...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Exponentialekvationer

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen introducerar vi begreppen exponentialekvationer och exponentialfunktion och kopplar samman dessa så att du förstår deras likheter och olikheter.

Exponentialekvation – uppbyggnad

En exponentialekvation är en ekvation där den okända variabeln är placerad i exponenten. Vi söker alltså exponenten i den likhet som ekvationen består av. En mycket enkelt exponentialekvation kan se ut på följande vis:

$ 2^x = 16 $

Sådana här typer av enkla exponentialekvationer är oftast inte så svåra att hitta lösningen till, antingen prövar du dig fram till svaret eller inser det ganska omgående, du ”ser” det helt enkelt med hjälp av dina tidigare kunskaper i matematik.

Här gäller att  $x = 4$ då $ 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 $.

Om man däremot har en ekvation där det inte är lika lätt att gissa eller inse lösningen så krävs det en metod för att lösa ekvationen. Den metoden kallas för logaritmer och behandlas i genomgångar framåt.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Lösningar av enkla exponentialekvationer

Vissa exponentialekvationer behöver vi inte använda logaritmer för att kunna lösa. Här är två exempel på sådana ekvationer med lösningar.


$ 2⋅2^x = 64 ⇔ $
$ 2^x = 32 ⇔ $
$ x = 5 $
då $ 2^5 = 32 $


$ 100^x = 10 ⇔ $
$ x = \frac{1}{2} $
då $ 100^{1/2} = \sqrt{100} = 10 $

Exempel i videon

  • Lös ekvationen $ 2^x = 4 $
  • Lös ekvationen $ 3^x = 27 $
  • Lös ekvationen $ 5^x = 125 $
  • Lös ekvationen $ 1000 \cdot 2^x = 32000 $
  • Lös ekvationen $ 0,52^x = 1 $
  • Lös ekvationen $ 2^x = 2,2 $
  • Du sätter in $10\text{ }000$10 000 kr på banken med räntan $3\%$3% per år. När har du $15\text{ }000$15 000 kr på ditt konto?

Kommentarer

Jesper Westin

Man får fel om man svarar x=1 i uppgift 7. Det bör vara en giltig lösning.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Håller med
    Vi fixar det!

Johanna Forslind

Hej!
Jag förstår inte riktigt hur du menar på fråga 8, jag är överens om ekvationen, men menar du att man ska rita upp en graf för hand lr använda grafritare? / johanna

    Simon Rybrand (Moderator)

    Använd en grafritare där eller den räknare som finns längst ner till höger här på sajten!

Komvux Sundsvall Elev

Hej. Jag tycker det är svårt att förenkla uttryck av typen 3^x+8*3^x. Har du några bra tips för att förstå?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Blir det enklare att förstå om jag skriver det så här:
    Först kan vi faktorisera (bryta ut $3^x$)
    $3^x+8*3^x=3^x(1+8)=9·3^x$
    Här kan vi också gå vidare och skriva det som en potens, dvs som
    $3^2·3^x=3^{2+x}$

Hanna Henriksson

Hej ! Stämmer svaret till uppgift 8, drygt 2 år??? Får inte ihop det med logiskt överslag, tänker jag fel? 1,5 % av 15000 kr är ju 225 kr, 15000 kr x förändringsfaktorn 1.0115 = 15225 x förändringsfaktorn igen 1,015, ger ju på 2 år totalbeloppet ca 15453 kr…. ??? tacksam för hjälp, mvh Hanna

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det var fel i den uppgiften, det är korrigerat!

Tommy Rypi

Svar på uppgift kan väl inte stämma? När jag lägger in 2 som x så blir det inte 20.000:-. Däremot om du testar med 19 så börjar vi närma oss. Räknaren säger x=19.3223.
Eller är det jag som tänker helt åt pepparn fel?

    Tommy Rypi

    Uppgift 8 skall det vara.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Det var fel alternativ ifyllt som rätt till det svaret, vi har korrigerat detta!

Patricia Olaya-Contreras

Hej I Uppgift 5, i denna del, korrekt svar är D, enligt förklaring. men när det rättas och jag svarade D, markerades D som fel svar. varför markeras dessutom A som korret svar?
Det står så här i förklaring från er:
Alternativ D är korrekt då vi efter division med tre i båda leden får ekvationen 16=4 x
16=4x vilket just har lösningen x=2. Vi kan alltså tänka att då 4 2 =16 42=16 och 16⋅3=48
16⋅3=48 är det tal som uppfyller likheten 2.
MVH
Patricia

    Simon Rybrand (Moderator)

    Där var fel alternativ markerat som korrekt, vi korrigerar detta!

Freja

Jag skrev x = 4 i fråga 1 och där får jag fel. Tycker det är konstigt eftersom ni skrivar: ”Alltså har vi lösningen att x = 4”.

Mvh. Freja

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det kan vara lite känsligt om man slår in mellanslag eller något liknande när man skriver in svaret tyvärr på textsvaren. Vi håller på att uppdatera detta så att det inte är lika känsligt för detta.

      Simon Öhman

      Tack för en jättebra sida, med pedagogiska genomgångar.

      Jag fick också samma fel, på fråga ett och tre, oavsett om jag använde mellanslag eller inte. Rätt svar skulle vara ”4”, inte ”x=4”. Men är det inte så man egentligen ska ge ett svar?

      (Ett sätt kunde ju vara att skriva ”x=” före textrutan.)

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej
        Vi har uppdaterat uppgiften så att dessa fel inte skall kunna uppstå. Tack för att du kommenterade och påpekade detta.

selma

hej, jag behöver hjälp med en uppgift det är 4 upphöjt till x = 80 och man ska svara i två decimaler. Tacksam för svar. MVH.

    Simon Rybrand (Moderator)

    $ 4^x=80 $ är en exponentialekvation och du behöver använda dig av logaritmer för att lösa ut x.
    $ 4^x=80 $ (logaritmera)
    $ lg4^x=lg80 $
    Här använder du logaritmlagen $ lgA^x = xlgA $ vilket ger
    $ xlg4=lg80 $ (dividera med lg 4)
    $ x=\frac{lg80}{lg4} $
    För att få ut närmevärdet så slår du detta på din räknare.

Carl-Moses

(10^102 + 10^100) / 10^100
vet att man kan lösa denna med att man gör om den till
10^100 (10^2+1) / 10^100 där man sedan kan stryka bort båda 10^100, men då är min fråga hur vet man att man kan göra såhär? finns det någon potens lag på det här också som jag kanske har glömt? Jag förstår liksom inte hur det går ihop att man gör om 10^102 + 10^100 där det mest logiska för mig är att det blir 10^202 och inte 10^100 (10^2 +1) ?? jag är helt borta :s

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det bästa är nog att skriva om
    $10^{102} = 10^{100+2}=10^{100}⋅10^2$
    Då används potensregeln $a^m⋅a^n=a^{m+n}$

    Du kan då skriva om det hela till:
    $ \frac{10^{100}⋅10^2+10^{100}}{10^{100}} = $

    $ \frac{10^{100}(10^2+1)}{10^{100}} = 101 $

annab87

Otroligt mkt tack, nu blir det mkt lättare att satsa mot högre betyg!

annab87

Hej, jag har så svårt för sådana här uppgifter, hoppas du kan hjälpa mej och förstå.

Pengar som växer på ett konto skrivs med formeln
K(t)=2500•10^0,015t

Sedan frågar dem hur stor räntan är. Det är från ett kapitel om potenser och logaritmer. Hur börjar jag?

Jag vill koppla det till Ca^x på något sätt?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det går att koppla denna funktion till formeln du nämner genom att vi använder potenslagen
    $ a^{bc} = (a^b)^c $ för att skriva om uttrycket.

    Vi får då
    $ K(t)=2500⋅10^{0,015t} = 2500⋅(10^{0,015})^t $
    Sedan gör vi så att vi beräknar $ 10^{0,015} = 1,035 $ och får då formeln
    $ K(t)=2500⋅1,035^t $

    Här kan vi se att räntan är 3,5 %. Hoppas att denna förklaring hjälper dig vidare!

nattissa

Fantastisk hemsida, valuta för pengarna helt enkel, Tack!

Gabriella

Hej! Tack för en super hjälpsam hemsida. Har en fråga som dök upp i min mattebok. Hur beräknar man potensekvationen $ \frac{5^{3x}}{5^6}=5x $ ? Ingen aning om hur jag ska gå tillväga. Jätte tacksam för svar! Mvh, Gabriella

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Gabriella, ett sätt att lösa en sådan uppgift är att rita ut de bägge leden i ekvationen som varsin graf. Sedan hittar du lösningen där dessa bägge grafer skär varandra.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Antalet bakterier, $B\left(t\right)$B(t), i en bakteriekultur ökar exponentiellt varje timme enligt funktionen $B\left(t\right)=1500\cdot1,065^t$B(t)=1500·1,065t.

    Hur många bakterier finns det vid försökets början?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $4^x=256$4x=256.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $3\cdot3^x=81$3·3x=81 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    En uppgift på ett prov är att lösa exponentialfunktionen $48=3\cdot4^x$48=3·4x utan tillgång till räknare. Välj det alternativ du anser är korrekt.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationen $54=2\cdot3^x$54=2·3x utan räknare.

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M1
    R
    K


    Rut har satt in $15\text{ }000$15 000 kr på ett konto med räntan $1,5\%$1,5% per år. Gör en matematisk modell som beskriver hur summan $y$y kronor förändras med avseende på tiden $t$t år, och beräkna grafiskt hur många år det dröjer innan summan uppgår till $20\text{ }000$20 000 kronor.

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Antalet bakterier, $B\left(t\right)$B(t), i en bakteriekultur ökar exponentiellt varje timme enligt funktionen $B\left(t\right)=1500\cdot1,065^t$B(t)=1500·1,065t .

    Med hur många procent ökar antalet bakterier varje timme?

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M1
    R
    K

    Lisa sätter in $5000$5000 kr på ett sparkonto med en fast årlig ränta på $2,1\%$2,1%. Vilken funktion kan beskriva ökningen av pengar på kontot?

    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    I bilden är grafen till funktionen $y=3^x$y=3x utritad. Lös ekvationen $3^x=5$3x=5 med hjälp av bilden.

    Svaret är ungefärligt.

    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket alternativ är en korrekt lösning till ekvationen $49^x=7$49x=7?

    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL1
    M
    R
    K

    Sid har varm choklad i en kopp. Efter hur många minuter är temperaturen $63°C$63°C om temperaturen följer modellen $T\left(x\right)=84\cdot0,75^x$T(x)=84·0,75x under de fem första minuterna?

     $T(x)$T(x) anger temperaturen i koppen och $x$x motsvarar antalet minuter sedan chokladen hälldes upp i koppen.

    Försök först lösa problemet utan räknare.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Lisa sätter in $5000$5000 kr på ett sparkonto med en fast årlig ränta på $2,1\%$2,1%. Hur många år dröjer det innan pengarna på kontot har dubblats?

    Lös uppgiften grafiskt.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar