...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Differentialekvationer av andra ordningen

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Detta är en differentialekvation av andra ordningen

Differentialekvationer av andra ordningen är ekvationer som innehåller andraderivatan $y”$. Sådana typer av ekvationer som står på formen $y” + ay’ + by = 0$ har lösningen $y = e^{rx}$. Här är det viktiga att hitta $r$ som ges av den så kallade karakteristiska ekvationen $r^2 + ar + b = 0$ och som löses med hjälp av PQ formeln.

Differentialekvationer av andra ordningen

Differentialekvationer på formen $y” + ay’ + by = 0$

som har den karakteristiska ekvationen $r^2 + ar + b = 0$

och lösningen $y = e^{rx}$.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Att lösa differentialekvation av andra ordningen

När man löser ut $r$ (den karakteristiska ekvationen) så finns det tre olika fall av lösningar. Dessa är följande:

  1. Den då ekvationen har en lösning $r$. Då ges den allmänna lösningen av $y = e^{rx}(Cx + D)$
  2. Den då ekvationen har två lösningar $r_1$ och $r_2$. Då ges den allmänna lösningen av $y = Ce^{r_1 x} + De^{r_2 x}$
  3. Den då ekvationen har två icke reella lösningar (komplexa på formen $a + bi$). Då ges den allmänna lösningen av $y = e^{ax}(Ccos(bx) + Dsin(bx)$.

I den här genomgången tar vi framförallt exempel på de två första fallen av lösningar.

Exempel i videon

  • Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen $ 2y´´-8y´+y=0 $.
  • Bestäm den lösning till differentialekvationen $ y´´+4y´-5y=0 $ som uppfyller villkoren $y(0)=0$ och $y´(0)=6$.

Kommentarer

Goran Klencovljevic

Jag undrar om differentialekvationer av andra ordningen och separabla differentialekvationer verkligen ingår i kursen matematik 5? Det finns nämligen inga uppgifter i boken matematik 5000.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det beror väldigt mycket på om din lärare vill att det skall ingå eller inte. Det är ju inga nationalla prov till kursen och det kan därmed variera en hel del.

isakforsman

fråga #2 borde vara väl vara formulerad y´´ + 3y´ + 2y = 0 om den ska vara homogen?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja det stämmer, frågeformuleringen är fel där och det är korrigerat.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel

    Lös differentialekvationen $y” + 4y’ + 3y = 0$ med villkoren $y(0) = 0$ och $y'(0) = 2$.

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel

    Hitta den allmänna lösningen till $y” + 3y’ + 2y = 0$.

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel

    Bestäm den allmänna lösningen till $2 \frac{dy^2}{dt^2} + 3 \frac{dy}{dt} – 2y = 0$.

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel

    Bestäm värdet på konstanten $k$ om $y = e^{-3x}$ är en lösning till differentialekvationen $y” + 2y’ +ky = 0$. Hitta sedan den allmänna lösningen.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar