...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

De Moivres formel och Potenser av komplexa tal

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

De Moivres formel

De Moivres Formel används för att relativt enkelt kunna beräkna potenser av komplexa tal. Det är en slags utbyggnad av den regel för multiplikation av komplexa tal som vi gått igenom i en tidigare video.

De Moivres

$(r(cos(v)+isin(v))^n=r^n(cos(n \cdot v)+isin(n \cdot v))$

De Moivres används inte bara för att kunna beräkna potenser utan är också en förutsättning för att kunna lösa ekvationer på formen $z^n = w$ där alltså $n$ kan vara större än $2$ och $z$ och $w$ är komplexa tal.

Utveckla $ z^4 $ då $ z=3(cos10°+isin10°) $.

Lösning:

$ z^4=3^4(cos(4⋅10°)+isin(4⋅10°))=81(cos(40°)+isin(40°)) $

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Exempel i videon

  • Bestäm $ z^2 $, $z^3$ och $z^n$ då $z=2(cos40°+isin40°)$.
  • Bestäm $z^6$ och svara på formen $a+bi$ om $z = 1 + 3i$.
  • Rita ut z, z², z³ och z⁴ i ett komplext talplan då $z=\sqrt{0,5}+\sqrt{0,5}i$

Kommentarer

bigr

Hej! Jättebra sida.

Om fråga 4: Jag förstår inte varför √2^5 blir 4√2? Jag förstår heller inte varför argumentet omvandlas till radianer. Man gör ju inte det i de andra fallen, hur ska man veta att man ska göra det här? I uppgift 5 ger exempelvis argumentet av z också 1, men här omvandlar man det inte till radianer.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, Vi kan skriva det som
    $\sqrt{2}^5=\sqrt{2}^4⋅\sqrt{2}^1=4⋅\sqrt{2}$
    Blir det tydligare då?
    Vi skall göra så att vi lägger till en förklaring med grader också, det går lika bra och det spelar egentligen ingen roll vilket vinkelmått som används där. Men då de andra uppgifterna använder grader så förstår jag att det kan vara lite förvirrande.

BotenAnnie

men om du har en formel där det står (roten ur 3 + i) ^9 och du ska svara på formen a+ bi? hur gör jag då?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Då behöver du först skriva om på polär form och när detta är klart och du har använt de Moivres kan du gå tillbaka igen till formen a + bi genom att beräkna cosv och sinv.

HenrikOlsmar

Hej! I fråga ett beräknar vi sin + isin vilket inte överensstämmer med de fyra svaren där vi har beräknat cos + isin.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Uppgiftsbeskrivningen i den uppgiften är felaktig, tack för att du uppmärksammade oss på detta.
    Det är korrigerat.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (8)

  • 1. Premium

    Rapportera fel

    Låt $z=2(cos(45°)+isin(45°))$. Beräkna $z^3$.

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel

    Låt $z=1+2i$. Beräkna $z^6$.

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel

    $z=5+5i$, bestäm $|q|$ då $q=z^2$

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel

    Skriv $(1+i)^5$ på formen $a+bi$.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel

    Vilken av vektorerna beskriver $(3+3i)^4$?

    De-moivres-ovn2

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel

    José menar menar att $ (-1-2i)^4 = 25(cos(972°)+isin(972°))$

    Felicia menar att $ (-1-2i)^4=25(cos(252°)+isin(252°))$

    Vem har rätt? Har de båda rätt eller har ingen rätt?

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel

    Vilket $z$ är sådant att $z^4$ är ett reellt tal?

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel

    Vilka värden på $a >  0$  gör att $z^a$ alltid får en realdel som är 0 då $z =cos(180°)+isin(180°)$ ?

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar