...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Geometrisk talföljd

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Vad är en talföljd?

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

En talföljd är en följd av tal, ändligt eller oändligt många. Ofta upprepar talen sig enligt ett mönster som är olika för olika talföljder. Varje tal, som man också kallar för ett element, har en bestämd plats i talföljden. För att kunna urskilja på vilken plats talet står ger man varje tal ett index, en liten siffra som är nedsänkt efter  $a$a :et. Det första talet i talföljden betecknas alltså  $a_1$a1 och det andra $a_2$a2 , tredje $a_3$a3 osv. Man har valt att använda bokstaven $n$n som index som en allmän beteckning för ett elementets placering i talföljden. Man talar om det  $n$n :te elementen eller talet och menar då det ta som står på plats $n$n, vilket kan motsvara vilken plats som helst i talföljden.

Det finns flera olika typer av talföljder varav den geometriska talföljden är en. I denna kursen är det just denna talföljd vi lär oss. Två andra ganska kända talföljder är den Aritmetiska, där differensen mellan två på varandra följande tal är konstant. Den andra mest välkända är kanske Fibonacciföljden, där värdet på ett element motsvarar summan av de två föregående elementen.

Den geometriska talföljden

För den geometriska talföljden gäller att kvoten $k$k, mellan ett element och det föregående elementen är konstant för hela talföljden. Detta kan du använda både för att kontrollera om en talföljd är geometrisk eller om du ska bestämma kvoten eller något ytterligare element i talföljden.

Den geometriska talföljden har antagligen blivit så känd eftersom att den har många användningsområden. Det kanske mest kända användningsområdet är det som inom ekonomin kallas för ”ränta på ränta”.

För att beräkna vad man kallar för ränta på ränta använder man matematiskt en geometrisk talföljd. I de genomgångar vi har på geometriska talföljder har vi flera exempel på hur man använder den geometriska talföljden för att räkna ut just sådana ekonomiska förlopp.

Formler för geometriska talföljder

I en geometrisk talföljden får vi hela tiden nästa tal genom att multiplicera det nuvarande talet med det som kallas för kvoten k. Så om vi tex har talföljden $3,\,6,\,18,\,54, …$ så är den så kallade kvoten $5$5 , för att nästa tal ges genom att multiplicera föregående tal med talet $5$5.

Formel för att bestämma kvoten $k$

 $k=\frac{a_{n+1}}{a_n}$k=an+1an       där  $a_n$an är talet precis framför talet  $a_{n+1}$an+1 i talföljden

Formeln för det n:te talet i talföljden

$ a_n = a_1 \cdot k^{n-1} $

  • $ a_n $ är det n:te talet.
  • $ a_1 $ är det första talet i talföljden
  • $k$ är kvoten

Om du inte har det först talet kan du bestämma det med hjälp av kvoten och ett annat tal. bara du vet deras placeringar.

$ a_n = a_m \cdot k^{n-m} $

  • $ a_n $ är det n:te talet.
  • $ a_m $ är det är det m:te talet.
  • $k$ är kvoten

Exempel i videon

  • Exempel på aritmetisk taljföljd, geometrisk talföljd och Fibonaccis talföljd.
  • Ange en formel för det n:te talet i talföljden $ 1, \,3, \,9, \,27, \,81, \,243, \,… $

Kommentarer

Christoffer Gustavsson

Hej .
Behöver hjälp med en uppgift i Matte 3b.

Vilket är det åttonde elementet i en geometrisk talföljd om a3 = 36 och a5 = 324?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Här behöver du först ta reda på kvoten, du kan kalla den för $k$. Vet vet att
    $ a_4=36·k
    $ a_5=36·k^2=324 $
    Dvs vi har ekvationen
    $ 36·k^2=324⇔ $
    $ k^2=9⇔ $
    $ k=9 $ (positiva lösningen räcker här)
    Kommer du vidare utifrån detta?

Christoffer Gustavsson

Hej!

Hur ska ja lösa denna uppgift:
”bestäm de fem första elementen i en geografisk talföljd som beskrivs av formeln: An=3/4*An-1, A1=2”
Vad gör jag för fel när jag ska beskriva det tredje elementet? A3=3/4*3^2, A3=6,75.
Svaret ska vara 9/8….

    Simon Rybrand (Moderator)

    $a_1=2$
    $a_2=\frac34 · 2= \frac{6}{4}= \frac{3}{2}$
    $a_3=\frac34 · \frac{3}{2}= \frac{9}{8}$

Sven Moubis

Hej
Hur räknar rman ut summan efter den 12:e insättningen om,
Lisa sparar 1000 kr per månad med årsräntan 2,0%. Hur mycket pengar finns på kontot efter den 12:e insättningen?

:

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej!
    Kika på hur man beräknar geometriska talföljders summor.

carolina svensson

Hur går man till väga med denna uppgift?
I en geometrisk talföljd är tredje elementet 120 och åttonde elementer -15/4.
a) bestäm talföljdens kvot.
b) bestäm talföljdens första element.

Facit är:
a) k=-1/2 b) a1= 480

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej! Se svaret på kommentaren här ovanför, exakt samma uppgift!

therese

Hej!
I en geometrisk talföljd är tredje element 120 och åttonde elementet -15/4.
Bestäm talföljdens kvot och talföljdens första element
Hur räknar jag ut det?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, du kan skriva upp det som
    $a_1,a_2,120,a_4,a_5,a_6,a_7,-\frac{15}{4}$
    För att komma från det tredje elementet till det åttonde så multiplicerar du $120$ med kvoten $k$ fem gånger. Dvs du kan ställa upp ekvationen
    $ 120·k^5=-\frac{15}{4} $
    I denna potensekvation löser du ut $k$
    Hoppas att detta hjälper dig vidare!

fredrik karlsson

Hej!
”Beräkna summan av de åtta första elementen i en geometrisk talföljd där
a₄=108 och a₈=8748, k>0

Hade gärna behövt lite hjälp med denna!

    fredrik karlsson

    Löste den!

Sara Hagberg

Hej! Jag får en grym hjälp av era videos, tack så mycket för dem. Jag har fastnat på ett tal i boken som jag inte kan förstå mig på, som gå så här: Vilket element i den geometriska följden 9/4, 3/4, 1/4,… har värdet 1/108? Jag har kommit fram till kvoten 1/3, sedan tar det helt stopp.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Om du har kvoten $ \frac13 $ så kan du använda dig av formeln för det n:te talet:
    $ a_n = a_1 \cdot k^{n-1} $
    där vi har
    $ a_n=\frac{1}{108} $
    $ a_1=\frac94 $
    $ k=\frac13 $
    Du får då ekvationen
    $ \frac{1}{108} = \frac94 ⋅ (\frac13)^x $
    Denna ekvation kan du lösa och få fram x = n-1
    Säg till om du behöver mer hjälp med detta.

      Sara Hagberg

      Åh vad bra, nu tror jag att jag förstår. Blir alltså hela n-1=x när jag räknar sådana tal? Jag behöver alltså inte räkna med -1 i efterhand? Jag tror att det är det som har krånglat till det i huvudet på mig.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Ja när du får fram n-1 så vet du att nästa tal n är det som du söker.

Ailin Gottfridsson

En geometrisk talföljd gäller rekursionsformeln an=(-3)* an-1, a1=-2. En sluten formel för den följd som bildas av elementen a2,a4,a6,…
Bokens svar är an=6*9n-1
Är det inte an=(-2)*(-3)n-1?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Talföljden ser ut enligt
    -2, 6, -18, 54, -162, 486, …
    och om vi endast tar
    $a_2,a_4,a_6,…=6,54,486,..$
    Här ges talet genom att vi multiplicerar föregående tal med 9.
    Dvs
    $ a_n = 6⋅9^{n-1} $
    I denna talföljd ges de första talen av:
    $a_1=6⋅9^{1-1}=6⋅9^0=6⋅1=6$
    $a_2=6⋅9^1=54$
    $a_3=6⋅9^2=486$
    $…$

      Ailin Gottfridsson

      Tack så mycket!

Ailin Gottfridsson

Hej! Behöver lite hjälp.
Boken 3b 1008, hur räknar ut det?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Kan du skriva ner den uppgiften, vi har inte tillgång till alla böcker.

      Ailin Gottfridsson

      Antal vetekorn på varje ruta i legenden om schackspelet utgör en geometrisk talföljd.
      a) Ange följdens första element.
      b) Vilken är kvoten k?
      c) Bestäm en sluten formel för följdens n-te element.
      d) Bestäm antal vetekorn på den sista rutan.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Om jag minns rätt så skall det vara ett vetekorn på den första rutan och sedan dubblas antalet för varje ny ruta?
        Då är det första elementet 1 och det andra 2, det tredje 4, alltså
        1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, …
        Kvoten blir då 2 och det n:te talet
        $ a_n = 1⋅2^{n-1} $.
        Det finns 64 rutor (8×8) så på den 64:e rutan får ganska många vetekorn trängas 😉
        $ a_{64} = 1⋅2^{63} = 9223372036854775808 $

          Ailin Gottfridsson

          Tack för din hjälp!

Kristoffer Danbrant

Lyckas lösa en uppgift inom geometrisk talföljd genom att rita graf via grafräknaren men förstår inte hur jag logiskt ska räkna mig till svaret.

”I en geometrisk talföljd är a1=1 och k=1.05. För vilka n blir an>2?”
Svaret blir >a15 så alla n:te tal efter a16.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Du kan ställa upp ekvationen nedan som du löser med logaritmer.
    $1⋅1,05^x = 2 ⇔ $
    $1,05^x=2 ⇔$
    $lg1,05^x=lg2⇔$
    $xlg1,05=lg2⇔$
    $x=\frac{lg2}{lg1,05}≈ 14,2 $

    Viktigt här är att du får talet n-1 och inte n (kika på formeln för det n:te talet i texten ovan). Dvs vi har det 15:e talet.

Simon Rångeby

Hej! Behöver lite hjälp.
”Vilket är det sjätte elementet i en geometrisk talföljd om a5=24 och a8=3?”

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Du får ställa upp en ekvation och använda dig av att du hela tiden får nästa tal i taljföljden genom att multiplicera med kvoten $k$.

    $ a_6=24⋅k $
    $ a_7=24⋅k^2 $
    $ a_8=24⋅k^3 $

    Eftersom $a_8=3$ så kan du nu lösa ekvationen $24⋅k^3=3$

      Mårten Hultkrantz

      Skulle uppskatta om nån kunde fortsätta den här uträkningen.

        Simon Rybrand (Moderator)

        Ekvationen löser du enligt
        $ 24⋅k^3=3 ⇔ $
        $ k^3=\frac{3}{24} ⇔ $
        $ k^3=\frac{1}{8} ⇔ $
        $ k=\sqrt[3]{\frac{1}{8}} $

Viking

Angående den första frågan:
”Vilken typ av talföljd är följande talföljd: 3, 12, 23, 34”

Enligt förklaringen är det en aritmetisk talföljd då nästa tal ges genom att addera föregående tal med 11.

Men borde inte 3 + 11 = 14 eller har jag missförstått uträckningen?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Nej, du har inte missförstått uträkningen alls, det har slunkit in ett fel i uppgiftskonstruktionen, vi har korrigerat detta.

      nti_ma3

      Borde inte rätt svar vara 1458 på fråga 3?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Jepp, det skall det vara. Uppgiften är korrigerad.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken typ av talföljd är följande talföljd?

     $3,\text{ }14,\text{ }25,\text{ }36,\text{ }…$3, 14, 25, 36, … 

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken typ av talföljd är följande talföljd?

     $5,\text{ }10,\text{ }20,\text{ }40,\text{ }…$5, 10, 20, 40, … 

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken typ av talföljd är följande talföljd?

     $2,\text{ }4,\text{ }16,\text{ }32,\text{ }…$2, 4, 16, 32, … 

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är kvoten  $k$k  till följande geometriska talföljd?

      $2,\text{ }6,\text{ }18,\text{ }54,\text{ }…$2, 6, 18, 54, … 

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket är nästa tal i den geometriska talföljden?

     $1,\text{ }2,\text{ }4,\text{ }8,\text{ …}$1, 2, 4, 8, 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket är det sjunde talet i en geometrisk talföljd där det första talet är $2$2 och kvoten är $3$3?

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken av följande formler är en rekursiv formel för en geometrisk talföljd med kvoten $3$?

    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    Bestäm det $12$12:e talet i den geometriska talföljden $2,\text{ }6,\text{ }18,\text{ }…$2, 6, 18, … .

    Rättar...
  • 9. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    En geometrisk talföljd har första talet $3$, samt kvoten $4$. Jonas har hittat ett tal i följden som har värdet $12\,288$. Vilken plats har detta tal i talföljden?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 10. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B
    P
    PL2
    M
    R
    K

    Klara-Stinas hund har blivit sjuk och behöver medicin. Varje dag får hunden $10$10 mg. Halten medicin bryts ner i kroppen, men efter ett dygn återstår $30\%$30% av föregående dags dos. 

    Hur många gram medicin har hunden i kroppen när det fått den femte tabletten, om den fått en ny tablett varje morgon?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 11. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/1)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    En geometrisk talföljd har första talet $4$4 , samt kvoten $2$2 .

    Vilken plats  $n$n har talet $8\text{ }192$8 192 i talföljden?

    Ange svaret på formen  $n=$n=

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.