...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Förenkla rationella uttryck

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Rationella uttryck

Ett rationellt uttryck är ett algebraiskt uttryck, som skrivs som en kvot av två polynom.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Definition av rationella uttryck

Ett rationellt uttryck $r\left(x\right)$r(x) är en kvot av två polynom $p(x)$p(x) och $q(x)$q(x).

 $r\left(x\right)=$r(x)= $\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$p(x)q(x)      där  $q(x)\ne0$q(x)0 .

Förenkla rationella uttryck

Att förenkla ett rationellt uttryck innebär att skriva om det så kortfattat som möjligt. Alltså ”rensa” uttrycket så att det är så små heltal och få variabler och termer som möjligt kvar. T.ex. genom att samla ihop termer av samma slag eller genom det som kallas för förkortning.

Målet när du förkortar rationella uttryck är att hitta gemensamma faktorer i täljaren och nämnarens termer. Dessa vill du först bryta ut och sedan dividera med varandra.  Då en faktor i täljaren och nämnaren är identisk, är deras värde vid division ett. Detta kan upplevas som att faktorerna ”försvinner”.

Tänk bara på att det inte finns något i matematiken som bara ”försvinner”. Egentligen är det olika matematiska operationer som bara gör att det upplevs så.  T.ex. när termers summa blir noll, vilket upplevs som att de ”tar ut” varandra.  Eller vid division av två identiska tal, vilket upplevs som att de ”försvinner”, om de är faktorer i täljaren och nämnaren i en kvot. Fast egentligen är det att multiplikation med talet ett, ger ett oförändrat resultat.

Exempel 1

Förenkla det rationella uttrycket $\frac{xy}{x}$xyx  så långt som möjligt.

Lösning:

Då vi har faktorn $y$y i alla termer i både täljaren och nämnaren kan vi förkorta uttrycket med $y$y .

 $\frac{xy}{x}=$xyx = $y$y  

Här följer en (över)tydlig redovisning på de matematiska stegen bakom förkortningen.

 $\frac{xy}{x}=\frac{x\cdot y}{x\cdot1}=\frac{x}{x}\cdot\frac{y}{1}=\frac{1}{1}\cdot\frac{y}{1}=$xyx =x·yx·1 =xx ·y1 =11 ·y1 = $1\cdot$1·$\frac{y}{1}=\frac{y}{1}=$y1 =y1 =  $y$y 

Exempel 2

Förenkla det rationella uttrycket  $\frac{2x+4}{2x-8}$2x+42x8  så långt som möjligt.

Lösning:

Vi studerar täljaren och nämnaren och letar efter faktorer att bryta ut.

 $\frac{2x+4}{2x-8}=$2x+42x8 =               Bryt ut $2$2 i täljaren och nämnaren

 $\frac{2\left(x+2\right)}{2\left(x-4\right)}=$2(x+2)2(x4) =             Förkorta med  $2$2 

 $\frac{x+2}{x-4}$x+2x4   

Ett vanligt fel vid förenkling av rationella uttryck

Att förkorta innebär att dividera både täljaren och nämnaren i en kvot med samma tal eller uttryck. Vi kan inte förkorta rationella uttryck genom att ta bort termer hur som helst. Observerar att man alltså inte får ”stryka” termerna $2x$2x i täljaren och nämnaren mot varandra! 

Felaktig förenkling av rationellt uttryck

Det är endast faktorer som kan förkortas ”bort” i kvoter. För den tränade kan steget med att bryta ut hoppas över. Men endast om man är tvärsäker på att talet eller uttrycket man förkortar med återfinns som en faktor i alla termer. Men för säkerhets skull rekommenderar vi att alltid faktorisera innan du förkortar, tills dess du har blivit en mästare på att förenkla rationella uttryck!

Förenkla rationella uttryck med konjugatregeln och kvadreringsreglerna

Man kan använda sig av konjugatregeln och/eller kvadreringsreglerna för att först faktorisera det rationella uttrycket så att det sedan kan förkortas. Detta är en mycket vanlig metod i denna kurs, som du bör behärska inna kursen slut. Vi repeterar reglerna.

Konjugatregeln

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Kvadreringsreglerna

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Ju mer man tränar på att faktorisera med dessa regler, desto lättare blir det att snabbt förenkla det rationella uttrycket.

Exempel 3

Förenkla  $\frac{x^2+6x+9}{x+3}$x2+6x+9x+3   så långt som möjligt.

Lösning:

Vi studerar täljaren och ser att vi kan faktorisera med kvadreringsregeln.

 $\frac{x^2+6x+9}{x+3}=$x2+6x+9x+3 =                         

Vi skriverom uttrycket för att att tydligare se sambandet med kvadreringsregeln.         

 $\frac{x^2+2\cdot3x+3^2}{x+3}=$x2+2·3x+32x+3 =        Faktorisera med kvadreringsregeln i täljaren

 $\frac{\left(x+3\right)^2}{x+3}=$(x+3)2x+3 =                  Vi skriver om för att tydligare se faktorerna i täljaren

 $\frac{\left(x+3\right)\left(x+3\right)}{x+3}=$(x+3)(x+3)x+3 =              Förkorta med $\left(x+3\right)$(x+3)                 

 $\frac{\left(x+3\right)}{1}=$(x+3)1 =                      Beräkna kvoten

 $\left(x+3\right)$(x+3)      

Givetvis kan du hoppa över vissa steg när du tränat.

Exempel 4

Förenkla  $\frac{2a^2-2b^2}{10a+10b}$2a22b210a+10b   så långt som möjligt.

Lösning:

Vi studerar täljaren och nämnaren för att finna gemensamma faktorer.

 $\frac{2a^2-2b^2}{10a+10b}$2a22b210a+10b                         Bryt ut $2$2 i täljaren och $10$10 i nämnaren    

 $\frac{2(a^2-b^2)}{10(a+b)}$2(a2b2)10(a+b)                         Faktorisera med konjugatregeln i täljaren

 $\frac{2(a+b)(a-b)}{10(a+b)}$2(a+b)(ab)10(a+b)                   Förkorta med $(a+b)$(a+b) 

 $\frac{2(a-b)}{10}$2(ab)10                            Förkorta med $2$2 

 $\frac{a-b}{5}$ab5  

Vad är skillnaden på att förkorta, förlänga och förenkla?

Ofta förväxlar man dess begrepp, då de alla används flitigt i arbeten med att skriva om uttryck i algebran. 

Att förkorta är att dividera både täljaren och nämnaren i en kvot med samma tal eller uttryck.

Att förlänga är att multiplicera både täljaren och nämnaren i en kvot med samma tal eller uttryck.

Att förenkla är att skriva om ett uttryck så kortfattat som möjligt. När det gäller rationella uttryck och andra kvoter, vill man ha så små koefficienter och få termer som möjligt.

Exempel i videon

  • Förenkla $ \frac{12}{12} $
  • Förenkla $ \frac{12}{16} $
  • Förenkla $ \frac{x^3}{x^2} $
  • Förenkla $ \frac{x^2-x}{x} $ Visas på två olika vis.
  • Skriv $ \frac{2x^3-6x^2}{10x-30} $ på enklaste form
  • Skriv $ \frac{a^2-9}{a+3} $ på enklaste form
  • Skriv $ \frac{4x+4}{16x^2+32x+16} $ på enklaste form

Kommentarer

Angelica Herfert

Hej,
I exempel 2 säger du att ”x bryts ut från nämnaren” men det borde väl vara i täljaren?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ja det har blivit fel där, tack för att du sade till. Vi korrigerar detta så fort som möjligt

Perihan Yildiz Göker

på övning uppgift 2

x^3y^4/3x^2y^2

förstår inte hur det kan bli 3 i nämnaren, alltså xy^2/3

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det finns ju inga konstanter i täljaren mer än $1$ så vi får kvar endast en $3:a$ i nämnaren.

Julia Ojeda Ottosson

Hej! Har problem med två frågor, den ena är:
x^2+8x+16/2x+8

Den andra är:
1/4-4/2x+3/x

Tack på förhand!

    Simon Rybrand (Moderator)

    På den första skriver du om täljaren med kvadreringsreglerna och bryter ut 2 i nämnaren så att du får
    $\frac{x^2+8x+16}{2x+8}=\frac{\left(x+4\right)^2}{2(x+4)}=\frac{x+4}{2}$
    På den andra kan du skriva om termerna så att de har samma nämnare.

      Julia Ojeda Ottosson

      Okej tack! 🙂

Felicia Månsson

Hej! Varifrån kommer ”+1” i exempel 3? Varför blir svaret inte bara x?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Är det exempel 2 i videon du funderar på? Kolla kommentaren här precis ovanför i så fall, gör ett längre resonemang där.

Hanna Fox

Jag förstår inte hur (x^2+x)/x är lika med x+1. Kan du förklara?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Viktigt där är att du förstår hur du kan bryta ut x i täljaren så att du får:
    $ \frac{x(x+1)}{x} $
    (Kika gärna på faktorisering om du inte förstår det steget)
    Sedan handlar det om att du nu kan dela med x både i täljaren och i nämnaren så att du får 1 framför parentesen i täljaren och 1 i nämnaren. Man skulle kunna skriva det så här:
    $ \frac{x/x(x+1)}{x/x} = \frac{1(x+1)}{1}=\frac{x+1}{1}=x+1 $
    Hoppas att detta hjälper dig på vägen mot att förstå detta!

Yosefd

Kan du förklara hur du tänker på exempel 5 varför blir 16x^2 + 32x +16

(4x) 2 + 2 * 4x *4 + 4^2 och hur blir det senare till (4x + 4)^2

Vad kan du rekommendera till en novis för att greppa detta?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Får att förstå den omskrivningen så behöver vi titta på den regel som kallas för kvadreringsregeln och som säger följande:
    $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $
    Kan också skrivas som
    $ (a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2 $
    Denna regel använder vi här ”baklänges” för att kunna faktorisera uttrycket. Dvs vi går från $a^2+2ab+b^2$ till $(a+b)^2$.
    För att kunna se detta så är det ibland enklare att först göra en omskrivning av uttrycket så att vi skriver
    $ 16x^2=(4x)^2 $
    $ 32x=2⋅4x⋅4 $
    $ 16=4^2 $
    och får då
    $ (4x)^2+2⋅4x⋅4+4^2 $
    Här kan vi nu tänka att $a=4x$ och $b=4$ från kvadreringsregeln och vi går då ”baklänges” och får
    $ (4x)^2+2⋅4x⋅4+4^2 = (4x+4)^2 $
    Jag rekommenderar att du kikar vidare på följande videos:
    Faktorisera med konjugat och kvadreringsreglerna.
    Faktorisera med konjugat och kvadreringsreglerna – Problemlösningsuppgift

Diego Ferris

Minuten 2:20 sägs att man ska beräkna enligt prioriterings regler ”2+8” Men två plus åta är en ”addition” och det ska beräknas sist enligt prioriterings regler.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Tack för en bra fråga!
    Här är det viktigt att förstå att innehållet i täljaren i en kvot först måste beräknas. Detta enligt prioriteringsreglerna som säger att innehåll i parenteser skall beräknas först och uttrycket i täljaren skall ses som en parentes.
    Du kan alltså tänka att
    $ \frac{2+8}{2} = \frac{(2+8)}{2} $

sara eneroth

Hej! Behöver hjälp med denna uppgift ; Förenkla uttrycket så långt som möjligt,
5(x-3)^2/
5x-15

    Simon Rybrand (Moderator)

    Antar att det är uttrycket
    $\frac{5\left(x-3\right)^2}{5x-15} = \frac{5(x-3)^2}{5(x-3)} =$
    $\frac{(x-3)}{1} ={x}-{3}$
    Här kan du alltså först bryta ut 5 i nämnaren och sedan förkorta med $ 5(x-3) $

vitti

tja, förstår inte hur 6x^2 blir x-3? kan du förklara

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det är för att vi bryter ut $2x^2$ ur varje term i täljaren.
    $2x^3-6x^2 = 2x^2⋅x-2x^2⋅3$
    Nu bryter vi ut 2x^2 ur varje term
    $2x^2(x-3)$

Ki Nyhlen

En detalj som kan förvirra i videon vid 02:55, ”alternativt kan vi bryta ut x i nämnaren först”. Antar att meningen är att det ska vara i täljaren?
Mvh
Ki

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja det skall förstås stå och sägas att det är ur täljaren som vi bryter ut x. Detta skall korrigeras i videon.

Alex

Kan jag få en RIKTIG förklaring vad som händer på fråga 2 till 6?!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Absolut kan vi hjälpa dig vidare, vilken av frågorna är det som du tycker är svårast så kan vi börja där och förklara?

Jill

Jag förstår inte exempel 3. Hur bryter vi ut 6x upphöjt i 2 med 10x?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, i täljaren i det uttrycket så bryter vi ut $2x^2$. Kanske att det blir tydligare om vi skriver det så här:
    $ 2x^3-6x^2 = 2x^2⋅x-2x^2⋅3 = 2x^2(x-3) $
    I varje term i täljaren finns alltså $2x^2$.
    I nämnaren kan vi istället bryta ut 10 då
    $ 10x-30=10⋅x-10⋅3=10(x-3)$

    Slutligen kan vi förkorta uttrycket med (x-3) i både täljare och nämnare så att vi får
    $ \frac{2x^2(x-3)}{10(x-3)} = \frac{2x^2}{10}=\frac{x^2}{5} $
    I sista steget där så förkortar vi täljare och nämnare med 2.

Kajsa-Lotta Georgii Hellberg

Hej!

Om jag ska förenkla uttrycket f(x)-f(a)/x-a då f(x) = 1/x, hur ska jag då tänka? var stoppar jag in 1/x och hur löser jag då ut a? Hjälp!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du byter ut $f(x)$ mot $\frac1x$ i uttrycket. Du byter även ut $f(a)$ mot $\frac{1}{a}$ då $f(a)=\frac{1}{a}$

Mpers

Hej!
På första uppgiften svarade jag rätt. Men fick fel förenkling. Jag fick bara y kvar. I och med att jag strök alla x efter att jag ställde upp det såhär.
$ \frac{xy+x}{xy} = \frac{x (y+x)}{xy } = y $
Vart kommer 1an ifrån? Hur kan 1an komma fram när vi stryker alla x? Och varför blir det en etta av x?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det korrekta sättet att förenkla där är att
    $ \frac{xy+x}{xy} = \frac{x(y+1)}{xy} = \frac{y+1}{y} $
    Det som händer när ”x blir en etta” är att vi har faktoriserat täljaren i det rationella uttrycket. Kolla lite på hur man faktoriserar olika uttryck så tror jag att det går att förstå.

maalwe

I ex ovan kan du väll inte förkorta rätt av pga det är addition, hade det stått på samma sätt (som i början av videon) men med multiplikation så kan man ju förkorta x:en med varandra.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ja så är det, det är additionen som gör att man behöver vara lite försiktigt med att förkorta rakt av. Det behöver finnas ett x i varje så kallad term både i nämnare och täljare i det rationella uttrycket.

payam

hur kommer det sig att man kan bryta ut 2 x där uppe men bara 1 där nere? på den sista

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Payam,
    Det som egentligen händer där är faktiskt bara att man bryter ut ett x men ur varje term ”där uppe” så här:

    $ \frac{x+xy}{x} = \frac{1 \cdot x +x \cdot y}{1 \cdot x} = \frac{x(1 + y)}{x} $
    Vi använder här ovan det som kallas för den distributiva lagen, dvs ab + ac = a(b+c) och bryter ut x ur täljaren.
    Nu kan vi förkorta med x både i täljaren och i nämnaren:
    $ \frac{x(1 + y)}{x} = 1 + y $
    Du kan alltid testa detta med siffror som jag gör i videon här ovan för att få en känsla för vad du kan förkorta och inte förkorta. Det är väldigt vanligt att många tycker att just detta är svårt.

Simon Rybrand (Moderator)

Dessa uttryck uttalas som ”g av x” och med detta menas ett polynom där variabeln i detta polynom är x.

Ett bra sätt att förstå idén är att jämföra det med funktioner där man har en funktion tex f(x) = 2x + 1. Då menas funktionen y som beror av variabeln x. Se gärna videon som jag länkar till.

saif

G (x)
H (x)
va menas med det ? jag har inte förstått det ?
Kan du ge nån exampel så att jag får veta hur det funkar ?

Simon Rybrand (Moderator)

Hej Ohlson_M, bra fråga som många missuppfattar!
Nej, det är så att om du dividerar x/x så får du inte 0 utan du kommer att få 1. Precis på samma sätt som när du dividerar 3/3 = 1 så blir x/x = 1 eller a/a = 1. Svaret är alltså korrekt i videon.

    Mpers

    Du säger ju i början att man kan göra så med x * y / x? Eller går det när det är multiplikation men inte addition?

Ohlson_M

I sista exemplet på ”en vanlig missuppfattning” står det att lösningen är 1 + y. Hur kan det komma sig? Vi stryker ju alla x och bör bara få ”y” kvar. Borde det således inte stå 1 * y ?


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Pelle skall förkorta det rationella uttrycket $ \frac{xy+x}{xy} $ och gör enligt bilden nedan, vad gör han fel?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel

    Förenkla uttrycket  $\frac{x^3y^4}{3x^2y^2}$x3y43x2y2  

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel

    Du kan förkorta $ \frac{x^36y}{2xyx^2} $ till ett tal, vilket?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel

    Förkorta $\frac{x^2 – 16}{x-4}$

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel

    Förenkla uttrycket så långt som möjligt  $\frac{x^2+6x+9}{x+3}$x2+6x+9x+3  

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel

    Förkorta $\frac{3x^2+12x+12}{3x+6}$

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Studera förenklingen nedan och välj vilket alternativ du anser stämmer bäst.

    polynom-forenkling

     

    Rättar...

c-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket förenklat uttryck för du om du faktorisera uttrycket med hjälp av bland annat kvadreringsregeln och förenkla uttrycket så lång som möjligt?

    $\frac{12x+18+2x^2}{2x+6}$

     

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar