Genomsnittlig förändringshastighet - Derivata (Ma 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Genomsnittlig förändringshastighet och ändringskvoter

Ändringskvot Genomsnittlig förändringshastighet

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom vad genomsnittlig förändringshastighet är. Det här begreppet är viktigt att känna till innan du börjar jobba med derivatan och dessa innebörd.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
25 votes, average: 4,08 out of 525 votes, average: 4,08 out of 525 votes, average: 4,08 out of 525 votes, average: 4,08 out of 525 votes, average: 4,08 out of 5
25
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

12
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
MEDELPOÄNG
ALLA
4

Text

Vad är en Ändringskvot?

Den genomsnittliga förändringshastigheten beskriver en ”kurvas genomsnittliga lutning” i ett intervall. Till hjälp för att beräkna detta använder man en sekant som är en rät linje som skär kurvan i minst två punkter.

Ändringskvotens förklaring

Man har bestämt att sekantens lutning motsvarar kurvans medellutning i intervallet. Värdet stämmer alltså inte exakt med förändringen i varje punkt i intervallet, men ger ett medelvärde. Ett mindre intervall ger oftast ett värde på ändringskvoten som stämmer bättre överens med kurvans faktiska förändring. Vi använder oss av kunskapen kring lutningen av en rät linjen där $k=$k= $\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}$yx , för att bestämma medelvärdet som motsvarar ändringskvoten.

Ändringskvot

Den genomsnittliga förändringshastigheten över ett intervall kan beräknas med

 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\text{Förändring i ett Intervall}}{\text{Intervallets längd}}$ΔyΔx =Förändring i ett IntervallIntervallets längd   

Kvoten kallas för en ändringskvot, differenskvot eller förändringskvot.

Vad ska vi ha Ändringskvoter till?

Människan verkar ha en inre drivkraft för förändring. Det samhälle vi nu lever i är som aldrig förr intresserad av hur saker förändras. Man vill mäta och analysera olika skeende eller händelseförlopp, för att försöka förutse och påverkar hur utvecklingen ska ske framåt. Ofta handlar det idag om att försöka maximera eller minimera olika saker. Inte sällan handlar det om intäkter och kostnader. Med hjälp av ändringskvoten kan vi beräkna  förändringen under ett tidsintervall och på så sätt jämföra och analysera olika förändringar med varandra, för att utvärdera om utvecklingen gått i den riktningen vi önskat.

Med hjälp av ändringskvoten kommer vi framöver även kunna introducera ett nytt begrepp, derivatan, som anger förändringen i en specifik punkt på kurvan, vilket är ett mer exakt mätinstrument än ändringskvoten.

Vad är Genomsnittlig Förändringshastighet?

När man använder sig av begreppet genomsnittlig förändringshastighet handlar det ofta om att vi vill ange hur mycket något förändras i medel över olika tidsintervall.

Till exempel kan det vara intressant att räkna ut en medelhastighet. Man använder sig då av formeln

 $\text{Medelhastigheten}=$Medelhastigheten= $\frac{\text{Sträckan}}{\text{Tiden}}$SträckanTiden 

Exempel 1

Din vän har $1$1 km till skolan och det tar $12$12 minuter för henne att gå dit. Vilken är då hennes medelhastighet? 

Lösning:

Vi börjar med att räkna ut hur stor andel av en timme $12$12 minuter är f;r att f[ svaret i enheten km/h.

 $\frac{12}{60}=0,2$1260 =0,2 timmar.

Vi får fram medelhastigheten genom att dividera sträckan med tiden.

 $\text{Medelhastigheten}=$Medelhastigheten= $\frac{\text{Sträckan}}{\text{Tiden}}=\frac{1}{0,2}=$SträckanTiden =10,2 = $5$5 

Din vän går med en medelhastighet på  $5$5 km/h.

När vi delar sträckan genom tiden står den genomsnittliga förändringshastigheten för medelhastigheten i tidsintervallet. Men begreppet genomsnittlig förändringshastighet kan handla om fler typer av förändringar. Alltifrån förändringar av temperaturer, energiförbrukning, hastigheter, kostnader, intäkter, populationer, volymer eller areor. 

Exempel 2

Temperaturen i en stad ändrades från $24$24 °C till $18$18 °C på $100$100 minuter. Vilken var den genomsnittliga temperaturförändringen per minut i tidsintervallet?

Lösning:

Vi får fram den genomsnittliga förändringen genom att beräknar ändringskvoten

  $\frac{\text{Föränring i temperatur}}{\text{Tidsintervallet}}=\frac{24-18}{100}=\frac{6}{100}$Föränring i temperaturTidsintervallet =2418100 =6100  $=0,06\text{ }$=0,06  °C per minut.

Exempel 3

Beräkna den genomsnittliga förändringen i intervallet  $2\le t\le4$2t4  för funktionen  $s(t)=6+t^2$s(t)=6+t2 

Lösning:

Vi beräknar

 $s(2)=6+2^2=10$s(2)=6+22=10 
 $s(4)=6+4^2=22$s(4)=6+42=22 

Den genomsnittliga förändringen blir

 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{s\left(4\right)-s\left(2\right)}{4-2}=$ΔyΔx =s(4)s(2)42 =$\frac{22-10}{4-2}=\frac{12}{2}=$221042 =122 = $6$6  

Exempel i videon

  • Temperaturen i ett rum ändrades från $18$18 °C till $22$22 °C på $10$10 minuter. Vilken är den genomsnittliga temperaturförändringen per minut i tidsintervallet?
  • Grafen visar (se bild i video) sträckan s meter som en cyklist rört sig på tiden  $t$t  minuter. Bestäm cyklistens medelhastighet från  $t=2$t=2  min till  $t=10$t=10  min.
  • Modellen beskriver hur en aktiefonds värde i $A\left(t\right)$A(t) miljoner kr ökar i värde där $t$t är tiden i år.
    $A\left(t\right)=450\cdot1,032^t$A(t)=450·1,032t
    Beräkna den genomsnittliga tillväxten från år $4$4 till år $16$16.

Kommentarer

  1. Det står ”Inväntar rättning” efter att jag har gjort uppgifterna till denna föreläsning, vilket jag aldrig har sett tidigare. Rättas allt manuellt? När får man svar i så fall?

    Pelin Glemark
    1. Hej
      Nej det var ett fel från vår sida som gjorde att det blev så, ursäkta!
      (Det är till våra digitala prov som detta kan göras, skall inte finnas inne på lektionerna)

      Simon Rybrand
  2. Hej!

    Fråga 7
    Borde det inte vara 30 000/45?

    Judith Lysell
  3. f(10) saknas i förklaringen till uppgift 4

    AdurianJ
    1. Tack för att du sade till, det är fixat!

      Simon Rybrand
  4. Med risk att låta helt lost måste jag fråga om sekantlinjer, spelar det någon roll i var man sätter ut dessa punkter för att sedan få ut en sekantlinje? Har lite svårt att förstå mig på detta,

    NSchultz
    1. Insåg nu att jag bara varit lite virrig, du behöver inte förklara 🙂

      NSchultz
      1. Hej! Vad bra att du förstod själv, det är bara att du kommenterar igen om det nåt annat som du funderar på. 🙂

        Simon Rybrand
  5. Jag förstår inte uträkningen f(60)−f(10)50=267−11050=15750=3,14° , tänker jag fel när jag skriver såhär? y=f(60)=20+10*60−0,098*60^2?

    Yosefd
    1. För att göra det lite tydligare kan vi först räkna ut $f(60)$ och sedan $f(10)$:
      $ f(60)=20+10⋅60-0,098⋅60^2=267,2 $
      $ f(60)=20+10⋅10-0,098⋅10^2=110,2 $
      Sedan kan vi beräkna förändringshastigheten i intervallet:
      $ \frac{267,2-110,2}{50}=3,14 $

      Simon Rybrand
  6. Undrar även här, 6:00 in i videon, var kommer grafen ifrån?

    Caroline
  7. Hej!
    Videon verkar endast fungera 2/3 ? Är det någon bugg eller är det bara min dator som inte klarar av det? Har gått bra med de andra videos.

    MVH Giovanna

    Giovanna.Hilke
    1. Hej, testade videon och den verkar fungera när jag kikar på den i en webbläsare på datorn, surfar du via mobil/surfplatta? Om du fortfarande har problem med uppspelning av denna eller andra videos så är du välkommen att kontakta vår support så hjälper vi dig vidare!

      Simon Rybrand
  8. Hej!

    Jag har en uppgift som jag inte fattar hur jag ska göra, den lyder följande:

    Tabellen visar Johans resultat i längdhopp från 2008 till år 2011.

    År l 2008 l 2009 l 2010 l 2011 l
    Längd (m) l 5.35 l 5.58 l 5.92 l 6.16 l

    Hur stor var den genomsnittliga förändringshastigheten för Johans resultat från 2008 till 2011?

    Rätt svar: 0.27m/år

    Tack på förhand!

    Nikolaj Kønig
    1. Beräknas genom
      $ \frac{6,16-5,35}{2011-2008}=\frac{0,81}{3}=0,27 $

      Simon Rybrand
  9. Kan man lösa den här frågan med samma metod, hur?
    Avstånd mellan Helsingborg och Stockholm är 500KM. En buss åker 80KM/T i genomsnitt från stockhom och en bil med 120 KM/t i genomsnitt från Stockholm. Var bilarna kommer att träffa varandra?

    nti_ma3
    1. I det här fallet är det nog enklare att ställa upp ett ekvationssystem där
      x = kört avstånd för bussen
      t = tiden
      —–
      (1) 80t = x
      (2) 120t = 500 – x
      —–
      (1) ger att t = x/80 och detta sätts in i (2):
      120*(x/80) = 500 – x ⇔
      1,5x = 500 – x ⇔
      2,5x = 500
      x = 200
      ——–
      De möts alltså när bussen kört 200 km och bilen 300 km.

      Simon Rybrand
      1. tack!

        nti_ma3
  10. Uppgift 4.

    ( f(60) – f(10) ) / 60 – 10

    Jag håller med att f (10) = 110 (eller 110,2 renare sagt).

    Men f(60) ?? Jag får ett helt annorlunda svar?
    När jag gör detta:

    f(x) = 20 + 10x – 0,98 x ^ 2
    f(60) = 20 + 10(60) – (0,98(60)^2)
    f(60) = 20 + 600 – 0,98(60)^2)
    f(60) = 620 – 3528 = 2962 ??

    Jag förstår inte, jag får liknande svar, jag har provat 3135641 olika möjligheter men kommer inte fram till lösningen ni har kommit fram till. Snälla hjälp mig

    hampusvh1
    1. Jag menade självklart minus 2962 i slutet, alltså -2962

      hampusvh1
      1. Hej! I din uträkning här ovan använder du dig av 0.98, i funktionen så är koefficienten 0.098 framför $ x^2 $ termen. Detta gör att du får ett väldigt annorlunda svar. Vid uträkning med 0.098 ges:
        $ f(60) = 20 + 10⋅60 – 0.098⋅60^2 = $
        $ = 20 + 600 – 0.098⋅3600 = $
        $ = 20 + 600 – 352.8 ≈ 267 $

        Simon Rybrand
  11. Uppgift 4
    uträkningen för att få fram y2=267 förstår jag.
    men att y1=f(10)=20+10*10 – 0.098*100= 119 gör mig förvirrad, hur jag än försöker får jag 110.2 genom (120-9.8)

    Jag får alltså 267.2-110.2/50=156.8
    156.8/50=3.136 grader i ugnen. misstänker att det har att göra med starttemp på 20 grader som man ska räkna bort. Tacksam för svar

    linnearonsten
    1. Hej Linnea, det hade smugit sig in ett räknefel i den uppgiften och det är korrigerat. Tack för att du kommenterade detta och fortsatt lycka till med pluggandet!

      Simon Rybrand
  12. Hej!
    Jag har problem med ett tal där jag inte får ut rätt svar.
    Kl 10.20 avläste Emma bilens vägmätare till 85 321 km och kl 12.35 till 85 582 km. Beräkna Emmas genomsnittliga hastighet.
    Då har jag bara gjort att jag tar 85 582- 85321/ 12.35-10.20 och får ut svaret 121. Men det är fel då det blir 116?

    Avan103
    1. Hej, du måste tänka på att räkna med timmar på rätt vis. Mellan 10.20 och 12.35 är det 2 timmar och 15 minuter vilket kan skrivas som 2,25 timmar.

      Svaret på den genomsnittliga förändringen i intervallet blir då
      $ \frac{85582-85321}{2,25} = 116 $km/h

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: