...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Eulers formel

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Eulers formel är ett kompakt sätt att skriva komplexa tal. För att använda Eulers formel så behöver talet först vara skrivet på  polär form.

Eulers formel

 $z=cos(v)+isin(v)=e^{iv}$z=cos(v)+isin(v)=eiv 

Metod för att skriva om med Eulers formel

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

För att skriva om ett tal  $z=a+bi$z=a+bi med hjälp av formeln så gör vi på följande vis:

  1. Bestäm först absolutbeloppet $\left|z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$|z|=a2+b2 
  2. Bestäm argumentet $arg\left(z\right)=arctan\left(\frac{b}{a}\right)$arg(z)=arctan(ba ), skriv argumentet med vinkelmåttet radianer.
  3. Gå över till polär form.
  4. Använd formeln för att skriva det på formen $e^{iv}$eiv. Om absolutbeloppet inte är lika med $1$1 så skrivs det enligt $\left|z\right|\cdot e^{iv}$|z|·eiv.

Ofta kan det vara användbart att använda sig av exakta trigonometriska värden för att skriva om komplexa tal med hjälp av formeln.

Exempel

Exempel 1

Skriv om talet  $z=3+4i$z=3+4i med hjälp av Eulers formel.

Lösning

I lösningen följer vi metoden som beskrivs ovan.

 $\left|z\right|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$|z|=32+42=25=5 

 $arg\left(z\right)=arctan\left(\frac{4}{3}\right)\approx0,93\text{ }rad$arg(z)=arctan(43 )0,93 rad

Vi skriver talet på polär form

 $z=5\left(cos\left(0,93\right)+isin\left(0,93\right)\right)$z=5(cos(0,93)+isin(0,93)) 

Nu skriver vi talet med hjälp av Eulers formel

 $z=5e^{i\cdot0,93}$z=5ei·0,93  

Exempel i videon

  • Skriv om $ z=\sqrt{3}+i $ med Eulers formel.
  • Skriv om $z=e^{i\pi}$ på formen $z=a+bi$.
  • Skriv om talet markerat i talplanet (se bild i video) med hjälp av Eulers formel.

Kommentarer

BotenAnnie

hur vet man att arctan för pi/6 är just 1/roten ur 3 ? 60 grader i spec triangeln om man tar motstående / närstående för tan blir det roten ur 3 / 1 – är det inte den jag ska titta efter ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Liknande värden som $arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})$ är svåra att bara att komma på (det går förstås att härleda dem) utan det vanligaste är att ett formelblad används. Där hittar man exakta trigonometriska värden.

Jafar Fathullah

Jag undrar var för går ni inte genom beviset på Eulers formel. Jag vill jättegärna förstår den.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (3)

  • 1. Premium

    Rapportera fel

    Skriv om talet $z=4(cos(\pi)+isin(\pi))$ med Eulers formel.

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel

    Skriv om talet $z=1+i$ med Eulers formel.

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel

    Skriv $z=2e^{i\frac{\pi}{2}}$ på formen $a+bi$.

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.