Gränsvärdet i derivatans definition - (Ma 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Gränsvärden och förberedelse inför Derivata

Gränsvärden

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom ett lösningen av ett gränsvärde som förberedelse inför begreppet derivata.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
13 votes, average: 3,23 out of 513 votes, average: 3,23 out of 513 votes, average: 3,23 out of 513 votes, average: 3,23 out of 513 votes, average: 3,23 out of 5
13
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

6
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
MEDELPOÄNG
ALLA
4

Text

Från ändringskvot till derivata

Derivatan är mycket användbar när man vill studera olika händelseförlopps utveckling och förändring. Derivatan är nämligen ett sätt att studera och beräkna funktioners förändring i varje punkt. För att göra detta behöver vi kunna teckna och förenkla en ändringskvot. Det är det vi övar på i denna lektion.

Då ändringskvoten som beskriver derivatan alltid kommer ha nämnaren $h$h och definieras som gränsvärdet då $h\rightarrow0$h→0 kommer vi alltid behöva förenkla uttrycker genom att bryta ut $h$h och förkorta bort.

Förenkling av derivatans definition

Denna procedur upprepar vi varje gång när vi beräknar derivatan med dess definition. Med det går vi igenom närmre i videon Derivatans definition.

Exempel 1

Beräkna ändringskvoten $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h   då  $f(x)=2x+3$ƒ (x)=2x+3 

Lösning:

Vi börjar med att bestämma termerna i täljaren.

 $f\left(x+h\right)=2\cdot\left(x+h\right)+3$ƒ (x+h)=2·(x+h)+3  och  $f\left(x\right)=2x+3$ƒ (x)=2x+3 

Vi tecknar kvoten.

 $\frac{2\left(x+h\right)+3-2\left(x+3\right)}{h}=\frac{2x+2h+3-2x-3}{h}=\frac{2h}{h}=$2(x+h)+3−2(x+3)h =2x+2h+3−2x−3h =2hh =  $2$2 

Exempel 2

Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h   då  $f(x)=x^2-5$ƒ (x)=x2−5 

Lösning:

Vi börjar med att bestämma termerna i täljaren.

 $f\left(x+h\right)=\left(x+h\right)^2-5$ƒ (x+h)=(x+h)2−5  och  $f\left(x\right)=x^2-5$ƒ (x)=x2−5 

Vi tecknar kvoten.

 $\frac{\left(x+h\right)^2-5-\left(x^2-5\right)}{h}=\frac{\left(x^2+2xh+h^2-5\right)-\left(x^2-5\right)}{h}=$(x+h)2−5−(x2−5)h =(x2+2xh+h2−5)−(x2−5)h = $\frac{x^2+2xh+h^2-5-x^2+5}{h}=$x2+2xh+h2−5−x2+5h = $\frac{2xh+h^2}{h}=\frac{h\left(2x+h\right)}{h}=$2xh+h2h =h(2x+h)h = $2x+h$2x+h 

Nu beräknar vi gränsvärdet genom att låta  $h$h  gå mot noll.

$ \lim\limits_{h \to 0} $ $\left(2x+h\right)=2x+0=2x$(2x+h)=2x+0=2x  då  $h\rightarrow0$h→0 

Gränsvärden

Att undersöka gränsvärdet av en funktion, innebär som vi tidigare nämnt, att undersöka vad som händer med funktionsvärdet då variabeln, ofta $x$x, närmar sig ett visst värde. Detta kommer vi alltså att använda när vi ska definiera derivatan. Derivatan definieras nämligen som ändringskvotens gränsvärde.

Gränsvärde

För alla kontinuerlig funktioner gäller att

$ \lim\limits_{x \to a} f(x)=f(a) $

Här ovan står alltså, att gränsvärdet för funktionen $f(x)$ då vi låter $x$ -värdet gå mot $a$, är lika med $f\left(a\right)$ƒ (a).

Exempel i videon

  • Beräkna $ \lim\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)−ƒ (x)h   då  $f(x)=x^2+x$ƒ (x)=x2+x 

Kommentarer

  1. I videon fick du fram ett h^2 som jag inte riktigt är med på??

    Daniel Manassis

    1. Var i videon är det som du fastnar?

      Simon Rybrand

  2. I fråga 3 står det ”x→a” när det egentligen ska stå ”h→a”

    Jonathan Hermelin

    1. Tack för att du sade till, vi fixar det direkt!

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: