...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Binomialsatsen och Pascals triangel

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Binomialsatsen

Pascals triangel

Pascals triangelPascals triangel är ett sätt att enkelt ta reda på koefficienterna när binom (Algebraiska uttryck med 2 termer) utvecklas. I Pascals triangel ges hela tiden koefficienterna genom att addera de två närmaste talen ovanför. Varje rad påbörjas och avslutas med en etta. Dessa två ettor är alltså koefficienterna framför den först och den sista termen.

De första 5 raderna i Pascals triangel är därför

  • 1
  • 1 1
  • 1 2 1 (2:an ges av att addera 1+1 = 2)
  • 1 3 3 1 (3:an ges genom att addera 1+2 = 3)
  • 1 4 6 4 1
  • 1 5 10 10 5 1

Så om man utvecklar $ (a+b)^5 $ kommer koefficienterna framför termerna att vara 1 5 10 10 5 1. Pascals triangel underlättar alltså en hel del för de allra första binomialutvecklingarna. Men för att få med alla typer av binom som kan utvecklas så behöver vi se hur binomialsatsen fungerar och hur vi kan utveckla binom med högre exponent.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Binomialsatsen

Binomialsatsen ger utvecklingen av binom på formen $ (a+b)^n $. Här ges koefficienterna och exponenterna genom kombinatorik. Binomialsatsen säger följande:

Binomialsatsen

$ (a+b)^n = {n \choose 0}a^n + {n \choose 1}a^{n-1}b + … + {n \choose k}a^{n-k}b^k + … + {n \choose n}b^n $

Koefficienterna $ {n \choose 0} $ eller $ {n \choose k} $ kallas för binomialkoefficienter.

Om vi utvecklar $ (a+b)^5 $ kan man alltså få både koefficienter och exponenter för a och b i varje term genom binomialsatsen. Det kan dock i vissa fall vara enklare och snabbare att använda pascals triangel (se ovan) för att ta fram koefficienterna.

Exempel 1

$ (a+b)^5 = a^5+ 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 $

Koefficienterna här är alltså 1 5 10 10 5 1 vilka vi alltså kan hämta från Pascals triangel om vi har denna framför oss.

Exempel i videon

  • Utveckla $(a+b)$, $(a+b)^2$, $(a+b)^3$, $(a+b)^4$
  • Utveckla $(a + b)^5$
  • Använd kombinatorik för att ta fram koefficienterna till $(a + b)^4 = (a + b)(a + b)(a + b)(a + b)$

Kommentarer

Hussain Alahmad

Tack så mycket

Tobiasradman

Hej
Hur vet man vilket värde k ska ha? i (n över k)

    Simon Rybrand (Moderator)

    k är en beskrivning av vilken term man befinner sig på just då.
    Så är det den första termen så är k = 0, den andra k = 1 osv.

Adam Johansson

Stor cred för denna videon, med råge den bästa förklaringen av Binomialsatsen och Pascals triangel! Bra jobbat!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Kul att du gillar den!

Petter Törnqvist

Vid 6.08 saknas det inte ett utropstecken vid 4/3! ?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Ja det stämmer, det är felaktigt där, vi skall korrigera videon så fort som möjligt.


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Hur många termer finns det i utvecklingen av $(a+b)^n$, där $n$ är ett positivt heltal?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    $ (a+b)^5 = a^5+ 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 $.
    Använd Pascals triangel för att ange koefficienterna som fås då $ (a+b)^6 $ utvecklas.

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $ C(5, 4) = {5 \choose 4} $

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Använd binomialsatsen och bestäm de fyra första termerna i utvecklingen av $ (x+y)^7 $

    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilken är den fjärde termen i utvecklingen av $(3a-2b)^5$?

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm koefficienten för $a^4 b^9$-termen i utvecklingen av $(2a^2+3b^3)^5$.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Den åttonde raden i Pascals triangel ser ut så här:
    $1$  $8$  $28$  $56$  $70$  $56$  $28$  $8$  $1$
    Hur ser den tionde raden ut?

    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/0/2)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Utveckla $(x^3-\frac{2}{x})^8$ och bestäm konstanttermen.

     

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar