Enhetscirkeln (Matematik 3, Matematikvideo)

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 C

Enhetscirkeln

Trigonometri

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

För att förstå och beskriva trigonometriska samband så används enhetscirkeln. Du kan se enhetscirkeln som ett matematiskt ritbord där vi har en cirkel med radien 1.

Enhetscirkeln

De första sambanden som du behöver förstå är att på enhetscirkeln gäller följande:

$sinv=y$sinv=y

$cosv=x$cosv=x

$tanv=\frac{sinv}{cosv}$tanv=sinvcosv  , där  $cosv\ne0$cosv0

Dessa samband härleds från de grundläggande trigonometriska sambanden för sin, cos och tan som är

$ sin v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenusa}} $

$ cos v = \frac{\text{närliggande katet}}{\text{hypotenusa}} $

$ tan v = \frac{\text{motstående katet}}{\text{närliggande katet}} $

Om vi utgår från dessa samband och bilden här ovan kan vi för den blå triangeln beskriva den röda punktens koordinater $\left(x,y\right)$(x,y) på följande vis.

$sinv=\frac{y}{1}=y$sinv=y1 =y och $cosv=\frac{x}{1}=x$cosv=x1 =x. Det viktiga att få ut och komma ihåg av det resonemanget är alltså att $sinv=y$sinv=y och $cosv=x$cosv=x på enhetscirkeln. Detta samband kommer att återanvändas många gånger när andra samband skall förstås och härledas.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
21 votes, average: 4,14 out of 521 votes, average: 4,14 out of 521 votes, average: 4,14 out of 521 votes, average: 4,14 out of 521 votes, average: 4,14 out of 5
21
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Testa enhetscirkeln själv

Här kan du testa att dra runt en punkt på enhetscirkeln. Du kan välja om vinkeln skall vara grader eller radianer och visa de vanligaste vinklarna.

Visa viktiga vinklar

Grader / Radianer

Enhetscirkeln

Symmetri på enhetscirkeln och formler

På enhetscirkeln finns en symmetri där samma y-värde eller x-värde förekommer två gånger på enhetscirkeln. Detta gör att vi får följande samband.

$sin\left(180^{\circ}-v\right)=sinv$sin(180v)=sinv

$cos\left(180^{\circ}-v\right)=-cosv$cos(180v)=cosv

Vi kan rita ut en enhetscirkel för att förklara dessa symmetrier.

Symmetri enhetscirkeln

I bilden ovan ser vi att y-värdet för vinklarna $180^{\circ}-v$180v och $v$v är detsamma på enhetscirkeln. Därför gäller att $sin\left(180^{\circ}-v\right)=sinv$sin(180v)=sinv.

Dessutom gäller att x-värdet för $v$v är $x$x  och x-värdet för $180^{\circ}-v$180v är $-x$x. Så då gäller att  $cos\left(180^{\circ}-v\right)=-cosv$cos(180v)=cosv.

Exempel

Exempel 1

Använd enhetscirkeln och ange alla vinklar i intervallet $0^{\circ}\le v\le360^{\circ}$0v360 som $cosv=0$cosv=0 .

Lösning:

Exempel 1 enhetscirkeln

Vi ritar ut enhetscirkeln och markerar de vinklar för vilka $x=0$x=0. Vi ser då att dessa är $v=90^{\circ}$v=90 och $v=270^{\circ}$v=270.

Exempel 2

Använd enhetscirkeln och ange alla vinklar i intervallet $0^{\circ}\le v\le180^{\circ}$0v180  som är lösningar till ekvationen  $sinv=sin120^{\circ}$sinv=sin120 .

Lösning:

Exempel 2 enhetscirkeln

Vi använder symmetrin i enhetscirkeln och ritar ut vinkeln $120^{\circ}$120 och drar ett horisontellt streck där denna vinkel befinner sig på enhetscirkeln.

Då ser vi att y-värdet är detsamma där $v=60^{\circ}$v=60.

Så lösningarna på ekvationen är $v=120^{\circ}$v=120 och $v=60^{\circ}$v=60.

Kommentarer

  1. Hej!
    Varför står det y = sin c i testet ovan? En blooper?

    ntitest
    1. Hej, ja det verkar ha blivit fel bokstav där, vi ordnar detta på momangen

      Simon Rybrand
  2. Hur räknar man ut vilken punkt på enhetscirkeln i första kvadranten som motsvaras av tanv=3,5?????

    emmaknutsdotter
  3. Jag löste det, tack ändå! 🙂 Njut av solen idag!

    emmaknutsdotter
  4. hej
    jag kunde ej lösa ex 3
    fattar ej den riktig

    taha
    1. Hej, här handlar det mycket om att förstå att punkten ”på andra sidan” mot T har x koordinaten cosx och y koordinaten sinx, sedan har punkten T x-koordinaten -cosx och samma y – koordinat.

      Simon Rybrand
  5. varför har sin v = -sin 56 ingen lösning?

    abdi
    1. Hej, du kan ju skriva denna ekvation som
      sin v = – 0,829
      vilket är en lösbar ekvation, eller har jag missförstått din fråga på något vis här?

      Simon Rybrand
  6. Hej förstår inte riktigt hur cos v kan ha värdet 0<cos v<-1, i intervallet -90<v<90 (grader). Det är efter cirka 06:02 min i videon.

    lillpuddas
  7. Kom på det:)

    lillpuddas
    1. Vad bra! 🙂

      Simon Rybrand
  8. Hej! Har en fråga som liknar lillpuddas: Hej förstår inte riktigt hur cos v kan ha värdet
    0<cos v<-1, i intervallet 90<v<270 (grader). Det är efter cirka 06:02 min i videon.

    AdamH
    1. Hej
      Det första som du behöver känna till där är att x – värdet är lika med cos v när du flyttar en punkt runt på enhetscirkeln (se inledande förklaring i videon). När du då befinner dig i intervallet 90<v<270 så kommer x – värdet ligga mellan 0 och -1. Fråga gärna vidare om något är otydligt kring detta.

      Simon Rybrand
  9. Tack så mycket för snabb respons 😀 ! Hittade äntligen felet. 0 < cosv < -1 går inte. Jag tror att ni råkat byta plats på -1 och 0 🙂

    AdamH
  10. Felet ligger vid tidpunkten 06:42 i videon

    AdamH
    1. Hej
      Ja det är förstås fel där i videon, tack för att du påpekade detta. Det skall vi korrigera snarast.

      Simon Rybrand
  11. Hur löser man denna? Tycker att det borde finnas en video på hur man löser denna då denna uppgift förekommer så ofta i matematik 4 5000 boken (blå bok)…:

    Visa sambanden med hjälp av en enhetscirkel:

    a) sin v = cos (v + 270)

    b) cos v = – sin (v + 270)

    Anika Hossain
    1. Hej
      Vi kan absolut kika på fördjupa våra genomgångar om enhetscirkeln med liknande uppgifter som denna. Har du ritat upp en enhetscirkel och markerat vinklarna?
      Ett tips kan vara att rita ut vinklarna $ 45° $ och $ 45°+270° = 315° $ och sedan markera sin och cos värdena för
      $ sin(45°) $ (y värdet för koordinaten på enhetscirkeln)
      $ cos(315°) $ (x värdet för koordinaten på enhetscirkeln)
      Kan du se sambandet här och att dessa värden är lika med varandra?

      Simon Rybrand
  12. Jag begriper verkligen inte:
    Använd enhetscirkeln och beräkna cos 0° + cos90° + cos 180° + cos 360° (svara utan enhet)

    Hur blir cos90 = 0 och hur kan cos0 = 1? Vart utgår jag ifrån?

    Fredrik Rundqvist
    1. Hej
      Du får utgå från punktens x-koordinat på enhetscirkeln. Om du exempelvis har $ cos90° $ så befinner du dig i punkten (0,1) på enhetscirkeln.
      Då gäller att $ cos90° $ är samma sak som x-värdet för denna punkt, dvs $ cos90° = 0 $.
      Hjälper detta dig vidare?

      Simon Rybrand
  13. hur visar man sambandet (sinv)^2 + (cosv)^2=1 i intervallet 0<v<180?

    jenny eliasson
  14. det värkar vara något fel på fråga fyra i testet, jag har svarat samma som facit säger men får ändå fel.

    sandra merelius
    1. Tack för att du sade till om det, vi har korrigerat detta.

      Simon Rybrand
  15. Som flera rapporterat tidigare står det 6:30 in i filmen att
    0 <= cos v <= -1 för vissa vinklar v.
    Dessutom 5:50 minuter in i filmen står det att
    0 <= sin v <= -1 för andra vinklar .
    Inget värde kan ju vara större än 0 och samtidigt mindre än -1, eller hur?

    Dessa måste naturligtvis ändras till -1 <= cos v <= 0 respektive -1 <= sin v <= 0

    Hans Nässla
    1. Hej

      Detta får vi fixa snarast, tack för att du sade till!

      Simon Rybrand
  16. det går ej att få rätt svar på fråga 6.

    Ludvig Johansson
  17. I uppgift 3:

    Koordinaterna står antingen i fel ordning eller så är punkten på fel ställe. ”cos v” borde ha ett negativt värde i andra kvadranten på enhetscirkeln… väl

    Rasmus Mononen
    1. Koordinaterna var skrivna fel där, vi har korrigerat den uppgiften.

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: