Exempel derivatans definition - Derivata (Ma 3) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 BC

Exempel derivatans definition

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

Här tar vi ett antal exempel på att derivera med hjälp av derivatans definition. Det finns även övningsexempel där du själv kan testa dina kunskaper.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
8 votes, average: 4,50 out of 58 votes, average: 4,50 out of 58 votes, average: 4,50 out of 58 votes, average: 4,50 out of 58 votes, average: 4,50 out of 5
8
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

14
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Bestämma derivatans utifrån definitionen

Med hjälp av derivatans definition kan vi bestämma derivatan. Det är ett ganska tidskrävande jobb där det gäller att ha tungan rätt i mun för att inte missa någon teckenväxling eller term längs vägen. Här har vi definitionen igen.

Derivatans definition

$f´(x)= \lim\limits_{h \to 0}$ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h  

Här följer några rader om vad som är bra att repetera och tänka på när man förenklar uttrycken.

Alltid kunna förkorta bort  $h$h 

Om du förenklat täljaren i derivatans definition rätt, alltså differensen $f\left(x+h\right)-f\left(x\right)$ƒ (x+h)ƒ (x), kommer alla termer som är kvar efter att du förkortat, alltid innehålla ett $h$h.

Det $h$h:et kan du då bryta ut och förkortar bort med  $h$h :et i nämnaren. Efter det kan du låta $h\to0$h0 utan problem och beräkna derivatan!

Varje gång du ska bestämma derivatan till  andragradsfunktion med definitionen, behöver du använda kvadreringsregeln.

Kvadreringsreglen och derivatans definition

 Kvadreringsregeln säger att

  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$(a+b)2=a2+2ab+b2 

Vi får då att $f\left(x+h\right)$ƒ (x+h) för alla andragradstermer $f\left(x\right)=ax^2$ƒ (x)=ax2 är lika med

 $a\left(x+h\right)^2=a\left(x^2+2xh+h^2\right)=ax^2+2axh+ah^2$a(x+h)2=a(x2+2xh+h2)=ax2+2axh+ah2 

Här kommer ett exempel på framtagning av derivatan till en andragradsfunktion med definitionen.

Exempel 1

Bestäm med hjälp av derivatans definition  $f´\left(x\right)$ƒ ´(x) då  $f(x)=x^2+5x$ƒ (x)=x2+5x 

Lösning:

Derivatans definition är 
$ f`(x)=\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} $ $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ƒ (x+h)ƒ (x)h  

Vi löser uppgiften stegvis genom att först bestämma $f(x+h)$ƒ (x+h) då $f(x)=x^2+5x$ƒ (x)=x2+5x .

 $f(x+h)=(x+h)^2+5\left(x+h\right)=x^2+2xh+h^2+5x+5h$ƒ (x+h)=(x+h)2+5(x+h)=x2+2xh+h2+5x+5h 

Nu sätter vi in detta i definitionen för derivata, förenklar och beräknar gränsvärdet

$f´(x)=\mathop {\lim }\limits_{h \to 0}$ $\frac{(x^2+2xh+h^2+5x+5h)-\left(x^2+5x\right)}{h}=$(x2+2xh+h2+5x+5h)(x2+5x)h = 

$ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} $ $\frac{x^2+2xh+h^2+5x+5h-x^2-5x}{h}=$x2+2xh+h2+5x+5hx25xh = 

$ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} $ $\frac{2xh+h^2+5h}{h}=$2xh+h2+5hh =

$ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} $ $\frac{h\left(2x+h+5\right)}{h}=$h(2x+h+5)h = 

 $ \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} $ $2x+h+5$2x+h+5 $=2x+5$=2x+5 då $h\to0$h0 

Observera gärna att derivatan är en funktion av typen ”en grad lägre”, än den ursprungliga funktionen som du deriverade. Så kommer det alltid vara vid derivering av polynomfunktioner. Graden sjunker ett steg vid derivering. I detta fall utgick vi från en andragradsfunktion och fick att derivatan var en förstagradsfunktion/linjär funktion.

Vanlig fel vid förenklingen av definitionen

Ett vanligt fel för nybörjaren är att missa prioriteringsregeln för potenser. Du kommer väl i håg att $-3^2\ne(-3)^2$32(3)2 . Var noga med parenteserna när du gör beräkningen för att få ett matematiskt korrekt språk!

Parentesen är ”starkare” än kvadreringen. Den ”håller ihop” negationen/minustecknet med basen. Vi får att

 $(-a)^2=\left(-a\right)\left(-a\right)=a^2$(a)2=(a)(a)=a2   

 Negationen/minustecknet är ”svagare” än kvadreringen. Vi får att

 $-a^2=-\left(a\cdot a\right)$a2=(a·a)

Detta implicerar att  $-a^2\ne(-a)^2$a2(a)2 .

Ett annat vanligt fel har också med potensreglerna att göra. Nämligen när basen är en produkt. Exempelvis är $\left(5x\right)^2\ne5x^2$(5x)25x2  utan i stället gäller att $\left(5x\right)^2=5^2\cdot x^2=25x^2$(5x)2=52·x2=25x2 . Det är en följd av denna potensregel.

 $\left(a\cdot b\right)^n=a^n\cdot b^n$(a·b)n=an·bn 

Ofta är det lättare att göra rätt om man delar upp det i mindre steg. Tex först förenklar differensen  $f\left(x+h\right)-f\left(x\right)$ƒ (x+h)ƒ (x) innan man ställer upp förändringskvoten. 

Derivatans definition och funktioner av högre grad

Derivatan till potensfunktioner av graden ett, två, tre samt exponentialfunktioner är relativt lätta att ta fram med definitionens hjälp. Men när vi kommer till funktioner av mycket hög grad eller exponenter som inte är heltal, uppstår en del problem.

Som tur är kommer vi snart att introducera deriveringsregler som tagits fram efter noggranna studier av derivatan och dess definition. Dessa kommer vi använda i stället för definitionen som är ganska omständlig och krånglig. Men det ingår i kursen att känna till derivatans definition och kunna lösa enklare fall av derivatan med den. Nu är det bara att sätta igång och öva!

Exempel i videon

  • Bestäm  $f´\left(4\right)$ƒ ´(4) då  $f\left(x\right)=x^2-3x$ƒ (x)=x23x  med hjälp av derivatans definition.
  • Bestäm  $f´\left(-1\right)$ƒ ´(1) då  $f\left(x\right)=10-x^2$ƒ (x)=10x2  med hjälp av derivatans definition.

Kommentarer

  1. Hej! Jag har en fråga angående uppgift 10. g(x) = −2x^2+3x
    Jag får det till g´(x) = 4x+3, då -2*-2 blir positivt, men svaret säger att g´(x) = -4x+3. Kan ni förklara detta tack. Mvh Elin

    Elin Larsdotter
    1. Hej Elin.
      Du har rätt i att $(-2)\cdot(-2)=4$, men jag ser inte när i lösningen du ska du utföra den operationen.

      I lösningen finns redovisat hur uppgiften ska lösas med definitionen för derivata. Om vi istället deriverar med deriveringsreglerna får vi att $g(x)=-2x^2+3x$ har derivatan $g'(x)=2\cdot (-2)x^{2-1}+3=-4x+3$. Detta eftersom att $2\cdot (-2)=-4$

      Hör av dig igen om du inte får till det.

      David Admin
  2. Hej!
    Fråga 5:
    Jag förstår hur ni löst det när jag ser lösningen, men själv gjorde jag så här. Varför kan man inte göra så? Är det fel att multiplicera alla termer med 3 för att få bort bråket?

    (4h+h^2/3)/h =
    12h+3h^2/h =
    12+3h =
    12

    Judith Lysell
    1. Det är alltid ok att förlänga bråk/kvoter. Men är det det du har gjort här?

      Du skrev att $\frac{4h+\frac{h^2}{3}}{h}= \frac{12h+3h^2}{h}$ när du förlänger med tre. (Om jag tolkade det du skrev rätt.)

      Men stämmer verkligen det?

      Vi förlänger $\frac{4h+\frac{h^2}{3}}{h}$ med tre, vilket innebär att vi multiplicerar både täljaren och nämnaren med tre. Om vi inte gör samma i täljare och nämnare förändrar vi värdet på kvoten, vilket ändrar värdet på hela uttrycket.

      $\frac{4h+\frac{h^2}{3}}{h}=\frac{4h+\frac{h^{^2}}{3}}{h}\cdot \frac{3}{3}=$$\frac{4h\cdot3 +\frac{h^{2}\cdot3}{3}}{h\cdot3}=$$\frac{12h +h^2}{3h}=$$\frac{h\left(12 +h\right)}{3h}=\frac{12 +h}{3}$

      Nu kan vi beräkna gränsvärdet.
      $\frac{12 +0}{3}=4$ då h går mot noll.

      Jag tror tyvärr det blev något fel för dig när du multiplicerade in trean.
      Lycka till.

      Anna Admin
  3. I videon, när man förkortar 5h+h^2/h eller 2h-h^2/h är det bara 1st ”h” i nämnaren, varför kan man stryka 2st h i täljaren när det bara finns 1h i nämnaren. Samma sak görs i båda exempel. Känns fel, annars får ni förklara.

    Dino Palic
    1. Hej Dino.

      När man förkortar en kvot måste man tänka på att divisionen är en mycket starkare operation är subtraktion (eller addition) i täljaren eller nämnaren. Divisionen påverkar därför ALLA termer i täljaren.

      Alltså. Om du adderar $4+6$ ssom blir $10$, och sedan delar det på två så får vi
      $\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$

      Vi får alltså INTE bara förkorta EN (i detta exempel fyran) av termerna, så här:
      $\frac{4+6}{2}=2+6≠5$
      För då får vi inte korrekt svar!

      Vi ska ju dela hela täljaren med två. Då måste ALLA termer delas med två. Så här
      $\frac{4+6}{2}=\frac{4}{2}+\frac{6}{2}=2+3=5$
      Nu stämmer det.

      På samma sätt är det i exemplen i videon.
      $\frac{5h+h^2}{h}=5+h$

      Det kan vara lättare att se genom att först faktorisera täljaren. Jag bryter ut en tvåa i täljaren.
      $\frac{4+6}{2}=\frac{2(2+3)}{2}=5$
      eller
      $\frac{5h+h^2}{h}=\frac{h(5+h)}{h}=5+h$

      Alltså. Division (och multiplikation, som är en lika stark operation) påverkar ALLTID ALLA termer i ett uttryck. Delar du med något ska du delar alla termer med det. Precis som när vi löser ekvationer!

      Hoppas detta blev en förklaring som gick att förstå! Lycka till med derivatans definition!

      Anna Admin
  4. Nästan alla svar är fel på denna. Kolla igenom ordentligt. Vi ger rätt svar men blir fel ändå. Därför alla får 1p.

    David Ahlstrom
    1. Hej David.

      Ursäkta mitt sena svar! Hade missat denna kommentaren.

      Datorn är väldigt känslig på hur du skriver. Du kan nu se alla alternativ som ger rätt svar. Kan hända är det att du använt ett annat primtecken än vi skrivit in i programmet som ställer till det. Vi har försökt programmera så att datorn ska tolka om alla olika primtecken och ge ok för dem, men kan hända har vi missat något. På PC och Mac använder vi tangenten precis till vänster om Backspace. Men det finns många olika inställningar att göra på tangentbord, så det finns ändå risk för feltolkningar.
      En annan viktig sak är att alltid komma ihåg att skriva x= när man ska ange lösningar på en ekvation. Att bara ge ett värde ger ofta fel!

      Anna Admin

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: