(x+h)+32(x+3)h =2x+2h+32x3h =2hh =  $2$2 

Exempel 2

Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h   då  $f(x)=x^2-5$ƒ (x)=x25 

Lösning:

Vi börjar med att bestämma termerna i täljaren.

 $f\left(x+h\right)=\left(x+h\right)^2-5$ƒ (x+h)=(x+h)25  och  $f\left(x\right)=x^2-5$ƒ (x)=x25 

Vi tecknar kvoten.

 $\frac{\left(x+h\right)^2-5-\left(x^2-5\right)}{h}=\frac{\left(x^2+2xh+h^2-5\right)-\left(x^2-5\right)}{h}=$(x+h)25(x25)h =(x2+2xh+h25)(x25)h = $\frac{x^2+2xh+h^2-5-x^2+5}{h}=$x2+2xh+h25x2+5h = $\frac{2xh+h^2}{h}=\frac{h\left(2x+h\right)}{h}=$2xh+h2h =h(2x+h)h = $2x+h$2x+h 

Nu beräknar vi gränsvärdet genom att låta  $h$h  gå mot noll.

$ \lim\limits_{h \to 0} $ $\left(2x+h\right)=2x+0=2x$(2x+h)=2x+0=2x  då  $h\rightarrow0$h→0 

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Gränsvärden

Att undersöka gränsvärdet av en funktion, innebär som vi tidigare nämnt, att undersöka vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, ofta $x$x, närmar sig ett visst värde. Detta kommer vi alltså att använda när vi ska definiera derivatan. Derivatan definieras nämligen som ändringskvotens gränsvärde.

Gränsvärde

För alla kontinuerlig funktioner gäller att

$ \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a) $

Här ovan står alltså, att gränsvärdet för funktionen $f(x)$ då vi låter $x$ -värdet gå mot $a$, är lika med $f\left(a\right)$ƒ (a).

Exempel i videon

  • Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h   då  $f(x)=x^2+x$ƒ (x)=x2+x 

Kommentarer

Daniel Manassis

I videon fick du fram ett h^2 som jag inte riktigt är med på??

    Simon Rybrand (Moderator)

    Var i videon är det som du fastnar?

Jonathan Hermelin

I fråga 3 står det ”x→a” när det egentligen ska stå ”h→a”

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du sade till, vi fixar det direkt!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (2)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{h^2-2h}{h}$h22hh  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{6h^2-3h}{h}$6h23hh  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h   då  $f(x)=x+1$ƒ (x)=x+1 

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h   då  $f(x)=x^2-x$ƒ (x)=x2x 

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h   då  $f(x)=2x^2-3x$ƒ (x)=2x23x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h   då  $f(x)=5x^2+x-2$ƒ (x)=5x2+x2 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar