...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Exponentialfunktioner och Potensfunktioner

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

En exponentialfunktion skrivs på formen $y=C\cdot a^x$y=C·ax . Vi har alltså variabeln i  exponenten.

Exponentialfunktion

En potensfunktion skrivs istället enligt $y=kx^n$y=kxn  där variabeln istället befinner sig i basen.

Potensfunktion

Bägge dessa typer av icke-linjära funktioner skrivs alltså med en term som består av en potens. Du kan avgöra vilken av dessa funktioner det är genom att

  • Om variabeln är i basen är det en potensfunktion.
  • Om variabeln är i exponenten är det en exponentialfunktion.

Exponentialfunktioner

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

En funktion där variabeln återfinns i exponenten kallas för en exponentialfunktion.

Definition

En exponentialfunktion skrivs på formen

 $y=C\cdot a^x$y=C·ax 

där  $C$C och $a$a är konstanter och $a>0$a>0.

Om vi ritar ut en exponentialfunktion så kan den exempelvis se ut på följande vis:

Exponentialfunktion

Notera här att kurvan skär y-axeln i $y=100$y=100, dvs det som benämns konstanten $C$C ovan. I det här fallet så är kurvan exponentiellt växande ju större x-värde vi har. 

Om vi istället har en exponentialfunktion där konstanten $a<1$a<1 så ser den funktions kurva ut på följande vis:

Avtagande exponentialfunktion

Notera återigen att kurvan skär y-axeln i $y=100$y=100. Den här funktionen avtar istället exponentiellt och funktionsvärdet blir mindre och mindre ju större x blir.

Exempel 1

Du sätter in $5000$5000 kronor på ett bankkonto med räntan $2,5\text{ }\%$2,5 % per år.

a) Beskriv hur pengarna växer på kontot med hjälp av en exponentialfunktion.
b) Använd funktionen och bestäm hur mycket pengar du har efter 12 år.

Lösning

a)

Vårt startvärde är $5000$5000 kronor.

Räntan är $2,5\text{ }\%$2,5 % så förändringsfaktorn är $1,025$1,025 .

Tiden $x$x beskriver antalet år efter att vi satt in pengarna.

Vi kan beskriva hur pengarna $y$y kr ökar på kontot med funktionen

 $y=5000\cdot1,25^x$y=5000·1,25x 

b)

För att ta reda på hur mycket pengar vi har efter $12$12 år så sätter vi in denna tid i funktionen

 $y=5000\cdot1,025^{12}\approx6\text{ }721\text{ }kr$y=5000·1,025126 721 kr 

Potensfunktioner

En funktion där variabeln återfinna i basen kallas för en potensfunktion.

Definition

En potensfunktion skrivs på formen

 $y=k\cdot x^n$y=k·xn 

där $k$k och $n$n  är konstanter.

I matematik 1 är den framför allt den linjära funktion som tillämpas medan vi in de senare kurserna jobbar med potensfunktioner med högre grad än ett.

Exempel på potensfunktioner kan vara

  •  $y=x^2$y=x2 (som också är en andragradsfunktion)
  •  $y=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$y=x12 =x 
  •  $y=x^{0,0056}$y=x0,0056 

Exempel 2

Du vill sätta in $10\text{ }000$10 000  kronor på ett bankkonto i 10 år. Beskriv hur dina pengar kommer att växa med hjälp av en potensfunktion.

Lösning

Vi antar i detta exempel att räntan är positiv.

Vi kallar förändringsfaktorn för $x$x.

Vi kan då skriva funktionen som

 $y=10\text{ }000\cdot x^{10}$y=10 000·x10  där $x$x är förändringsfaktorn.

Tillämpningar av potensfunktioner och exponentialfunktioner

Ofta basera många tillämpningar av dessa funktioner på upprepade procentuella förändringar. Därför är det viktigt att du känner till begreppet förändringsfaktor. De olika variablerna och konstanterna i funktionerna betyder oftast följande:

 $y=C\cdot a^t$y=C·at 

  • y = slutvärde
  • C = startvärde
  • a = förändringsfaktor (Vid potensfunktion kallad $x$x)
  • t = tid (Vid exponentialfunktion kallad $x$x)

Exempel i videon

  • En dator kostar 10 000 kr och priset höjs med 12 %, vilket blir det nya priset?
  • En dator kostar 10 000 kr och priset sänks med 20 %, vilket blir det nya priset?
  • 9000 kr sätts in på banken, ställ upp ett samband för hur värdet på pengarna ökar om räntan är x %.
  • Du sätter in 9000 kr på banken med räntan 5 %, hur mycket pengar har du efter x år?

Kommentarer

Hanna Henriksson

Hej! Tack för en jättebra sida, pedagogiskt och tydligt! Undrar om du skulle vilja hjälpa mig med att förklara hur man kommer framtill potensekvationen y=t*C(100-x)/100, förstår den inte riktigt (fall 1 i uppgift 8), tack på förhand! / Hanna

Lovisa Ehrenborg

Fråga 4: Svarade f(x)=8×2+3x. Får fel. I svaret står det att jag svarat rätt.

Fråga 8:
Fall 1 Står att rabatten är x % ej att förändringsfaktorn är x.
Fall 2 Står att temperaturen sjunker med x °C i timmen. Dvs linjärt ej exponentiellt med förändringsfaktor x.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, tack för att du påpekade detta, vi fixar till det!

Jane_Ch

Ett företag omsätter 5000000 kr/år. Med en nyanställd i företaget är ägares mål att omsättning ska fördubblas på tre år. Med hur många procent måste då omsättningen i genomsnitt öka varje år?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du kan ställa upp följande potensekvation:
    $ 5000000⋅x^3 = 10000000 $
    där $x$ är förändringsfaktorn. När du löser detta så kommer du att få hur mycket omsättningen skall öka per år för att målet skall nås.

Amanda

Hej!
Jag undrar hur man vet om man ska använda en exponentialfunktion eller en potensfunktion när man löser en uppgift?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Ett ganska praktiskt sätt att se detta på är att utgå ifrån
    $ y = Ca^t $
    där C är startvärd, a procentuell förändring och t är tiden.
    Om det är förändringen som förändras eller är okänd, dvs a = x, så är det en potensfunktion. Om det är tiden som förändras eller är okänd så är det en exponentialfiunktion.

nti_ma3

X^100=2^100 vad blir det, har tänkt på de länge men kommer inte på hur jag ska räkna ut. .

    William

    Vad är problemet? Vet du inte vad 2^100 blir eller är det x du inte vet vad är? För om x^100=2^100 så måste ju x vara x=2. Ser du sambandet?

nti_ma3

Hej
Jag har ett stort problem med procent. Jag förstår inte om man har 20%, varför är det 0,8 multipliceras med 10000
har 5%, varför skriver du 9000.1,05. Jag förstår tanken med fomeln men inte exemplar.
mvh

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Det som används vid procenträkning här är det som kallas för förändringsfaktor.
    Om något exempelvis kostar 1000 kr och det ökar med 20 % så kan vi beräkna det nya priset med hjälp av förändringsfaktorn 1,2 (ökning på 20%) enligt:
    1,2*1000 = 1200 kr.
    Om det istället minskar med 20 % så kan får vi det nya priset mha förändringsfaktorn 0,8 (1-0,2) enligt:
    0,8*1000=800 kr.

Sofia

Hur löser jag denna uppgiften :

En gitarr kostar 18000 kr i inköp och man beräknar att värdet minskar med 20 % per år. Beräkna värdet med två siffrors noggrannhet.

a) hur lång tid som krävs för att värdet ska minska med 60%

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du vet följande:
    Kostnad: 18 000, om den har minskat med 60 % så är den värd 0,4*18 000 = 7200 samt att värdet minskar med förändringsfaktorn 0,8 (minskning 20 % per år). Du kan då ställa upp sambandet:
    $ 7200 = 18000 \cdot 0,8^x $
    Här löser du denna ekvation med hjälp av logaritmer, hoppas att detta hjälper dig vidare!

      sheima Hachichi

      Hej, i videon står det att det höjs med 12% fast du har skrivit 0,12?

        sheima Hachichi

        Oj, la in denna kommentar på fel ställe! Men pratar om videon och inte kommentaren ovanför.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Där visar jag hur man kan räkna ut det nya priset på två lika vis. Dels genom
        1) 10 000 + 0,12·10 0000 = 10 000 + 1200 = 11 200
        och
        2) 10 000·1,12 = 11 2000
        Det andra sättet är med förändringsfaktor vilket är att föredra. Det går snabbare och det blir enklare vid upprepade procentuella förändringar.

annab87

Enligt min mattebok är 12^x-3 inte en exponentilafunktion medans 5^2*3^x och 2*4^x är det. Har det och göra med att det är ett multiplikationstecken med i funktionen? Jag använder mej utav de nya Origo-böckerna som är helt nya för alla. Så lite småfel i facit är det emellanåt.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Skulle nästan behöva se det framför mig i boken och tyvärr har jag inte tillgång till just denna bok. Hoppas att det ordnar sig ändå.

Simon Rybrand (Moderator)

Hej Anna, om du har en funktion f(x) där variabeln sitter i exponenten så brukar man kalla det för en exponentialfunktion. Så bägge uttrycken ovan skulle jag säga är en exponentialfunktion, hittar du problemet i en uppgift eller här på sajten?

annab87

Varför är 2*4^x en exponentialfunktion men inte 12^x-3? Båda exponenterna är ju okända?


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (9)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken förändringsfaktor motsvarar en ökning med $14\%$14%?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M1
    R
    K

    Adam köper en begagnad moped. Formeln $y=10\text{ }000\cdot0,8^x$y=10 000·0,8x beskriver mopedens värde $y$y kronor $x$x år senare.

    Hur stor är värdeminskningen i procent per år?(NpMa1c vt2012)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken förändringsfaktor motsvarar en sänkning med $23\%$23%?

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Du har sparat pengar och ska äntligen köpa en digital systemkamera! Den kostar $5999$5999 kr men du har en kupong som ger dig $15\%$15% rabatt.

    Vad kommer kameran att kosta efter att man dragit av rabatten?

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken av följande matematiska modeller är en potensfunktion?

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken av följande matematiska modeller är inte en potensfunktion, då $x$x är en oberoende variabel och alla andra variabler motsvarar givna konstanter?

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R
    K

    Du köper en bil för $26\text{ }000$26 000 kr. Vilken matematisk modell ger dig möjlighet att beräkna hur många år tar det innan den är värd $5000$5000 kr, om den har en konstant procentuell minskning på $23\%$23% per år?

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R
    K

    Stig har ärvt en del aktier och har försökt sätta upp en matematisk modell som beskriver sambandet mellan aktiens startvärde $C$C, aktiens procentuella förändring per månad, $a$a, antal månader han ägt aktien$t$tsamt det aktuella värdet på aktien $V(t)$V(t).

    Vilken av de matematiska modellerna nedan beskriver ett korrekt sambandet mellan just dessa variabler?

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (1/1/1)
    ECA
    B1
    P11
    PL
    M
    R
    K


    Antal besökare på en hemsida ökar procentuellt lika mycket varje år, två år i rad. Bestäm den årliga ökningen i procent då den totala ökningen är $37$37 % under tvåårsperioden.
    (NpMa1c vt2012)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $x^{\frac{1}{2}}=9$x12 =9 (NpMa1c vt2012)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B1
    P
    PL1
    M1
    R
    K

    Freddy sparar pengar för kunna resa efter studenten. Målet är att det ska finnas $15\text{ }000$15 000 kr på kontot om tre år. En fond lovar $2,8\%$2,8% i årlig tillväxt.

    Hur mycket pengar behöver sättas in nu på fondkontot, för att det ska finnas ungefär $15\text{ }000$15 000 kr om tre år, om allt sätts in nu på en gång?

    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R1
    K

    Studera följande tre fall. Vilket av fallen kan matematiskt beskrivas med en exponentialfunktion?
    (Skriv gärna först upp en matematisk modell för vart och en av fallen när du läser igenom dem.)

    Fall 1: Ann vill beräkna $t$t stycken tröjors totala  kostnad, $y$y kr, efter att en rabatt på $x\%$x% har dragits av från det ursprungliga priset $C$C kr. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna den totala kostnaden y kr.

    Fall 2: Zoe vill beräkna hur lång tid, $t$t timmar, det tar innan kaffet har temperaturen $y°C$y°C om temperaturen förändras med förändringsfaktorn $x$x varje timme och hade starttemperaturen $C\text{ }°C$C °C. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna antalet timmar innan temperaturen är $y\text{ }°C$y °C.

    Fall 3: Max vill beräkna förändringsfaktorn $x$x som motsvarar den konstanta procentuella ökning som hans aktier behöver hålla för att han ska ha dubblat sin insats $C$C kronor efter $t$t månader. Sätt upp en matematisk modell som hjälp för att beräkna den procentuella ökningen.

    Träna även på att motivera ditt svar.

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/1)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    En grupp forskare en särskild bakterieodling. De har upptäckt att den hela tiden ökar med lika många procent.

    Hur lång tid tar det innan odlingen har uppnått en mängd bakterier som är en miljard gånger fler än den ursprungliga, om det under de tre första dygnen blivit tusen gånger fler bakterier, än vid starten av mätningarna?

    Svara i antal hela dygn.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.