Ekvationer med komplexa rötter

Exempel 1

Lös ekvationen $ x^2+8x+25 = 0 $.

Lösning

$ x^2+8x+25 = 0 ⇔ $ (pq-formeln)

$ x= -4 ±\sqrt{16-25} ⇔ $

$ x= -4 ±\sqrt{-9} = -4±3i  $

Vi får alltså att ekvationenes lösningar är

$ \begin{cases} x_1=-4+3i \\ x_2=-4-3i  \end{cases}$

Exempel 2

Lös ekvationen  $z^4=i$z⁴=i 

Lösning

Eftersom att ekvationen är en fjärdegradsfunktion finns fyra möjliga lösningar. Vi börjar med att skriva om $VL$VL och $HL$HL till polär form för att kunna sätta dem lika med varandra och lösa ekvationen.

 $VL=z^4=r^4(\cos(4\cdot v)+i\text{ }\sin(4\cdot v))$VL=z⁴=r⁴(cos(4·v)+i sin(4·v))  enligt de Moivres formel

 $HL=i$HL=i 

Då det komplexa talet $i=0+i$i=0+i  i rektangulär form, är absolutbeloppet för $HL$HL 

 $|0+i|=\sqrt{0^2+1^2}=1$|0+i|=√0²+1²=1 

Argumentet är$\frac{\pi}{2}$π2  eftersom talet  $i$i  ligger på den imaginära koordinataxeln i det komplexa talplanet, alltså rakt upp i koordinatsystemet. 

Det leder till att  $i$i skrivet i i polärform är  $1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{2}\right)$1(cosπ2 +i sinπ2 ).

För att likheten $VL=HL$VL=HL ska gälla, måste $r^4(\cos4v+i\text{ }\sin4v)=1\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{2}\right)$r⁴(cos4v+i sin4v)=1(cosπ2 +i sinπ2 ).

Det leder till att

$\begin{cases} r^4=1\\ 4v=\frac{\pi }{2}+n \cdot 2\pi  \end{cases}$

Vi får att

 $r^4=1$r⁴=1  

 $r=1$r=1 

och $v$v får vi fram genom att

 $4v=\frac{\pi}{2}+2\pi n$4v=π2 +2πn

$v=\frac{\pi}{8}+n\cdot\frac{\pi}{2}$v=π8 +n·π2  

De fyra olika lösningarna får vi nu av att sätta   $n=0,\text{ }1,\text{ }2,\text{ }3$n=0, 1, 2, 3 och förenkla ekvationen.

För  $n=0$n=0 gäller att

  $v=\frac{\pi}{8}+0\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}$v=π8 +0·π2 =π8  som ger att    $z₁=1(\cos\frac{\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{\pi}{8})$z₁=1(cosπ8 +i sinπ8 ) 

För  $n=1$n=1 gäller att

 $v=\frac{\pi}{8}+1\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{8}$v=π8 +1·π2 =5π8   som ger att   $z₂=1(\cos\frac{5\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{5\pi}{8})$z₂=1(cos5π8 +i sin5π8 ) 

För  $n=2$n=2 gäller att

 $v=\frac{\pi}{8}+2\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{9\pi}{8}$v=π8 +2·π2 =9π8   som ger att    $z₃=1(\cos\frac{9\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{9\pi}{8})$z₃=‍1(cos9π8 +i sin9π8 ) 

För  $n=3$n=3  gäller att

 $v=\frac{\pi}{8}+3\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{13\pi}{8}$v=π8 +3·π2 =13π8   som ger att   $z_4=1(\cos\frac{13\pi}{8}+i\text{ }\sin\frac{13\pi}{8})$z₄=1(cos13π8 +i sin13π8 ) 

Vi får att de fyra lösningarna är

$\begin{cases} z_1=\cos \frac{\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{\pi }{8}\\ z_2=\cos \frac{5\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{5\pi }{8}\\z_3=\cos \frac{9\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{9\pi }{8}\\z_4=\cos \frac{13\pi }{8}+i\text{ }\sin \frac{13\pi }{8} \end{cases}$