Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 2
/ Algebra, Exponentialfunktioner och Potensfunktioner
Exponentialekvationer
Innehåll
En exponentialekvation kännetecknas av att den okända variabeln är placerad i exponenten.
I den här lektionen introducerar vi begreppen exponentialekvationer och exponentialfunktion och kopplar samman dessa så att du förstår deras likheter och olikheter.
Vad är en exponentialekvation?
När vi vill multiplicera talet tio med sig själv tusen gånger skriver vi det effektivast som en potens, $10^{1000}$101000 . Men hur skriver vi då om vi vill multiplicera talet tio med sig själv ett okänt antal gånger? Jo, då kan vi skriva det som $10^x$10x, där $x$x motsvarar antalet tior som multiplicerats med varandra.
Låt säga att vi nu vill veta hur många gånger tio ska multipliceras med sig själv, för att produkten ska bli en miljon. Vi kan då teckna likheten $10^x=1\text{ }000\text{ }000$10x=1 000 000. En sådan ekvation kallar vi för en exponentialekvation.
En exponentialekvation kännetecknas av att den okända variabeln är placerad i exponenten.
Formeln för en exponentialekvation kan skrivas på följande vis.
$C\cdot a^x=y$C·ax=y där $C,\text{ }a$C, a och $y$y är konstanter och $x$x vår variabel.
Kan du lösningen på ekvationen $10^x=1\text{ }000\text{ }000$10x=1 000 000? Vi vet att om man multiplicerar tio med sig själv sex gånger blir produkten en miljon. Vi kan skriva en miljon som tiopotensen $10^6$106. Med hjälp av denna kunskap kan vi nu lösa ekvationen.
$10^x=1\text{ }000\text{ }000$10x=1 000 000 ⇔ $10^x=10^6$10x=106
och vi ser att om VL ska bli identiskt med HL, måste $x=6$x=6.
Lösningar av enkla exponentialekvationer
Exempel 1
Lös ekvationen $ 2^x = 16 $
Lösning
En ”enklare” exponentialekvation som denna kan lösas med prövning. Du ”ser” helt enkelt lösningen med hjälp av dina tidigare kunskaper i matematik.
Här gäller att $x = 4$ eftersom att $ 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 $.
Men självklar är det så att det finns exponentialekvationer som inte går att se lösningen direkt på. Därför behöver vi framöver lära oss en generell algebraisk metod för att lösa exponentailekvationer på. Den metoden kallas för logaritmer och behandlas i i Matematik 2. i matematik 1 nöjer i oss med att lösa exponentialekvationer av lite enklare slag med hjälp av huvudräkning, potensregler och grafisk lösning.
Exempel 2
Lös ekvationen $ 2⋅2^x = 64$
Lösning
Vi löser ekvationen med hjälp av prövning.
$ 2⋅2^x = 64$ dividera både leden med $2$2
$ 2^x = 32 $
Vi undersöker vilket tal fem ska upphöjas till för bli $32$32 och får att
$ x = 5 $ eftersom att $ 2^5 = 32 $
Exempel 3
Lös ekvationen $ 100^x = 10 $
Lösning
Vi löser ekvationen med hjälp av prövning.
$ 100^x = 10 $
Vi undersöker vilket tal hundra ska upphöjas till för bli $10$10 och får att
$ x = \frac{1}{2} $ eftersom att $ 100^{1/2} = \sqrt{100} = 10 $
Så löser du en exponentialekvation grafiskt
Ett annat sätt att lösa exponentialekvationer är en grafisk lösning. Genom att skriva om ekvationen så att ena leden endast består av en konstant kan du finna lösningen i det $x$x-värde som motsvarar den punkt som har ett $y$y-värde som har samma värde som konstanten.
Ovan ser vi grafen till funktionen $y=5\text{ }000\cdot1,02^x$y=5 000·1,02x . Men hjälp av grafen kan vi tex se att det $x$x -värde som ger att funktionen har $y$y -värdet $10\text{ }000$10 000 är $x=33,5$x=33,5 vilket därmed motsvarar lösningen till ekvationen $10\text{ }000=5\text{ }000\cdot1,02^x$10 000=5 000·1,02x
Digitala hjälpmedel som hjälp vid ekvationslösning
Med hjälp av ett digitalt hjälpmedel, som GeoGebra eller en grafräknare kan vi finna lösningen genom att skriva in VL och HL som två olika funktioner och därefter använda verktygets funktion för att bestämma deras skärningspunkt. Ekvationens lösning motsvaras av skärningspunktens $x$x -värdet.
Här har du en bild av grafräknare vi har i vår tjänst. Du hittar den här till höger genom att trycka på symbolen 
här till höger på sida.
Exempel i videon
- Lös ekvationen $ 2^x = 4 $
- Lös ekvationen $ 3^x = 27 $
- Lös ekvationen $ 5^x = 125 $
- Lös ekvationen $ 1000 \cdot 2^x = 32000 $
- Lös ekvationen $ 0,52^x = 1 $
- Lös ekvationen $ 2^x = 2,2 $
- Du sätter in $10\text{ }000$10 000 kr på banken med räntan $3\%$3% per år. När har du $15\text{ }000$15 000 kr på ditt konto?
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (10)
-
1. Premium
Lös ekvationen $2^x=8$2x=8
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra exponentialekvation exponentialekvationerRättar...2. Premium
Lös ekvationen $3^x=27$3x=27
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra exponentialekvation exponentialekvationerRättar...3. Premium
Lös ekvationen $4^x=256$4x=256.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
En uppgift på ett prov är att lösa exponentialekvationen nedan utan digitala hjälpmedel.
$48=3\cdot4^x$48=3·4x
Välj det alternativ du anser är korrekt.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra exponentialekvationer exponentialfunktionerRättar...5. Premium
Lös ekvationen $2\cdot4^x=32$2·4x=32
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...6. Premium
Lös ekvationen $3\cdot3^x=81$3·3x=81
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
Grafen visar funktionen $y=3^x$y=3x . Bestäm med hjälp av grafen $y$y-värdet då $x=0,75$x=0,75.
Svara med en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...8. Premium
Lös ekvationen $54=2\cdot3^x$54=2·3x utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...9. Premium
Rut har satt in $15\text{ }000$15 000 kr på ett konto med räntan $1,5\%$1,5% per år. Gör en matematisk modell som beskriver hur summan $y$y kronor förändras med avseende på tiden $t$t år, och beräkna grafiskt hur många år det dröjer innan summan uppgår till $20\text{ }000$20 000 kronor.Avrunda till hela år.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Se mer:Videolektion: GeoGebra och Grafisk lösningLiknande uppgifter: Algebra exponentialekvationer exponentialfunktion GeoGebra grafisk lösningRättar...10. Premium
Antalet bakterier, $B\left(t\right)$B(t), i en bakteriekultur ökar exponentiellt varje timme enligt funktionen $B\left(t\right)=1500\cdot1,065^t$B(t)=1500·1,065t .
Med hur många procent ökar antalet bakterier varje timme?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: exponentialekvation exponentialfunktion exponentiell ökning exponentiell tillväxt förändringsfaktorRättar...c-uppgifter (4)
-
11. Premium
Bilden visar grafen till funktionen $y=3^x$y=3x. Lös ekvationen $3^x=5$3x=5 med hjälp av bilden.
Avrunda ditt svar till en decimals noggrannhet.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...12. Premium
Vilket alternativ är en korrekt lösning till ekvationen $49^x=7$49x=7?
Träna även på att motivera ditt svar.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...13. Premium
Lisa sätter in $5000$5000 kr på ett sparkonto med en fast årlig ränta på $2,1\%$2,1%. Hur många år dröjer det innan pengarna på kontot har dubblats?
Lös uppgiften grafiskt och avrunda till hela år.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: exponentialekvation exponentialfunktion exponentiell ökningRättar...14. Premium
Sid har varm choklad i en kopp. Efter hur många minuter är temperaturen $63°C$63°C om temperaturen följer modellen $T\left(x\right)=84\cdot0,75^x$T(x)=84·0,75x under de fem första minuterna?
$T(x)$T(x) anger temperaturen i koppen och $x$x motsvarar antalet minuter sedan chokladen hälldes upp i koppen.
Försök först lösa problemet utan räknare.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!Redigera uppgift Stäng Lägg till uppgift Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Namnet måste vara 4-60 tecken långt. Rapportera fel Lektion
{[{lessonData.title}]}
Kategori
{[{reportType}]}
ID
{[{reportId}]}
Beskriv med minst 10 tecken. Byt kurs Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Köp Premium Avbryt Din skolas prenumeration har gått ut!Övningsuppgifter ej tillgängliga!Stäng Din skolas prenumeration har gått ut!Exempel i videon. 
Logga in
viaeller medGör om alla uppgifter All svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Radera Avbryt Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies. -
Iman Ebrahim
Hej!
jag vet inte hur jag rita grafen eller använder räknare. hur ska jag skriva t.ex 8 upphöjt X
måste jag kopiera och klistra siffror från räknare till grafen eller hur ?
mvh
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Om du skall rita ut grafen till $8^x$ skriver du 8^x i en grafritare eller ett grafverktyg i webbläsaren.
Jesper Westin
Man får fel om man svarar x=1 i uppgift 7. Det bör vara en giltig lösning.
Simon Rybrand (Moderator)
Håller med
Vi fixar det!
Johanna Forslind
Hej!
Jag förstår inte riktigt hur du menar på fråga 8, jag är överens om ekvationen, men menar du att man ska rita upp en graf för hand lr använda grafritare? / johanna
Simon Rybrand (Moderator)
Använd en grafritare där eller den räknare som finns längst ner till höger här på sajten!
Komvux Sundsvall Elev
Hej. Jag tycker det är svårt att förenkla uttryck av typen 3^x+8*3^x. Har du några bra tips för att förstå?
Simon Rybrand (Moderator)
Blir det enklare att förstå om jag skriver det så här:
Först kan vi faktorisera (bryta ut $3^x$)
$3^x+8*3^x=3^x(1+8)=9·3^x$
Här kan vi också gå vidare och skriva det som en potens, dvs som
$3^2·3^x=3^{2+x}$
Hanna Henriksson
Hej ! Stämmer svaret till uppgift 8, drygt 2 år??? Får inte ihop det med logiskt överslag, tänker jag fel? 1,5 % av 15000 kr är ju 225 kr, 15000 kr x förändringsfaktorn 1.0115 = 15225 x förändringsfaktorn igen 1,015, ger ju på 2 år totalbeloppet ca 15453 kr…. ??? tacksam för hjälp, mvh Hanna
Simon Rybrand (Moderator)
Det var fel i den uppgiften, det är korrigerat!
Tommy Rypi
Svar på uppgift kan väl inte stämma? När jag lägger in 2 som x så blir det inte 20.000:-. Däremot om du testar med 19 så börjar vi närma oss. Räknaren säger x=19.3223.
Eller är det jag som tänker helt åt pepparn fel?
Tommy Rypi
Uppgift 8 skall det vara.
Simon Rybrand (Moderator)
Det var fel alternativ ifyllt som rätt till det svaret, vi har korrigerat detta!
Patricia Olaya-Contreras
Hej I Uppgift 5, i denna del, korrekt svar är D, enligt förklaring. men när det rättas och jag svarade D, markerades D som fel svar. varför markeras dessutom A som korret svar?
Det står så här i förklaring från er:
Alternativ D är korrekt då vi efter division med tre i båda leden får ekvationen 16=4 x
16=4x vilket just har lösningen x=2. Vi kan alltså tänka att då 4 2 =16 42=16 och 16⋅3=48
16⋅3=48 är det tal som uppfyller likheten 2.
MVH
Patricia
Simon Rybrand (Moderator)
Där var fel alternativ markerat som korrekt, vi korrigerar detta!
Freja
Jag skrev x = 4 i fråga 1 och där får jag fel. Tycker det är konstigt eftersom ni skrivar: ”Alltså har vi lösningen att x = 4”.
Mvh. Freja
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det kan vara lite känsligt om man slår in mellanslag eller något liknande när man skriver in svaret tyvärr på textsvaren. Vi håller på att uppdatera detta så att det inte är lika känsligt för detta.
Simon Öhman
Tack för en jättebra sida, med pedagogiska genomgångar.
Jag fick också samma fel, på fråga ett och tre, oavsett om jag använde mellanslag eller inte. Rätt svar skulle vara ”4”, inte ”x=4”. Men är det inte så man egentligen ska ge ett svar?
(Ett sätt kunde ju vara att skriva ”x=” före textrutan.)
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Vi har uppdaterat uppgiften så att dessa fel inte skall kunna uppstå. Tack för att du kommenterade och påpekade detta.
selma
hej, jag behöver hjälp med en uppgift det är 4 upphöjt till x = 80 och man ska svara i två decimaler. Tacksam för svar. MVH.
Simon Rybrand (Moderator)
$ 4^x=80 $ är en exponentialekvation och du behöver använda dig av logaritmer för att lösa ut x.
$ 4^x=80 $ (logaritmera)
$ lg4^x=lg80 $
Här använder du logaritmlagen $ lgA^x = xlgA $ vilket ger
$ xlg4=lg80 $ (dividera med lg 4)
$ x=\frac{lg80}{lg4} $
För att få ut närmevärdet så slår du detta på din räknare.
Carl-Moses
(10^102 + 10^100) / 10^100
vet att man kan lösa denna med att man gör om den till
10^100 (10^2+1) / 10^100 där man sedan kan stryka bort båda 10^100, men då är min fråga hur vet man att man kan göra såhär? finns det någon potens lag på det här också som jag kanske har glömt? Jag förstår liksom inte hur det går ihop att man gör om 10^102 + 10^100 där det mest logiska för mig är att det blir 10^202 och inte 10^100 (10^2 +1) ?? jag är helt borta :s
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det bästa är nog att skriva om
$10^{102} = 10^{100+2}=10^{100}⋅10^2$
Då används potensregeln $a^m⋅a^n=a^{m+n}$
Du kan då skriva om det hela till:
$ \frac{10^{100}⋅10^2+10^{100}}{10^{100}} = $
$ \frac{10^{100}(10^2+1)}{10^{100}} = 101 $
annab87
Otroligt mkt tack, nu blir det mkt lättare att satsa mot högre betyg!
annab87
Hej, jag har så svårt för sådana här uppgifter, hoppas du kan hjälpa mej och förstå.
Pengar som växer på ett konto skrivs med formeln
K(t)=2500•10^0,015t
Sedan frågar dem hur stor räntan är. Det är från ett kapitel om potenser och logaritmer. Hur börjar jag?
Jag vill koppla det till Ca^x på något sätt?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det går att koppla denna funktion till formeln du nämner genom att vi använder potenslagen
$ a^{bc} = (a^b)^c $ för att skriva om uttrycket.
Vi får då
$ K(t)=2500⋅10^{0,015t} = 2500⋅(10^{0,015})^t $
Sedan gör vi så att vi beräknar $ 10^{0,015} = 1,035 $ och får då formeln
$ K(t)=2500⋅1,035^t $
Här kan vi se att räntan är 3,5 %. Hoppas att denna förklaring hjälper dig vidare!
nattissa
Fantastisk hemsida, valuta för pengarna helt enkel, Tack!
Gabriella
Hej! Tack för en super hjälpsam hemsida. Har en fråga som dök upp i min mattebok. Hur beräknar man potensekvationen $ \frac{5^{3x}}{5^6}=5x $ ? Ingen aning om hur jag ska gå tillväga. Jätte tacksam för svar! Mvh, Gabriella
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Gabriella, ett sätt att lösa en sådan uppgift är att rita ut de bägge leden i ekvationen som varsin graf. Sedan hittar du lösningen där dessa bägge grafer skär varandra.
Endast Premium-användare kan kommentera.