Genomsnittlig förändringshastighet - Derivata (Ma 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Genomsnittlig förändringshastighet och ändringskvoter

Ändringskvot Genomsnittlig förändringshastighet

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom vad genomsnittlig förändringshastighet är. Det här begreppet är viktigt att känna till innan du börjar jobba med derivata och dessa innebörd.

21 votes, average: 3,90 out of 521 votes, average: 3,90 out of 521 votes, average: 3,90 out of 521 votes, average: 3,90 out of 521 votes, average: 3,90 out of 5
21
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
4

Text

Exempel i videon

  • Temperaturen i ett rum ändrades från 18 °C till 22 °C på 10 minuter. Vilken är den genomsnittliga temperaturförändringen per minut i tidsintervallet?
  • Grafen visar (se bild i video) sträckan s meter som en cyklist rört sig på tiden  $t$t  minuter. Bestäm cyklistens medelhastighet från  $t=2$t=2  min till  $t=10$t=10  min.
  • Modellen beskriver hur en aktiefonds värde i A(t) miljoner kr ökar i värde där t är tiden i år.
    $A\left(t\right)=450\cdot1,032^t$A(t)=450·1,032t
    Beräkna den genomsnittliga tillväxten från år 4 till år 16.

Vad är Genomsnittlig Förändringshastighet?

När man använder sig av begreppet genomsnittlig förändringshastighet handlar det om att vi vill beskriva hur mycket något förändras i medel över ett kort eller långt tidsintervall.

Vanligast i skolan är ju att man vill räkna ut medelhastighet och man använder sig då av formeln

$ \text{Hastighet} = \frac{\text{Sträcka}}{\text{Tid}} $

Vi får då medelhastigheten i detta tidsintervall. Detta begrepp kan dock utvecklas och handla om fler typer av förändringar. Alltifrån förändringar av temperaturer till förändringar av volymer eller areor. Det blir då enklare att sammanfatta detta i ordet genomsnittlig förändringshastighet.

Definitionen och Ändringskvoten

Definitionen av genomsnittlig förändringshastighet kan beskrivas på följande vis:

$ \text{Genomsnittlig Förändringshastighet} = \frac{\text{Förändring i ett Intervall}}{\text{Intervallets längd}} = \frac{ \Delta y}{ \Delta x} $

Man brukar kalla $ \frac{ \Delta y}{ \Delta x} $ för ändringskvoten (kallas ibland även för differenskvot eller förändringskvot).

Beräkna genomsnittlig förändringshastighet – Exempel

Exempel 1

Temperaturen i en stad ändrades från 24 °C till 18 °C på 100 minuter. Vilken är den genomsnittliga temperaturförändringen per minut i tidsintervallet?

Lösning:

Vi beräknar ändringskvoten

$\frac{24-18}{100}=\frac{6}{100}=0,06\text{ }$2418100 =6100 =0,06  °C per minut.

Exempel 2

Beräkna den genomsnittliga förändringen i intervallet $  2 ≤ t ≤ 4 $ för funktionen $ s(t) = 6 + t ^2 $

Lösning:

Vi beräknar

$ s(2) = 6 +2^2=10 $

$ s(4) = 6 +4^2=22 $

Den genomsnittliga förändringen blir

$ \frac{ \Delta y}{ \Delta x} = \frac{22-10}{4-2}=\frac{12}{2} = 6  $

Kommentarer

  1. Hej!
    Jag har problem med ett tal där jag inte får ut rätt svar.
    Kl 10.20 avläste Emma bilens vägmätare till 85 321 km och kl 12.35 till 85 582 km. Beräkna Emmas genomsnittliga hastighet.
    Då har jag bara gjort att jag tar 85 582- 85321/ 12.35-10.20 och får ut svaret 121. Men det är fel då det blir 116?

    Avan103
    1. Hej, du måste tänka på att räkna med timmar på rätt vis. Mellan 10.20 och 12.35 är det 2 timmar och 15 minuter vilket kan skrivas som 2,25 timmar.

      Svaret på den genomsnittliga förändringen i intervallet blir då
      $ \frac{85582-85321}{2,25} = 116 $km/h

      Simon Rybrand
  2. Uppgift 4
    uträkningen för att få fram y2=267 förstår jag.
    men att y1=f(10)=20+10*10 – 0.098*100= 119 gör mig förvirrad, hur jag än försöker får jag 110.2 genom (120-9.8)

    Jag får alltså 267.2-110.2/50=156.8
    156.8/50=3.136 grader i ugnen. misstänker att det har att göra med starttemp på 20 grader som man ska räkna bort. Tacksam för svar

    linnearonsten
    1. Hej Linnea, det hade smugit sig in ett räknefel i den uppgiften och det är korrigerat. Tack för att du kommenterade detta och fortsatt lycka till med pluggandet!

      Simon Rybrand
  3. Uppgift 4.

    ( f(60) – f(10) ) / 60 – 10

    Jag håller med att f (10) = 110 (eller 110,2 renare sagt).

    Men f(60) ?? Jag får ett helt annorlunda svar?
    När jag gör detta:

    f(x) = 20 + 10x – 0,98 x ^ 2
    f(60) = 20 + 10(60) – (0,98(60)^2)
    f(60) = 20 + 600 – 0,98(60)^2)
    f(60) = 620 – 3528 = 2962 ??

    Jag förstår inte, jag får liknande svar, jag har provat 3135641 olika möjligheter men kommer inte fram till lösningen ni har kommit fram till. Snälla hjälp mig

    hampusvh1
    1. Jag menade självklart minus 2962 i slutet, alltså -2962

      hampusvh1
      1. Hej! I din uträkning här ovan använder du dig av 0.98, i funktionen så är koefficienten 0.098 framför $ x^2 $ termen. Detta gör att du får ett väldigt annorlunda svar. Vid uträkning med 0.098 ges:
        $ f(60) = 20 + 10⋅60 – 0.098⋅60^2 = $
        $ = 20 + 600 – 0.098⋅3600 = $
        $ = 20 + 600 – 352.8 ≈ 267 $

        Simon Rybrand
  4. Kan man lösa den här frågan med samma metod, hur?
    Avstånd mellan Helsingborg och Stockholm är 500KM. En buss åker 80KM/T i genomsnitt från stockhom och en bil med 120 KM/t i genomsnitt från Stockholm. Var bilarna kommer att träffa varandra?

    nti_ma3
    1. I det här fallet är det nog enklare att ställa upp ett ekvationssystem där
      x = kört avstånd för bussen
      t = tiden
      —–
      (1) 80t = x
      (2) 120t = 500 – x
      —–
      (1) ger att t = x/80 och detta sätts in i (2):
      120*(x/80) = 500 – x ⇔
      1,5x = 500 – x ⇔
      2,5x = 500
      x = 200
      ——–
      De möts alltså när bussen kört 200 km och bilen 300 km.

      Simon Rybrand
      1. tack!

        nti_ma3
  5. Hej!

    Jag har en uppgift som jag inte fattar hur jag ska göra, den lyder följande:

    Tabellen visar Johans resultat i längdhopp från 2008 till år 2011.

    År l 2008 l 2009 l 2010 l 2011 l
    Längd (m) l 5.35 l 5.58 l 5.92 l 6.16 l

    Hur stor var den genomsnittliga förändringshastigheten för Johans resultat från 2008 till 2011?

    Rätt svar: 0.27m/år

    Tack på förhand!

    Nikolaj Kønig
    1. Beräknas genom
      $ \frac{6,16-5,35}{2011-2008}=\frac{0,81}{3}=0,27 $

      Simon Rybrand
  6. Hej!
    Videon verkar endast fungera 2/3 ? Är det någon bugg eller är det bara min dator som inte klarar av det? Har gått bra med de andra videos.

    MVH Giovanna

    Giovanna.Hilke
    1. Hej, testade videon och den verkar fungera när jag kikar på den i en webbläsare på datorn, surfar du via mobil/surfplatta? Om du fortfarande har problem med uppspelning av denna eller andra videos så är du välkommen att kontakta vår support så hjälper vi dig vidare!

      Simon Rybrand
  7. Undrar även här, 6:00 in i videon, var kommer grafen ifrån?

    Caroline
  8. Jag förstår inte uträkningen f(60)−f(10)50=267−11050=15750=3,14° , tänker jag fel när jag skriver såhär? y=f(60)=20+10*60−0,098*60^2?

    Yosefd
    1. För att göra det lite tydligare kan vi först räkna ut $f(60)$ och sedan $f(10)$:
      $ f(60)=20+10⋅60-0,098⋅60^2=267,2 $
      $ f(60)=20+10⋅10-0,098⋅10^2=110,2 $
      Sedan kan vi beräkna förändringshastigheten i intervallet:
      $ \frac{267,2-110,2}{50}=3,14 $

      Simon Rybrand
  9. Med risk att låta helt lost måste jag fråga om sekantlinjer, spelar det någon roll i var man sätter ut dessa punkter för att sedan få ut en sekantlinje? Har lite svårt att förstå mig på detta,

    NSchultz
    1. Insåg nu att jag bara varit lite virrig, du behöver inte förklara 🙂

      NSchultz
      1. Hej! Vad bra att du förstod själv, det är bara att du kommenterar igen om det nåt annat som du funderar på. 🙂

        Simon Rybrand
  10. f(10) saknas i förklaringen till uppgift 4

    AdurianJ
    1. Tack för att du sade till, det är fixat!

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: