...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Derivata - Vad är det?

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Vad ska man ha Derivatan till?

Genom att teckna matematiska modeller som beskriver verkliga skeende i världen kan man beräkna och analysera den. Vår samtid är nästan som besatt av att kunna mäta och analysera hur saker förändras. Ofta är syftet att genom vissa justeringar kunna maximera eller minimera olika skeenden. Intresset att försöka kunna förutse en utveckling eller kommande förändring alternativt studera förändringar för att kunna dra slutsatser kring hur olika saker påverkar varandra intresserar många. Av olika anledningar.

Derivatan och tagenten

Inom matematiken är beräkningar av derivatan en metod att studera och beräkna funktioners förändringar. Derivatan är alltså en funktion, som anger förändringshastigheten hos en annan känd funktion. Eller med andra ord, en funktions derivata beskriver hur mycket och i vilken riktning funktionens värde förändras i en specifik punkt som tillhör funktionen.

Ett vanligt exempel för att beskriva derivatan är följande. 

Exempel 1

Vi bestämmer att funktionen $S\left(t\right)$S(t)beskriver hur lång sträcka en bil färdats efter $t$t sekunder från att den startade. Då anger derivatan i de olika punkterna som tillhör funktionen $S\left(t\right)$S(t), vilken hastighet bilen har vid just en specifik tidpunkt under resan. 

Derivatans funktionsvärde i sin tur, kan även undersökas med hjälp av det vi kommer att kalla för andraderivatan. Och denna kommer då motsvarar förändringshastigheten av hastigheten, det vi kallar för accelereration, när vi gasar bilen, och retardation, när vi bromsar bilen. Mer om detta i kommande lektioner.

I ett första skede fokuserar vi på förstaderivatan. Och den är alltså ett mått på förändring av funktionen med avseende på riktning och hastighet.

Exempel 2

Vi bestämmer att funktionen $N\left(x\right)$N(x) beskriver hur många invånare som bor i Kylarköping  $x$x år efter år $2005$2005 . Då anger derivatan i de olika punkterna som tillhör funktionen $N\left(x\right)$N(x), förändringshastigheten just ett år, alltså med hur många personer per år antalet invånare ökar just $x$x år efter $2005$2005.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Olika betydelser av Derivatan

Vi kommer i kommande lektioner mer ingående beskriva hur man kan använda, beräkna och definiera derivatan. Men redan nu vill vi nämna några olika betydelser av derivatan som är bra att ha med sig för att underlätta förståelsen. Nämligen att derivatan är detsamma som värdet på tangenternas riktningskoefficienter som återfinns i funktionens olika punkter.  Den andra beskrivningen har vi redan nämnt, nämligen som en funktion som beskriver en annan funktions förändring. Vi sammanfattar här dessa betydelsen av derivatan.

Derivatans värde kan beskrivas som…

  • kurvans lutning i en punkt, vilket är det samma som tangentens lutning i punkten.
  • förändringshastigheten i en punkt på kurvan.

Vi kommer utveckla dessa och även lägga till några ytterligare betydelser som underlättar arbetet med derivatan i kommande lektioner.

Derivatan som hjälp att analysera funktioner

Vi kommer i stor utsträckning använda derivatan för att fördjupa vår förståelse för funktioner och hur de förändras i olika punkter. Vi kommer med hjälp av derivatan enkelt kunna avgöra för vilka värden funktion antar sina största och minsta värden, vilket vi nämnde tidigare är önskvärt i samhället, för tillämpningen av matematiken.

Derivata är nära kopplat till verkliga händelser och situationer och har många användningsområden inom både Ekonomi, Natur-och Samhällsvetenskap.

Den vanligaste beteckningen för Derivatan

Det finns flera olika sätt att med matematiska symboler beteckna derivatan. Det vanligaste sättet är att markera funktionen man deriverar med en liten apostrof.

I exemplet vi presenterade tidigare, betecknade vi funktionen av sträckan $S$S med avseende på tiden $t$t för $S\left(t\right)$S(t). Derivatan till denna funktion skulle vi då kunna beteckna som $S’\left(t\right)$S(t). Vi utläser detta som ”s prim av t”. 

 $f’(x)$ƒ ’(x)  , uttalas ”f prim av x”.

Det vi då menar är förändringshastigheten av funktionen  $f\left(x\right)$ƒ (x) i en viss punkt.

Andra beteckningar för Derivatan

Här kommer några andra skrivsätt för derivatan till funktionen  $y=f\left(x\right)$y=ƒ (x) som också är ganska vanliga.

 $y’$y         $y’\left(x\right)$y(x)           $\frac{dy}{dx}$dydx           $\frac{df}{dx}$dƒ dx           $Df\left(x\right)$Dƒ (x)          $Dy$Dy 

Alla beteckningar här beskriver alltså samma sak, nämligen derivatan, vilket motsvarar förändringshastigheten i en viss tidpunkt. 

  • y´ uttalas ”y prim” och motsvarar derivatan av funktionen  $y$y 
  • $ y ’(x) $ uttalas ”y prim av x” och motsvarar derivatan av funktionen  $y$y  med avseende på variabeln  $x$x
  • $ \frac{dy}{dx} $ uttalas ”d y d x” och motsvarar derivatan av funktionen $y$y avseende på variabeln  $x$x
  • $ \frac{df}{dx} $ uttalas ”d f d x” och motsvarar derivatan av funktionen $f$ƒ  avseende på variabeln  $x$x
  • $ Df(x) $ uttalas ”derivatan av  $f\left(x\right)$ƒ (x) och motsvarar derivatan av funktionen  $f\left(x\right)$ƒ (x) avseende på variabeln  $x$x
  • $ Dy $ uttalas ”derivatan av  $y$y och motsvarar derivatan av funktionen  $y$y 

Alla dessa sett betecknar alltså är samma sak, derivatan.

Exempel i videon

  • Diskussion kring förändringen av en bils hastighet.
  • Diskussion av förändringshastigheten i en punkt när en boll skjuts upp.

Kommentarer

Rasmus Mononen

Uppgift 7:

Om företaget redovisar vinst för verksamhetsåret 2013 med 600 000 SEK så har också själva vinsten skett under det verksamhetsåret. Inte sant? Det måste alltså vara under 2013 som ökningen sker. I uppgiftens facit står att vinsten skedde 2012. Möjligen menas att vinsten redovisas 2013 och att det gäller verksamhetsåret 2012 – men det måste nog i så fall beskrivas tydligare i uppgiften.

// Rasmus

V(2013)=600000
kronor – Ökningen var 500000
kronor.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi kollar över den uppgiften, tack för din kommentar!

Tax

Hej! Om jag förstår derivatan rätt så kan man formulera det på följande vis: Derivatan är förändringshastigheten i en viss punkt. Det är även om vi skulle leka med uttrycket en slags medelhastighet ifall grafen skulle fortsätta i samma mönster som derivatans lutning? Ex. om vi har derivatan av X=1. Derivatan är 2 m/s i den punkten. Överallt längs tangentens räta linje är derivatan då om man kan uttrycka det så 2m/s? Alltså för varje X-led så ändras Y med 2 över hela tangentens linje.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det stämmer att derivatan är förändringshastigheten i en punkt. Det övriga resonemanget tycker jag är svårt att förstå vad du menar och att hålla med.

Michel Tosu

Hej,
övningsfråga 3 har ett felaktigt svar. Svarsalternativet stämmer inte överens med förklaringen.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för att du sade till om detta, vi har korrigerat det!

Julia Ojeda Ottosson

Har försökt lösa ovanstående uppgift men kommer inte fram till någon bra lösning. :/

    Simon Rybrand (Moderator)

    Är det funktionen $f\left(x\right)=\frac{2}{x^2}+2x=2x^{-2}+2x$? Den ser ut enligt följande:


    Den har derivatan
    $f´(x)=-4x^{-3}+2=\frac{-4}{x^3}+2$
    Löser ekvationen
    $f´(x)=0 ⇔$
    $\frac{-4}{x^3}+2=0 ⇔$
    $\frac{-4}{x^3}=-2 ⇔$
    $-4=-2x^3 ⇔$
    ${\mathrm{x}}^{3}=2 ⇔$
    $\mathrm{x}=\sqrt[3]{2}$

Julia Ojeda Ottosson

Hej! Min fråga är:
För funktionen f gäller att f(x)=2/x^2+2x
Lös ekvationen f´=0

Förstår ingenting, finns det någon genomgång angående detta?
Mvh Julia

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du kan kika på lite olika genomgångar som behandlar detta:
    Derivera potensfunktioner
    Derivata och nollställen
    Hoppas att detta hjälper dig framåt!

Antigona Selaci

Någon som kan förklara hur man deriverar : x*(multiplicerat) roten ur x ?

och : 1/x^2-1/3 ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej

    Kan visa den första där man kan skriva om funktionen med hjälp av potensregler så att det blir enklare att derivera.

    $y=x⋅\sqrt{x}=x⋅x^{1/2}=x^{1+1/2}=x^{3/2}$
    $y´=\frac32⋅x^{1/2}=\frac{3\sqrt{x}}{2}$

Eric

Kanonbra! Fick en lättare syn på derivata nu

johannawallstrom

Hej!
Vill bara tacka för dessa genomgångar!! Jag klarade att på egen hand tenta av ma3b, och har nu kommit in på Lantmätarprogrammet! Tuuusen tack!!!!!!!!!!!!!! /Johanna-som hatade matte innan

    Simon Rybrand (Moderator)

    Stort grattis till att du kom in på din utbildning!
    Kul att du har haft hjälp av oss!

daniel

inte illa . inte börjat gymnasiet än men förstod ändå innebörden . bra förklarat !

nti_ma3

Svaret på fråga 3 borde väl vara h′(x)≤0. Bilen skulle ju kunna ha kört så sakta att den står still efter tex. 0,98 sekunder.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, helt rätt att det kan vara så. Har ändrat i uppgiften där så att den inte skall misstolkas, tack för din kommentar.

Peter

Tack för en bra förklaring av derivata, tror jag förstår bättre nu vad detta egentligen betyder, nu skall jag ta tag i deriveringsreglerna också… 😉

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Peter och tack för uppskattningen. Om du väl förstår grunderna i derivata och vad begreppet innebär så kommer det att bli enklare att komma igång med deriveringsreglerna, om du har konto hos oss så hittar du genomgång på derivatans definition här och första genomgången på deriveringsregler här.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av alternativen nedan beskriver derivatan?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande alternativ är INTE en beteckning för derivatan? 

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av alternativen nedan är INTE en beskrivning av derivatan?

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av alternativen nedan är INTE en korrekt tolkning av $f’\left(x\right)$ƒ (x) ?

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande alternativ kan man beräkna med derivatan? 

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    När du gungar för flyttar du dig fram och tillbaka. När du gungar framåt har du en riktning och hastighet framåt. När du gungar bakåt har du en riktning och hastighet bakåt. 

    Men just i det ögonblick du byter riktning, så förflyttas du varken framåt eller bakåt och du har dessutom i detta ögonblick hastigheten noll.

    Vad är derivatan i denna punkt?

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    När flygplanet startar stiger det högre och högre under $5$5 minuter. Vid en höjd på $10\text{ }000$10 000 meter slutar planet att stiga och flyger sen en tid på samma höljd $h(t)$h(t) där $t$t motsvarar tiden från att planet startat. 

    Med vilken likhet kan vi beskriva planets förändringshastighet när det nått höjden $10\text{ }000$10 000 meter?

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    En funktion  $N(t)$N(t) beskriver hur många invånare det bor i en specifik stad, $t$t år efter $2000$2000 .

    Vad beskriver likheten  $N´(5)=2000$N´(5)=2000 ?

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    En funktion $h(t)$h(t) beskriver hastigheten i m/s  $t$t sekunder efter att en bil börjat bromsa.

    Vad är ett rimligt värde på derivatan $h´(x)$h´(x) då $t=1$t=1, om bilens hastighet var $100$100 m/s när den börjar bromsa?

    Öva även på att motivera ditt svar.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar