...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Genomsnittlig förändringshastighet och ändringskvoter

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Vad är en Ändringskvot?

Den genomsnittliga förändringshastigheten beskriver en ”kurvas genomsnittliga lutning” i ett intervall. Till hjälp för att beräkna detta använder man en sekant som är en rät linje som skär kurvan i minst två punkter.

Ändringskvotens förklaring

Man har bestämt att sekantens lutning motsvarar kurvans medellutning i intervallet. Värdet stämmer alltså inte exakt med förändringen i varje punkt i intervallet, men ger ett medelvärde. Ett mindre intervall ger oftast ett värde på ändringskvoten som stämmer bättre överens med kurvans faktiska förändring. Vi använder oss av kunskapen kring lutningen av en rät linjen där $k=$k= $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$yx , för att bestämma medelvärdet som motsvarar ändringskvoten.

Ändringskvot

Den genomsnittliga förändringshastigheten över ett intervall kan beräknas med

 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\text{Förändring i ett Intervall}}{\text{Intervallets längd}}$ΔyΔx =Förändring i ett IntervallIntervallets längd   

Kvoten kallas för en ändringskvot, differenskvot eller förändringskvot.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Vad ska vi ha Ändringskvoter till?

Människan verkar ha en inre drivkraft för förändring. Det samhälle vi nu lever i är som aldrig förr intresserad av hur saker förändras. Man vill mäta och analysera olika skeende eller händelseförlopp, för att försöka förutse och påverkar hur utvecklingen ska ske framåt. Ofta handlar det idag om att försöka maximera eller minimera olika saker. Inte sällan handlar det om intäkter och kostnader. Med hjälp av ändringskvoten kan vi beräkna  förändringen under ett tidsintervall och på så sätt jämföra och analysera olika förändringar med varandra, för att utvärdera om utvecklingen gått i den riktningen vi önskat.

Med hjälp av ändringskvoten kommer vi framöver även kunna introducera ett nytt begrepp, derivatan, som anger förändringen i en specifik punkt på kurvan, vilket är ett mer exakt mätinstrument än ändringskvoten.

Vad är Genomsnittlig Förändringshastighet?

När man använder sig av begreppet genomsnittlig förändringshastighet handlar det ofta om att vi vill ange hur mycket något förändras i medel över olika tidsintervall.

Till exempel kan det vara intressant att räkna ut en medelhastighet. Man använder sig då av formeln

 $\text{Medelhastigheten}=$Medelhastigheten= $\frac{\text{Sträckan}}{\text{Tiden}}$SträckanTiden 

Exempel 1

Din vän har $1$1 km till skolan och det tar $12$12 minuter för henne att gå dit. Vilken är då hennes medelhastighet? 

Lösning:

Vi börjar med att räkna ut hur stor andel av en timme $12$12 minuter är f;r att f[ svaret i enheten km/h.

 $\frac{12}{60}=0,2$1260 =0,2 timmar.

Vi får fram medelhastigheten genom att dividera sträckan med tiden.

 $\text{Medelhastigheten}=$Medelhastigheten= $\frac{\text{Sträckan}}{\text{Tiden}}=\frac{1}{0,2}=$SträckanTiden =10,2 = $5$5 

Din vän går med en medelhastighet på  $5$5 km/h.

När vi delar sträckan genom tiden står den genomsnittliga förändringshastigheten för medelhastigheten i tidsintervallet. Men begreppet genomsnittlig förändringshastighet kan handla om fler typer av förändringar. Alltifrån förändringar av temperaturer, energiförbrukning, hastigheter, kostnader, intäkter, populationer, volymer eller areor. 

Exempel 2

Temperaturen i en stad ändrades från $24$24 °C till $18$18 °C på $100$100 minuter. Vilken var den genomsnittliga temperaturförändringen per minut i tidsintervallet?

Lösning:

Vi får fram den genomsnittliga förändringen genom att beräknar ändringskvoten

  $\frac{\text{Föränring i temperatur}}{\text{Tidsintervallet}}=\frac{24-18}{100}=\frac{6}{100}$Föränring i temperaturTidsintervallet =2418100 =6100  $=0,06\text{ }$=0,06  °C per minut.

Exempel 3

Beräkna den genomsnittliga förändringen i intervallet  $2\le t\le4$2t4  för funktionen  $s(t)=6+t^2$s(t)=6+t2 

Lösning:

Vi beräknar

 $s(2)=6+2^2=10$s(2)=6+22=10 
 $s(4)=6+4^2=22$s(4)=6+42=22 

Den genomsnittliga förändringen blir

 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{s\left(4\right)-s\left(2\right)}{4-2}=$ΔyΔx =s(4)s(2)42 =$\frac{22-10}{4-2}=\frac{12}{2}=$221042 =122 = $6$6  

Exempel i videon

  • Temperaturen i ett rum ändrades från $18$18 °C till $22$22 °C på $10$10 minuter. Vilken är den genomsnittliga temperaturförändringen per minut i tidsintervallet?
  • Grafen visar (se bild i video) sträckan s meter som en cyklist rört sig på tiden  $t$t  minuter. Bestäm cyklistens medelhastighet från  $t=2$t=2  min till  $t=10$t=10  min.
  • Modellen beskriver hur en aktiefonds värde i $A\left(t\right)$A(t) miljoner kr ökar i värde där $t$t är tiden i år.
    $A\left(t\right)=450\cdot1,032^t$A(t)=450·1,032t
    Beräkna den genomsnittliga tillväxten från år $4$4 till år $16$16.

Kommentarer

Pelin Glemark

Det står ”Inväntar rättning” efter att jag har gjort uppgifterna till denna föreläsning, vilket jag aldrig har sett tidigare. Rättas allt manuellt? När får man svar i så fall?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Nej det var ett fel från vår sida som gjorde att det blev så, ursäkta!
    (Det är till våra digitala prov som detta kan göras, skall inte finnas inne på lektionerna)

Judith Lysell

Hej!

Fråga 7
Borde det inte vara 30 000/45?

AdurianJ

f(10) saknas i förklaringen till uppgift 4

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du sade till, det är fixat!

NSchultz

Med risk att låta helt lost måste jag fråga om sekantlinjer, spelar det någon roll i var man sätter ut dessa punkter för att sedan få ut en sekantlinje? Har lite svårt att förstå mig på detta,

    NSchultz

    Insåg nu att jag bara varit lite virrig, du behöver inte förklara 🙂

      Simon Rybrand (Moderator)

      Hej! Vad bra att du förstod själv, det är bara att du kommenterar igen om det nåt annat som du funderar på. 🙂

Yosefd

Jag förstår inte uträkningen f(60)−f(10)50=267−11050=15750=3,14° , tänker jag fel när jag skriver såhär? y=f(60)=20+10*60−0,098*60^2?

    Simon Rybrand (Moderator)

    För att göra det lite tydligare kan vi först räkna ut $f(60)$ och sedan $f(10)$:
    $ f(60)=20+10⋅60-0,098⋅60^2=267,2 $
    $ f(60)=20+10⋅10-0,098⋅10^2=110,2 $
    Sedan kan vi beräkna förändringshastigheten i intervallet:
    $ \frac{267,2-110,2}{50}=3,14 $

Caroline

Undrar även här, 6:00 in i videon, var kommer grafen ifrån?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kika på lektionen om Andragradsfunktioner

Giovanna.Hilke

Hej!
Videon verkar endast fungera 2/3 ? Är det någon bugg eller är det bara min dator som inte klarar av det? Har gått bra med de andra videos.

MVH Giovanna

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, testade videon och den verkar fungera när jag kikar på den i en webbläsare på datorn, surfar du via mobil/surfplatta? Om du fortfarande har problem med uppspelning av denna eller andra videos så är du välkommen att kontakta vår support så hjälper vi dig vidare!

Nikolaj Kønig

Hej!

Jag har en uppgift som jag inte fattar hur jag ska göra, den lyder följande:

Tabellen visar Johans resultat i längdhopp från 2008 till år 2011.

År l 2008 l 2009 l 2010 l 2011 l
Längd (m) l 5.35 l 5.58 l 5.92 l 6.16 l

Hur stor var den genomsnittliga förändringshastigheten för Johans resultat från 2008 till 2011?

Rätt svar: 0.27m/år

Tack på förhand!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Beräknas genom
    $ \frac{6,16-5,35}{2011-2008}=\frac{0,81}{3}=0,27 $

nti_ma3

Kan man lösa den här frågan med samma metod, hur?
Avstånd mellan Helsingborg och Stockholm är 500KM. En buss åker 80KM/T i genomsnitt från stockhom och en bil med 120 KM/t i genomsnitt från Stockholm. Var bilarna kommer att träffa varandra?

    Simon Rybrand (Moderator)

    I det här fallet är det nog enklare att ställa upp ett ekvationssystem där
    x = kört avstånd för bussen
    t = tiden
    —–
    (1) 80t = x
    (2) 120t = 500 – x
    —–
    (1) ger att t = x/80 och detta sätts in i (2):
    120*(x/80) = 500 – x ⇔
    1,5x = 500 – x ⇔
    2,5x = 500
    x = 200
    ——–
    De möts alltså när bussen kört 200 km och bilen 300 km.

      nti_ma3

      tack!

hampusvh1

Uppgift 4.

( f(60) – f(10) ) / 60 – 10

Jag håller med att f (10) = 110 (eller 110,2 renare sagt).

Men f(60) ?? Jag får ett helt annorlunda svar?
När jag gör detta:

f(x) = 20 + 10x – 0,98 x ^ 2
f(60) = 20 + 10(60) – (0,98(60)^2)
f(60) = 20 + 600 – 0,98(60)^2)
f(60) = 620 – 3528 = 2962 ??

Jag förstår inte, jag får liknande svar, jag har provat 3135641 olika möjligheter men kommer inte fram till lösningen ni har kommit fram till. Snälla hjälp mig

    hampusvh1

    Jag menade självklart minus 2962 i slutet, alltså -2962

      Simon Rybrand (Moderator)

      Hej! I din uträkning här ovan använder du dig av 0.98, i funktionen så är koefficienten 0.098 framför $ x^2 $ termen. Detta gör att du får ett väldigt annorlunda svar. Vid uträkning med 0.098 ges:
      $ f(60) = 20 + 10⋅60 – 0.098⋅60^2 = $
      $ = 20 + 600 – 0.098⋅3600 = $
      $ = 20 + 600 – 352.8 ≈ 267 $

linnearonsten

Uppgift 4
uträkningen för att få fram y2=267 förstår jag.
men att y1=f(10)=20+10*10 – 0.098*100= 119 gör mig förvirrad, hur jag än försöker får jag 110.2 genom (120-9.8)

Jag får alltså 267.2-110.2/50=156.8
156.8/50=3.136 grader i ugnen. misstänker att det har att göra med starttemp på 20 grader som man ska räkna bort. Tacksam för svar

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Linnea, det hade smugit sig in ett räknefel i den uppgiften och det är korrigerat. Tack för att du kommenterade detta och fortsatt lycka till med pluggandet!

Avan103

Hej!
Jag har problem med ett tal där jag inte får ut rätt svar.
Kl 10.20 avläste Emma bilens vägmätare till 85 321 km och kl 12.35 till 85 582 km. Beräkna Emmas genomsnittliga hastighet.
Då har jag bara gjort att jag tar 85 582- 85321/ 12.35-10.20 och får ut svaret 121. Men det är fel då det blir 116?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du måste tänka på att räkna med timmar på rätt vis. Mellan 10.20 och 12.35 är det 2 timmar och 15 minuter vilket kan skrivas som 2,25 timmar.

    Svaret på den genomsnittliga förändringen i intervallet blir då
    $ \frac{85582-85321}{2,25} = 116 $km/h


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande alternativ är INTE ett sätt att bestämma den den genomsnittliga förändringshastigheten?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande alternativ ger ett värde på den genomsnittliga förändringshastigheten?

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    En cyklist

    Din vän cyklar $30$30 km på $2$2 timmar.  Teckna en ändringskvot och beräkna hennes medelhastighet. 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Tabellen beskriver en nyfödd bäbis längd de sex första månaderna.

    Tabell över barns längd

    Beräkna med en ändringskvot den genomsnittliga förändringshastigheten av längden den först halvåret. 

    Avrunda till en decimals noggrannhet och ange svaret i antal cm per månad.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    En nyårsraket skjuts iväg lodrätt uppåt och når sin maxhöjd $160$160 meter efter $10$10 sekunder. Vilken är raketens medelhastighet på vägen upp till maxhöjden?

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Ange med hjälp av tabellen ett närmevärde till $y’\left(3\right)$y(3).

    Tabell

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    För funktionen  $y=f(x)$y=ƒ (x)  vet man att  $f(3)=8$ƒ (3)=8  och  $f(6)=2$ƒ (6)=2. Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten mellan punkterna.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (5)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Grafen beskriver hur man uppskattar att befolkningen i en kommun antas utvecklas de kommande hundra åren.

    Graf över befolkningsutveckling

    Beräkna med en ändringskvot den uppskattade genomsnittliga förändringen av befolkningen mellan år $2010$2010 och  $2055$2055.

    Avrunda till ett heltal och ange svaret med antal personer per år.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Spis med kastruller

    Louise lagar bakad potatis i ugnen och värmen $y$y i hennes ugn kan beskrivas av funktionen  $y=f\left(x\right)=20+10x-0,098x^2$y=ƒ (x)=20+10x0,098x2 där $x$x är tiden i minuter.

    Vilken är den genomsnittliga förändringshastigheten av temperaturen i intervallet  $10\le x\le60$10x60?

    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna ändringskvoten för funktionen  $f(x)=2x^2-3x-1$ƒ (x)=2x23x1 i intervallet $1\le x\le3$1x3

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    En sekant till funktionen $f\left(x\right)$ƒ (x) går genom punkterna $(0,\text{ }-2)$(0, 2) och $(4,\text{ }a)$(4, a). Bestäm värdet på $a$a som ger att sekantens lutning blir $2$2.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/3)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R1
    K1

    En sekant till funktionen  $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{x^2}{2}$x22  $-2$2  då $x=2$x=2 har lutningen $3$3. Ange koordinaterna till den andra punkten som sekanten går igenom. 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar