Geometrisk talföljd – Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 3 B

Geometrisk talföljd

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här videon går vi igenom grunderna för en geometrisk talföljd. Vi tittar på några olika typer av talföljder och jämför dessa med den geometriska talföljden. Dessutom tittar vi på formeln för det n:te talet.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 500+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 3500+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 KR
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
26 votes, average: 4,27 out of 526 votes, average: 4,27 out of 526 votes, average: 4,27 out of 526 votes, average: 4,27 out of 526 votes, average: 4,27 out of 5
26
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

11
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
MEDELPOÄNG
ALLA
3

Text

Exempel i videon

  • Exempel på aritmetisk taljföljd, geometrisk talföljd och Fibonaccis talföljd.
  • Ange en formel för det n:te talet i talföljden $ 1, \,3, \,9, \,27, \,81, \,243, \,… $

Vad är en talföljd?

En talföljd är en följd av tal, ändligt eller oändligt många. Ofta upprepar talen sig enligt ett mönster som är olika för olika talföljder. Varje tal, som man också kallar för ett element, har en bestämd plats i talföljden. För att kunna urskilja på vilken plats talet står ger man varje tal ett index, en liten siffra som är nedsänkt efter  $a$a :et. Det första talet i talföljden betecknas alltså  $a_1$a1 och det andra $a_2$a2 , tredje $a_3$a3 osv. Man har valt att använda bokstaven $n$n som index som en allmän beteckning för ett elementets placering i talföljden. Man talar om det  $n$n :te elementen eller talet och menar då det ta som står på plats $n$n, vilket kan motsvara vilken plats som helst i talföljden.

Det finns flera olika typer av talföljder varav den geometriska talföljden är en. I denna kursen är det just denna talföljd vi lär oss. Två andra ganska kända talföljder är den Aritmetiska, där differensen mellan två på varandra följande tal är konstant. Den andra mest välkända är kanske Fibonacciföljden, där värdet på ett element motsvarar summan av de två föregående elementen.

Den geometriska talföljden

För den geometriska talföljden gäller att kvoten $k$k, mellan ett element och det föregående elementen är konstant för hela talföljden. Detta kan du använda både för att kontrollera om en talföljd är geometrisk eller om du ska bestämma kvoten eller något ytterligare element i talföljden.

Den geometriska talföljden har antagligen blivit så känd eftersom att den har många användningsområden. Det kanske mest kända användningsområdet är det som inom ekonomin kallas för ”ränta på ränta”.

För att beräkna vad man kallar för ränta på ränta använder man matematiskt en geometrisk talföljd. I de genomgångar vi har på geometriska talföljder har vi flera exempel på hur man använder den geometriska talföljden för att räkna ut just sådana ekonomiska förlopp.

Formler för geometriska talföljder

I en geometrisk talföljden får vi hela tiden nästa tal genom att multiplicera det nuvarande talet med det som kallas för kvoten k. Så om vi tex har talföljden $3,\,6,\,18,\,54, …$ så är den så kallade kvoten $5$5 , för att nästa tal ges genom att multiplicera föregående tal med talet $5$5.

Formel för att bestämma kvoten $k$

 $k=\frac{a_{n+1}}{a_n}$k=an+1an       där  $a_n$an är talet precis framför talet  $a_{n+1}$an+1 i talföljden

Formeln för det n:te talet i talföljden

$ a_n = a_1 \cdot k^{n-1} $

  • $ a_n $ är det n:te talet.
  • $ a_1 $ är det första talet i talföljden
  • $k$ är kvoten

Om du inte har det först talet kan du bestämma det med hjälp av kvoten och ett annat tal. bara du vet deras placeringar.

$ a_n = a_m \cdot k^{n-m} $

  • $ a_n $ är det n:te talet.
  • $ a_m $ är det är det m:te talet.
  • $k$ är kvoten

Kommentarer

  1. Angående den första frågan:
    ”Vilken typ av talföljd är följande talföljd: 3, 12, 23, 34”

    Enligt förklaringen är det en aritmetisk talföljd då nästa tal ges genom att addera föregående tal med 11.

    Men borde inte 3 + 11 = 14 eller har jag missförstått uträckningen?

    Viking
    1. Nej, du har inte missförstått uträkningen alls, det har slunkit in ett fel i uppgiftskonstruktionen, vi har korrigerat detta.

      Simon Rybrand
      1. Borde inte rätt svar vara 1458 på fråga 3?

        nti_ma3
        1. Jepp, det skall det vara. Uppgiften är korrigerad.

          Simon Rybrand
  2. Hej! Behöver lite hjälp.
    ”Vilket är det sjätte elementet i en geometrisk talföljd om a5=24 och a8=3?”

    Simon Rångeby
    1. Hej,
      Du får ställa upp en ekvation och använda dig av att du hela tiden får nästa tal i taljföljden genom att multiplicera med kvoten $k$.

      $ a_6=24⋅k $
      $ a_7=24⋅k^2 $
      $ a_8=24⋅k^3 $

      Eftersom $a_8=3$ så kan du nu lösa ekvationen $24⋅k^3=3$

      Simon Rybrand
      1. Skulle uppskatta om nån kunde fortsätta den här uträkningen.

        Mårten Hultkrantz
        1. Ekvationen löser du enligt
          $ 24⋅k^3=3 ⇔ $
          $ k^3=\frac{3}{24} ⇔ $
          $ k^3=\frac{1}{8} ⇔ $
          $ k=\sqrt[3]{\frac{1}{8}} $

          Simon Rybrand
  3. Lyckas lösa en uppgift inom geometrisk talföljd genom att rita graf via grafräknaren men förstår inte hur jag logiskt ska räkna mig till svaret.

    ”I en geometrisk talföljd är a1=1 och k=1.05. För vilka n blir an>2?”
    Svaret blir >a15 så alla n:te tal efter a16.

    Kristoffer Danbrant
    1. Hej
      Du kan ställa upp ekvationen nedan som du löser med logaritmer.
      $1⋅1,05^x = 2 ⇔ $
      $1,05^x=2 ⇔$
      $lg1,05^x=lg2⇔$
      $xlg1,05=lg2⇔$
      $x=\frac{lg2}{lg1,05}≈ 14,2 $

      Viktigt här är att du får talet n-1 och inte n (kika på formeln för det n:te talet i texten ovan). Dvs vi har det 15:e talet.

      Simon Rybrand
  4. Hej! Behöver lite hjälp.
    Boken 3b 1008, hur räknar ut det?

    Ailin Gottfridsson
    1. Hej, Kan du skriva ner den uppgiften, vi har inte tillgång till alla böcker.

      Simon Rybrand
      1. Antal vetekorn på varje ruta i legenden om schackspelet utgör en geometrisk talföljd.
        a) Ange följdens första element.
        b) Vilken är kvoten k?
        c) Bestäm en sluten formel för följdens n-te element.
        d) Bestäm antal vetekorn på den sista rutan.

        Ailin Gottfridsson
        1. Om jag minns rätt så skall det vara ett vetekorn på den första rutan och sedan dubblas antalet för varje ny ruta?
          Då är det första elementet 1 och det andra 2, det tredje 4, alltså
          1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, …
          Kvoten blir då 2 och det n:te talet
          $ a_n = 1⋅2^{n-1} $.
          Det finns 64 rutor (8×8) så på den 64:e rutan får ganska många vetekorn trängas 😉
          $ a_{64} = 1⋅2^{63} = 9223372036854775808 $

          Simon Rybrand
          1. Tack för din hjälp!

            Ailin Gottfridsson
  5. En geometrisk talföljd gäller rekursionsformeln an=(-3)* an-1, a1=-2. En sluten formel för den följd som bildas av elementen a2,a4,a6,…
    Bokens svar är an=6*9n-1
    Är det inte an=(-2)*(-3)n-1?

    Ailin Gottfridsson
    1. Talföljden ser ut enligt
      -2, 6, -18, 54, -162, 486, …
      och om vi endast tar
      $a_2,a_4,a_6,…=6,54,486,..$
      Här ges talet genom att vi multiplicerar föregående tal med 9.
      Dvs
      $ a_n = 6⋅9^{n-1} $
      I denna talföljd ges de första talen av:
      $a_1=6⋅9^{1-1}=6⋅9^0=6⋅1=6$
      $a_2=6⋅9^1=54$
      $a_3=6⋅9^2=486$
      $…$

      Simon Rybrand
      1. Tack så mycket!

        Ailin Gottfridsson
  6. Hej.
    För en geometrisk talföljd a1,a2,a3,…,an gäller att a3<a2,<a4. Vad kan man säga om kvoten k?
    Svar är ka2>a4

    Ailin Gottfridsson
    1. Hej,
      Kan du starta en tråd i vårt forum om geometriska talföljder? Du hittar forumet här. Det finns mer plats att diskutera där och vi kan fortsätta att lösa de exempel på ämnet som du har.

      Simon Rybrand
  7. Hej! Jag får en grym hjälp av era videos, tack så mycket för dem. Jag har fastnat på ett tal i boken som jag inte kan förstå mig på, som gå så här: Vilket element i den geometriska följden 9/4, 3/4, 1/4,… har värdet 1/108? Jag har kommit fram till kvoten 1/3, sedan tar det helt stopp.

    Sara Hagberg
    1. Hej
      Om du har kvoten $ \frac13 $ så kan du använda dig av formeln för det n:te talet:
      $ a_n = a_1 \cdot k^{n-1} $
      där vi har
      $ a_n=\frac{1}{108} $
      $ a_1=\frac94 $
      $ k=\frac13 $
      Du får då ekvationen
      $ \frac{1}{108} = \frac94 ⋅ (\frac13)^x $
      Denna ekvation kan du lösa och få fram x = n-1
      Säg till om du behöver mer hjälp med detta.

      Simon Rybrand
      1. Åh vad bra, nu tror jag att jag förstår. Blir alltså hela n-1=x när jag räknar sådana tal? Jag behöver alltså inte räkna med -1 i efterhand? Jag tror att det är det som har krånglat till det i huvudet på mig.

        Sara Hagberg
        1. Ja när du får fram n-1 så vet du att nästa tal n är det som du söker.

          Simon Rybrand
  8. Hej!
    ”Beräkna summan av de åtta första elementen i en geometrisk talföljd där
    a₄=108 och a₈=8748, k>0

    Hade gärna behövt lite hjälp med denna!

    fredrik karlsson
    1. Löste den!

      fredrik karlsson
  9. Hej!
    I en geometrisk talföljd är tredje element 120 och åttonde elementet -15/4.
    Bestäm talföljdens kvot och talföljdens första element
    Hur räknar jag ut det?

    therese
    1. Hej, du kan skriva upp det som
      $a_1,a_2,120,a_4,a_5,a_6,a_7,-\frac{15}{4}$
      För att komma från det tredje elementet till det åttonde så multiplicerar du $120$ med kvoten $k$ fem gånger. Dvs du kan ställa upp ekvationen
      $ 120·k^5=-\frac{15}{4} $
      I denna potensekvation löser du ut $k$
      Hoppas att detta hjälper dig vidare!

      Simon Rybrand
  10. Hur går man till väga med denna uppgift?
    I en geometrisk talföljd är tredje elementet 120 och åttonde elementer -15/4.
    a) bestäm talföljdens kvot.
    b) bestäm talföljdens första element.

    Facit är:
    a) k=-1/2 b) a1= 480

    carolina svensson
    1. Hej! Se svaret på kommentaren här ovanför, exakt samma uppgift!

      Simon Rybrand
  11. Hej
    Hur räknar rman ut summan efter den 12:e insättningen om,
    Lisa sparar 1000 kr per månad med årsräntan 2,0%. Hur mycket pengar finns på kontot efter den 12:e insättningen?

    :

    Sven Moubis
  12. Hej!

    Hur ska ja lösa denna uppgift:
    ”bestäm de fem första elementen i en geografisk talföljd som beskrivs av formeln: An=3/4*An-1, A1=2”
    Vad gör jag för fel när jag ska beskriva det tredje elementet? A3=3/4*3^2, A3=6,75.
    Svaret ska vara 9/8….

    Christoffer Gustavsson
    1. $a_1=2$
      $a_2=\frac34 · 2= \frac{6}{4}= \frac{3}{2}$
      $a_3=\frac34 · \frac{3}{2}= \frac{9}{8}$

      Simon Rybrand
  13. Hej .
    Behöver hjälp med en uppgift i Matte 3b.

    Vilket är det åttonde elementet i en geometrisk talföljd om a3 = 36 och a5 = 324?

    Christoffer Gustavsson
    1. Hej
      Här behöver du först ta reda på kvoten, du kan kalla den för $k$. Vet vet att
      $ a_4=36·k
      $ a_5=36·k^2=324 $
      Dvs vi har ekvationen
      $ 36·k^2=324⇔ $
      $ k^2=9⇔ $
      $ k=9 $ (positiva lösningen räcker här)
      Kommer du vidare utifrån detta?

      Simon Rybrand

Kommentarer är inaktiverade. Logga in för att felrapportera.

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: