...
Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Prova för 9 kr Prova för 9 kr
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Cirkelns ekvation

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

En cirkel kan beskrivas med cirkelns ekvation. I ekvationen används cirkelns mittpunkt, radien och en punkt på cirkelns rand.

Så beskrivs en cirkel med cirkelns ekvation

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Cirkelns ekvation

$r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r2=(xa)2+(yb)2 

där

  • r = cirkelns radie
  • $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) = en punkt på cirkelns rand
  • $\left(a,b\right)$(a,b) = cirkelns mittpunkt

Så om du känner till radien och cirkelns mittpunkt så kan du beskriva alla cirklar med denna ekvation. Punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) är en godtycklig punkt på cirkelns rand. Alla dessa godtyckliga punkter som har radiens avstånd från cirkelns mittpunkt bildar cirkelns rand. 

Testa själv och se cirkelns ekvation

Dra i punkterna nedan för att se den skapade cirkelns ekvation.

Exempel

Exempel 1

En cirkel har radien $2$2 och medelpunkten $\left(2,\text{ }3\right)$(2, 3). Bestäm cirkelns ekvation.

Lösning

Vi använder radien och medelpunkten till cirkelns ekvation och skriver

 $2^2=\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2$22=(x2)2+(y3)2 där punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) är en godtycklig punkt på cirkelns rand

Exempel 2

Bestäm radien och medelpunkten för cirkeln med ekvationen $16=\left(x-3\right)^2+\left(x+2\right)^2$16=(x3)2+(x+2)2 

Lösning

Då  $4^2=16$42=16 så är cirkelns radie $4$4.

Från  $\left(x-3\right)^2$(x3)2 ser vi att medelpunktens x-koordinat är $3$3.

Från  $\left(x+2\right)^2$(x+2)2 ser vi att medelpunktens y-koordinat är $-2$2 . Tänk på att det står ”+2” inne i parentesen. Detta innebär att det egentligen står $\left(x-\left(-2\right)\right)^2$(x(2))2 och att y-koordinaten är $-2$2.

Cirkelns medelpunkt är alltså $\left(3,\text{ }-2\right)$(3, 2).

Exempel 3

Använd figuren och bestäm den utritade cirkelns ekvation

exempel 3 cirkelns ekvation

Lösning

Vi avläser mittpunkten som har koordinaterna $\left(3,\text{ }3\right)$(3, 3).

Radien är $4$4.

Vi sätter in dessa värden i cirkelns ekvation och får

 $4^2=\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2$42=(x3)2+(y3)2 

Detta går även att utveckla $4^2$42 och skriva ekvationen som

 $16=\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2$16=(x3)2+(y3)2 

Cirkelns ekvation och enhetscirkeln

Enhetscirkeln är en speciell typ av cirkel. Där är radien 1 längdenhet och denna cirkel har sin mittpunkt i origo. För enhetscirkeln gäller alltså följande:

  • Mittpunkten = $\left(0,\text{ }0\right)$(0, 0) 
  • Radie =  $1$1

Vi kan därför beskriva enhetscirkeln på följande vis:

 $r^2=\left(x-a\right)^2+\left(x-y\right)^2$r2=(xa)2+(xy)2 

Vi sätter in radien och mittpunktens värden

 $1^2=\left(x-0\right)^2+\left(y-0\right)^2$12=(x0)2+(y0)2 

Då $x-0=x$x0=x och $y-0=y$y0=y  kan enhetscirkeln beskrivas med cirkelns ekvation på följande vis.

 $x^2+y^2=1$x2+y2=1 

På samma vis kan en cirkel som har radien 3 och mittpunkten i origo beskrivas på följande vis:

 $x^2+y^2=3$x2+y2=3 

Härledning av cirkelns ekvation

När cirkelns ekvation härleds så använder vi avståndsformeln som säger följande. 

Avståndet d mellan två punkter $\left(x_1,\text{ }y_1\right)$(x1, y1) och $\left(x_2,\text{ }y_2\right)$(x2, y2) ges av formeln

 $d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$d=(x2x1)2+(y2y1)2 

Med hjälp av avståndsformeln kan vi beskriva radien.

Härledning av cirkelns ekvation

Vi beskriver alltså radien som avståndet mellan mittpunkten $\left(a,\text{ }b\right)$(a, b) och punkten $\left(x,\text{ }y\right)$(x, y) på cirkelns rand.

Vi får alltså

 $r=\sqrt{\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2}$r=(xa)2+(yb)2 

Kvadrera nu bägge leden så att vi blir av med roten ur tecknet.

 $r^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2$r2=(xa)2+(yb)2 

Och där är har vi cirkelns ekvation.

Kommentarer


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (5)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    En cirkel har ekvationen $5^2=\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2$52=(x2)2+(y3)2 

    Vilken är cirkelns radie?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Använd figuren och bestäm den utritade cirkelns ekvation.

    övning fig 1

     

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Använd figuren och bestäm den utritade cirkelns ekvation.

    övning fig 2

     

    Rättar...
  • Är du ny här? Så här funkar Premium
    • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
    • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
    • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
    • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
    Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
    Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm medelpunkten till cirkeln som beskrivs av ekvation  $8=\left(x-5\right)^2+\left(y-8\right)^2$8=(x5)2+(y8)2 

    Svara på formen (a, b)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm medelpunkten till cirkeln som beskrivs av ekvation  $8=\left(x+2\right)^2+\left(y+1\right)^2$8=(x+2)2+(y+1)2 

    Svara på formen (a, b)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    En cirkel har sin medelpunkt i $\left(5,\text{ }3\right)$(5, 3) och en radie som är $5$5.

    Bestäm var cirkeln skär x-axeln.

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    En cirkel har radien 6 och sin medelpunkt i $\left(-2,\text{ }-2\right)$(2, 2). En av punkterna $\left(-8,\text{ }-2\right)$(8, 2) och $\left(-8,\text{ }-3\right)$(8, 3) ligger på cirkelns rand.

    Ange vilken!

    Svara på formen (a, b)

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P1
    PL1
    M
    R
    K

    En cirkel har sin medelpunkt i $\left(1,\text{ }1\right)$(1, 1). Linjen $y=-x-4$y=x4 tangerar cirkelns rand i endast en punkt.

    Bestäm cirkelns radie.

    Rättar...
Är du ny här? Så här funkar Premium
  • 600+ tydliga videolektioner till gymnasiet och högstadiet.
  • 5000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Prova i 7 dagarför 9 kr. Sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.