...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Exempel derivatans definition

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Bestämma derivatan utifrån definitionen

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Med hjälp av derivatans definition kan vi bestämma derivatan. Det är ett ganska tidskrävande jobb där det gäller att ha tungan rätt i mun för att inte missa någon teckenväxling eller term längs vägen. Här har vi definitionen igen.

Derivatans definition

$f´(x)= \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h 

Här följer några rader om vad som är bra att repetera och tänka på när man förenklar uttrycken.

Alltid kunna förkorta bort  $h$h

Om du förenklat täljaren i derivatans definition rätt, alltså differensen $f\left(x+h\right)-f\left(x\right)$ƒ (x+h)ƒ (x), kommer alla termer som är kvar efter att du förenklat, alltid innehålla ett $h$h.

Dessa $h$h:n bryter du ut och förkortar med  $h$h :et i nämnaren. Efter det kan du låta $h\to0$h0 utan problem och beräkna derivatan!

Varje gång du ska bestämma derivatan till  andragradsfunktion med definitionen, behöver du använda kvadreringsregeln.

Kvadreringsreglen och derivatans definition

Kvadreringsregeln säger att

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)2=a2+2ab+b2

Vi får då att $f\left(x+h\right)$ƒ (x+h) för alla andragradstermer $f\left(x\right)=ax^2$ƒ (x)=ax2 är lika med

$a\left(x+h\right)^2=a\left(x^2+2xh+h^2\right)=ax^2+2axh+ah^2$a(x+h)2=a(x2+2xh+h2)=ax2+2axh+ah2

Här kommer ett exempel på framtagning av derivatan till en andragradsfunktion med definitionen.

Exempel 1

Bestäm med hjälp av derivatans definition  $f´\left(x\right)$ƒ ´(x) då  $f(x)=x^2+5x$ƒ (x)=x2+5x

Lösning:

Derivatans definition är
$ f`(x)=\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h 

Vi löser uppgiften stegvis genom att först bestämma $f(x+h)$ƒ (x+h) då $f(x)=x^2+5x$ƒ (x)=x2+5x .

$f(x+h)=(x+h)^2+5\left(x+h\right)=x^2+2xh+h^2+5x+5h$ƒ (x+h)=(x+h)2+5(x+h)=x2+2xh+h2+5x+5h

Nu sätter vi in detta i definitionen för derivata, förenklar och beräknar gränsvärdet

$f´(x)=\mathop {\lim }\limits_{h \to 0}$ $\frac{(x^2+2xh+h^2+5x+5h)-\left(x^2+5x\right)}{h}=$(x2+2xh+h2+5x+5h)(x2+5x)h =

$ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} $ $\frac{x^2+2xh+h^2+5x+5h-x^2-5x}{h}=$x2+2xh+h2+5x+5hx25xh =

$ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} $ $\frac{2xh+h^2+5h}{h}=$2xh+h2+5hh =

$ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} $ $\frac{h\left(2x+h+5\right)}{h}=$h(2x+h+5)h =

$ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} $ $2x+h+5$2x+h+5 $=2x+5$=2x+5 då $h\to0$h0

Observera gärna att derivatan är en funktion av typen ”en grad lägre”, än den ursprungliga funktionen som du deriverade. Så kommer det alltid vara vid derivering av polynomfunktioner. Graden sjunker ett steg vid derivering. I detta fall utgick vi från en andragradsfunktion och fick att derivatan var en förstagradsfunktion/linjär funktion.

Vanlig fel vid förenklingen av definitionen

Ett vanligt fel för nybörjaren är att missa prioriteringsregeln för potenser. Du kommer väl i håg att $-3^2\ne(-3)^2$32(3)2 . Var noga med parenteserna när du gör beräkningen för att få ett matematiskt korrekt språk!

Parentesen är ”starkare” än kvadreringen. Den ”håller ihop” negationen/minustecknet med basen. Vi får att

$(-a)^2=\left(-a\right)\left(-a\right)=a^2$(a)2=(a)(a)=a2

Negationen/minustecknet är ”svagare” än kvadreringen. Vi får att

$-a^2=-\left(a\cdot a\right)$a2=(a·a)

Detta implicerar att  $-a^2\ne(-a)^2$a2(a)2 .

Ett annat vanligt fel har också med potensreglerna att göra. Nämligen när basen är en produkt. Exempelvis är $\left(5x\right)^2\ne5x^2$(5x)25x2  utan i stället gäller att $\left(5x\right)^2=5^2\cdot x^2=25x^2$(5x)2=52·x2=25x2 . Det är en följd av denna potensregel.

$\left(a\cdot b\right)^n=a^n\cdot b^n$(a·b)n=an·bn

Ofta är det lättare att göra rätt om man delar upp det i mindre steg. Tex först förenklar differensen  $f\left(x+h\right)-f\left(x\right)$ƒ (x+h)ƒ (x) innan man ställer upp förändringskvoten.

Derivatans definition och funktioner av högre grad

Derivatan till potensfunktioner av graden ett, två, tre samt exponentialfunktioner är relativt lätta att ta fram med definitionens hjälp. Men när vi kommer till funktioner av mycket hög grad eller exponenter som inte är heltal, uppstår en del problem.

Som tur är kommer vi snart att introducera deriveringsregler som tagits fram efter noggranna studier av derivatan och dess definition. Dessa kommer vi använda i stället för definitionen som är ganska omständlig och krånglig. Men det ingår i kursen att känna till derivatans definition och kunna lösa enklare fall av derivatan med den. Nu är det bara att sätta igång och öva!

Exempel i videon

  • Bestäm  $f´\left(4\right)$ƒ ´(4) då  $f\left(x\right)=x^2-3x$ƒ (x)=x23x  med hjälp av derivatans definition.
  • Bestäm  $f´\left(-1\right)$ƒ ´(1) då  $f\left(x\right)=10-x^2$ƒ (x)=10x2  med hjälp av derivatans definition.

Kommentarer

Elin Larsdotter

Hej! Jag har en fråga angående uppgift 10. g(x) = −2x^2+3x
Jag får det till g´(x) = 4x+3, då -2*-2 blir positivt, men svaret säger att g´(x) = -4x+3. Kan ni förklara detta tack. Mvh Elin

    David Admin (Moderator)

    Hej Elin.
    Du har rätt i att $(-2)\cdot(-2)=4$, men jag ser inte när i lösningen du ska du utföra den operationen.

    I lösningen finns redovisat hur uppgiften ska lösas med definitionen för derivata. Om vi istället deriverar med deriveringsreglerna får vi att $g(x)=-2x^2+3x$ har derivatan $g'(x)=2\cdot (-2)x^{2-1}+3=-4x+3$. Detta eftersom att $2\cdot (-2)=-4$

    Hör av dig igen om du inte får till det.

Judith Lysell

Hej!
Fråga 5:
Jag förstår hur ni löst det när jag ser lösningen, men själv gjorde jag så här. Varför kan man inte göra så? Är det fel att multiplicera alla termer med 3 för att få bort bråket?

(4h+h^2/3)/h =
12h+3h^2/h =
12+3h =
12

    Anna Admin (Moderator)

    Det är alltid ok att förlänga bråk/kvoter. Men är det det du har gjort här?

    Du skrev att $\frac{4h+\frac{h^2}{3}}{h}= \frac{12h+3h^2}{h}$ när du förlänger med tre. (Om jag tolkade det du skrev rätt.)

    Men stämmer verkligen det?

    Vi förlänger $\frac{4h+\frac{h^2}{3}}{h}$ med tre, vilket innebär att vi multiplicerar både täljaren och nämnaren med tre. Om vi inte gör samma i täljare och nämnare förändrar vi värdet på kvoten, vilket ändrar värdet på hela uttrycket.

    $\frac{4h+\frac{h^2}{3}}{h}=\frac{4h+\frac{h^{^2}}{3}}{h}\cdot \frac{3}{3}=$$\frac{4h\cdot3 +\frac{h^{2}\cdot3}{3}}{h\cdot3}=$$\frac{12h +h^2}{3h}=$$\frac{h\left(12 +h\right)}{3h}=\frac{12 +h}{3}$

    Nu kan vi beräkna gränsvärdet.
    $\frac{12 +0}{3}=4$ då h går mot noll.

    Jag tror tyvärr det blev något fel för dig när du multiplicerade in trean.
    Lycka till.

Dino Palic

I videon, när man förkortar 5h+h^2/h eller 2h-h^2/h är det bara 1st ”h” i nämnaren, varför kan man stryka 2st h i täljaren när det bara finns 1h i nämnaren. Samma sak görs i båda exempel. Känns fel, annars får ni förklara.

    Anna Admin (Moderator)

    Hej Dino.

    När man förkortar en kvot måste man tänka på att divisionen är en mycket starkare operation är subtraktion (eller addition) i täljaren eller nämnaren. Divisionen påverkar därför ALLA termer i täljaren.

    Alltså. Om du adderar $4+6$ ssom blir $10$, och sedan delar det på två så får vi
    $\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$

    Vi får alltså INTE bara förkorta EN (i detta exempel fyran) av termerna, så här:
    $\frac{4+6}{2}=2+6≠5$
    För då får vi inte korrekt svar!

    Vi ska ju dela hela täljaren med två. Då måste ALLA termer delas med två. Så här
    $\frac{4+6}{2}=\frac{4}{2}+\frac{6}{2}=2+3=5$
    Nu stämmer det.

    På samma sätt är det i exemplen i videon.
    $\frac{5h+h^2}{h}=5+h$

    Det kan vara lättare att se genom att först faktorisera täljaren. Jag bryter ut en tvåa i täljaren.
    $\frac{4+6}{2}=\frac{2(2+3)}{2}=5$
    eller
    $\frac{5h+h^2}{h}=\frac{h(5+h)}{h}=5+h$

    Alltså. Division (och multiplikation, som är en lika stark operation) påverkar ALLTID ALLA termer i ett uttryck. Delar du med något ska du delar alla termer med det. Precis som när vi löser ekvationer!

    Hoppas detta blev en förklaring som gick att förstå! Lycka till med derivatans definition!

David Ahlstrom

Nästan alla svar är fel på denna. Kolla igenom ordentligt. Vi ger rätt svar men blir fel ändå. Därför alla får 1p.

    Anna Admin (Moderator)

    Hej David.

    Ursäkta mitt sena svar! Hade missat denna kommentaren.

    Datorn är väldigt känslig på hur du skriver. Du kan nu se alla alternativ som ger rätt svar. Kan hända är det att du använt ett annat primtecken än vi skrivit in i programmet som ställer till det. Vi har försökt programmera så att datorn ska tolka om alla olika primtecken och ge ok för dem, men kan hända har vi missat något. På PC och Mac använder vi tangenten precis till vänster om Backspace. Men det finns många olika inställningar att göra på tangentbord, så det finns ändå risk för feltolkningar.
    En annan viktig sak är att alltid komma ihåg att skriva x= när man ska ange lösningar på en ekvation. Att bara ge ett värde ger ofta fel!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K1

    Bestäm derivatan  $f’\left(x\right)$ƒ (x) med derivatans definition då  $f’\left(x\right)=x^2+4x$ƒ (x)=x2+4x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/1/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K1

    Bestäm med hjälp av derivatans definition  $f´\left(x\right)$ƒ ´(x) då  $f(x)=2x$ƒ (x)=2x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/1/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K1

    Bestäm med hjälp av derivatans definition  $f´\left(x\right)$ƒ ´(x) då  $f(x)=4x+2$ƒ (x)=4x+2 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/1/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K1

    Bestäm med hjälp av derivatans definition  $f'(6)$ƒ ’(6)  då  $f(x)=x^2$ƒ (x)=x2 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (2/1/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K1

    Bestäm med hjälp av derivatans definition  $f'(1)$ƒ ’(1)  då  $f(x)=5x+4$ƒ (x)=5x+4 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K1

    Bestäm med hjälp av derivatans definition  $f'(-3)$ƒ ’(3)  då  $f(x)=x^2-2x+1$ƒ (x)=x22x+1 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (2/1/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K1

    Bestäm med hjälp av derivatans definition  $f'(16)$ƒ ’(16)  då  $f\left(x\right)=26$ƒ (x)=26 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (1/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K1

    Bestäm med hjälp av derivatans definition $f'(a)$ƒ ’(a) då $f(x)=3x^2-2x$ƒ (x)=3x22x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K1

    Bestäm med hjälp av derivatans definition  $f'(2)$ƒ ’(2) då  $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{x^2-3}{3}$x233   

    Träna på att redovisa din lösning för full poäng.

    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/3/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K1

    Bestäm med hjälp av derivatans definition det värde på $x$x där derivatan till $f\left(x\right)=x^2-3x+4$ƒ (x)=x23x+4  är lika med derivatan till $g\left(x\right)=-2x^2+3x$g(x)=2x2+3x 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Nedan ges derivatans värde hos en funktion $f$ƒ  i en given punkt $\left(a,\text{ }b\right)$(a, b)

    $ \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{\left(\left(a+h\right)^3+7\right)-\left(a^3+7\right)}{h}$((a+h)3+7)(a3+7)h 

    Vilken är funktionen?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 12. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/2)
    ECA
    B11
    P1
    PL
    M
    R
    K1

    Bestäm derivatan till $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{A}{x}$Ax   med hjälp av derivatans definition.

    (NP Ma3b vt12)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (2)

  • 13. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R1
    K

    Nedan ges derivatans värde hos en funktion $f$ƒ  i en given punkt $\left(a,\text{ }b\right)$(a, b) 

    $ \lim\limits_{h \to 0}$$\frac{\left((2+h)^3+7\left(2+h\right)\right)-22}{h}$((2+h)3+7(2+h))22h   

    Ange en funktion som stämmer in.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 14. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/3)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K1

    Bestäm med hjälp av derivatans definition för vilka värden på $k$k som $f´(x)=g´(x)$ƒ ´(x)=g´(x) då  $f(x)=ax^2$ƒ (x)=ax2 och  $g(x)=ax^2+k$g(x)=ax2+k.

    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.