Ekvationer med komplexa rötter - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 4

Ekvationer med komplexa rötter

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här genomgången lär du dig hur man löser ekvationer med komplexa rötter. Dels tittar vi på några enklare varianter men också de av typen $z^n = w$.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
9 votes, average: 4,44 out of 59 votes, average: 4,44 out of 59 votes, average: 4,44 out of 59 votes, average: 4,44 out of 59 votes, average: 4,44 out of 5
9
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

3
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
MEDELPOÄNG
ALLA
2

Text

Exempel i videon

  • Lös ekvationen $ x^2=-16 $.
  • Lös ekvationen $ x^2+4x+13=0 $.
  • Lös ekvationen $ z^4=16i $.
  • Lös ekvationen $ z^3=1 $.

En av grundförutsättningarna för att utforma nya typer av tal (de imaginära talen) är att man vill kunna lösa ekvationer där vi behöver kunna ta roten ur ett negativt tal. Med de imaginära talen och definitionen av $i^2 = -1$ hittar vi en sådan möjlighet. Så om vi vill lösa en ekvation där vi behöver ta roten ur ett negativt tal har vi den möjligheten.

Enkla ekvationer med komplexa rötter

Vissa ekvationer med komplexs rötter (lösningar) liknar de vanligaste andragradsekvationerna och man kan använda sig av roten ur, nollproduktmetoden eller pq-formeln för att lösa dessa. Tänk bara på att använda dig av att $i^2 = -1$.

Ett exempel på detta kan vara följande ekvation.

Lös ekvationen $ x^2+8x+25 = 0 $.

Lösning:

$ x^2+8x+25 = 0 ⇔ $ (pq-formeln)

$ x= -4 ±\sqrt{16-25} ⇔ $

$ x= -4 ±\sqrt{-9} = -4±3i  $

Svar:

$ \begin{cases} x_1=-4+3i \\ x_2=-4-3i  \end{cases}$

Ekvationer av typen $z^n = w$

Det finns även ekvationer där både högerled och vänsterled består av komplexa tal. Metoden för att lösa dessa ekvationer går vi igenom i videon och strategin som där presenteras är följande:

  1. Skriv om VL och HL på polär form,
  2. Sätt leden lika och lös ut argumentet (med periodicitet) och absolutbeloppet.
  3. Använd argumentets periodicitet för att hitta alla lösningar till ekvationen.

Kommentarer

  1. ekvationen z^5=-32 är given.
    Skriv om ekvationen i polär form:

    Mitt förslag: r^5(cos5v+isin5v)=32(cos0+isin0)
    Facit: r^5(cos5v+isin5v)=32(cos(180+360*n)+isin(180+360*n))

    Vart får man 180 grader ifrån? Jag får det till 0.

    soulpat
    1. Tror jag förstår nu!

      soulpat
      1. Vad bra, skönt att läsa, fråga gärna i forumet om du har fler liknande frågor!

        Simon Rybrand
  2. Mitt tal: z^2+2z+2= 0 Blir med hjälp av pq formerln.
    -1 +/- roten ur -1.

    Hur bryter jag ur i ur -1?

    i = \sqrt{-1}

    Karl Tellander
    1. Här har vi ju
      $z^2+2{z}+2=0 ⇔$
      $\mathrm{z}=-1 \pm \sqrt{1-2}$
      $\mathrm{z}=-1 \pm \sqrt{-1}$
      Här gäller att $ \sqrt{-1} = i $ så du kan svara
      $ z=-1 \pm i $
      Du behöver inte ”bryta ut” -1 där utan det räcker med att använda dig av imaginära tal för att kunna svara.
      Du kan även ange bägge rötterna som
      $\begin{cases} z_1=-1+i \\ z_2=-1-i \end{cases}$

      Simon Rybrand
  3. Skriv z = 1−i √3 på polär form, bestäm sedan z^11 på rektangulär form (a+i b ).

    Här undrar jag om argumentet ska vara -pi/3 eller 2pi/3? Jag har fått lära mig att jag ska addera ett pi om argumentet blir negativt. Sedan när jag ska bestämma z^11 så får jag inte riktigt till det

    Jacob Nilsson
    1. Du har absolutbeloppet
      $\sqrt{1^2+\sqrt(3)^2}=\sqrt{4}=2$
      Gällande argumentet så kika på den här videon om komplexa tal på polär form, där förklarar vi hur man tänker kring detta. Men kortfattat så finns talet i fjärde kvadranten och då får vi
      $v = 2\pi – arctan(\sqrt{3})$
      Hoppas att det här hjälper dig vidare!

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: