...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 4
 /   Komplexa tal och Polynom

Eulers formel

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Eulers formel är ett kompakt sätt att skriva komplexa tal. För att använda Eulers formel så behöver talet först vara skrivet på  polär form.

Eulers formel

 $z=\cos v+i\text{ }\sin v=e^{iv}$z=cosv+i sinv=eiv 

Metod för att skriva om med Eulers formel

För att skriva om ett tal  $z=a+bi$z=a+bi med hjälp av formeln så gör vi på följande vis:

  1. Bestäm först absolutbeloppet $\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$|z|=a2+b2 
  2. Bestäm argumentet $arg\left(z\right)=arctan\left(\frac{b}{a}\right)$arg(z)=arctan(ba ), skriv argumentet med vinkelmåttet radianer.
  3. Gå över till polär form.
  4. Använd formeln för att skriva det på formen $e^{iv}$eiv. Om absolutbeloppet inte är lika med $1$1 så skrivs det enligt $\left|z\right|\cdot e^{iv}$|z|·eiv.

Ofta kan det vara användbart att använda sig av exakta trigonometriska värden för att skriva om komplexa tal med hjälp av formeln.

Exempel

Exempel 1

Skriv om talet  $z=3+4i$z=3+4i med hjälp av Eulers formel.

Lösning

I lösningen följer vi metoden som beskrivs ovan.

 $\left|z\right|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$|z|=32+42=25=5 

 $arg\left(z\right)=arctan\left(\frac{4}{3}\right)\approx0,93\text{ }rad$arg(z)=arctan(43 )0,93 rad

Vi skriver talet på polär form

 $z=5\left(cos\left(0,93\right)+isin\left(0,93\right)\right)$z=5(cos(0,93)+isin(0,93)) 

Nu skriver vi talet med hjälp av Eulers formel

 $z=5e^{i\cdot0,93}$z=5ei·0,93  

Exempel i videon

  • Skriv om $ z=\sqrt{3}+i $ med Eulers formel.
  • Skriv om $z=e^{i\pi}$ på formen $z=a+bi$.
  • Skriv om talet markerat i talplanet (se bild i video) med hjälp av Eulers formel.

Kommentarer

Anna Eddler Redaktör (Moderator)

Hej Joakim,

när du ska läsa av inversen för de trigonometriska funktionerna så ”går vi baklänges” i tabellen.
 
Tangensnversen och arctan är två olika benämningar på samma sak
$\tan^{-1} v=\arctan v$

Har vi då att

$\tan v = \frac{1}{\sqrt{3}}$ kan vi bestämma värdet på $\arctan$ genom att i tabellen titta vilken vinkel $v$ som ger värdet $ \frac{1}{\sqrt{3}}$ för tan.

$\tan v = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\arctan (\tan v) = \arctan (\frac{1}{\sqrt{3}})$
$v = \arctan (\frac{1}{\sqrt{3}})$
$v = \frac{\pi}{6}$

Så vet du vet du vinken kan du bestämma värdet genom att läsa av tabellen och vet du värdet kan du på liknande vis bestämma vinkeln genom att läsa av vinkeln med hjälp av tabellen.

Gick det att hänga med på?

BotenAnnie

hur vet man att arctan för pi/6 är just 1/roten ur 3 ? 60 grader i spec triangeln om man tar motstående / närstående för tan blir det roten ur 3 / 1 – är det inte den jag ska titta efter ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Liknande värden som $arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})$ är svåra att bara att komma på (det går förstås att härleda dem) utan det vanligaste är att ett formelblad används. Där hittar man exakta trigonometriska värden.

Jafar Fathullah

Jag undrar var för går ni inte genom beviset på Eulers formel. Jag vill jättegärna förstår den.


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (3)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Skriv om talet $z=4(\cos(\pi)+i\sin(\pi))$z=4(cos(π)+isin(π)) med hjälp av Eulers formel.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Skriv om talet $z=1+i$z=1+i med Eulers formel.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (1/0/0)
    E C A
    B
    P 1
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Skriv $z=2e^{i\frac{\pi}{2}}$z=2eiπ2  på formen $a+bi$a+bi .

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se