...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /      ██████████████████████████

Aritmetikens fundamentalsats och primtalsfaktorisering

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Aritmetikens fundamentalsats

Aritmetikens fundamentalsats säger att

Alla heltal $n > 1$ på ett entydigt sätt kan skrivas som en produkt av primtal.

Det här innebär att det finns exakt ett sätt att faktorisera talet med hjälp av primtal, primtalsfaktorisera. Ordningen på faktorerna spelar ingen roll. Det ses ändå som samma, den enda möjliga, primtalsfaktoriseringen.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Definitionen av Primtal

De positiva heltalen kan delas upp i primtal och sammansatta tal. De sammansatta talen är produkter av primtal i olika kombinationer och kan därför primtalsfaktorisras. I kursen matematik 1 introducerade vi primtal och sammansatta tal. Återvänd gärna till den lektionen om du vill repetera grunderna.

Primtal

Ett heltal $p$ är ett primtal om $p>1$ och endast är delbart med $1$ eller $p$.

Med andra ord, ett primtal är ett heltal större än ett som endast är delbart med talet ett och sig självt.

Det finns som sagt oändligt många primtal. Här är primtalen mellan $1$ och $100$.

$ 2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,$ $\,19,\,23,\,29,\,31,\,37,\,$ $41,\,43,\,47,\,53,\,59,\,61,\,$ $67,\,71,\,73,\,79,\,$ $83,\,89,\,97$

Definitionen av Sammansatta tal

Ett positiv heltal som inte är ett primtal är ett sammansatt tal. Talet är sammansatt av multiplikation mellan primtal. På grund at vetta kan man kan dela upp alla sammansatt tal i faktorer. man säger att man primtalsfaktorisera.

Sammansatta tal

Ett sammansatt tal är ett heltal större än $1$1, som för utom sig självt och talet $1$, har ytterligare en delare.

Delare och delbarhet

Begreppet delbarhet motsvarar att kvoten man får när man dividerar två heltal, också är ett heltal.  Som vi tidigare nämnde kan alla heltal delas upp i primtal och sammansatta tal. De har olika möjliga delare, men alla heltal är åtminstone delbara med sig själv och talet $1$. 

Heltalet $a$a är delbart med ett heltal $b\ne0$b0 om kvoten $\frac{a}{b}$ab  är ett heltal.

Man kan då säga att ”$b$ delar $a$” eller att ”$b$ är en delare till $a$”, vilket skrivs som $ b \, | \, a $.

Exempelvis delar talet $2$ talet $28$ då  $\frac{28}{2}=$282 =$14$14 , eftersom att kvoten är ett heltal och vi säger att $ 2 \, | \, 28 $, som vi uttalar som ”$2$ delar $28$” eller ”$2$ är en delare till $28$”.

Delaren som inte är talet själv eller ett, kallas för en äkta delare. En äkta delare $d$ddefinieras som delbart med något heltal, utöver talen  $\pm1$±1 och  $\pm d$±d , alltså talet självt och talet självt med ombytt tecken.

Delbarhet för primtal och sammansatta tal.

Alla primtal är alltid och endast delbara med sig själva och talet $1$.

Alla sammansatta tal är alltid delbara med sig själva och talet $1$, samt talets alla primtalsfaktorer och alla produkter som är möjliga att skapa genom att kombinera primtalsfaktorerna.

Om vi exempelvis har talet  $6$6  så är detta tal delbart med $6$6 och $1$1, samt med talen $2$2 och $3$3 . Detta beror på att talet $6$ är ett så kallat sammansatt tal, vilket har primtalsfaktorerna  $6=2\cdot3$6=2·3 och är där med delbart med med sig själv och talet  $1$1, samt talets primtalsfaktorer.

Delbarhetsregler

När man ska primtalsfaktorisera och jobba med delare underlättar det om man har Delbarhetsreglerna klart för sig.

Delbarhetsregler

Talet är delbart med…

   $2$      då talet är jämnt.
   $3$      då talets siffersumma är delbar $3$.
   $4$      då det tal som bildas av de två sista siffrorna är delbart med $4$.
   $5$      då talets slutsiffra är $0$ eller $5$.
   $6$      då villkoren för delbarhet med $2$ och $3$ är uppfyllda
   $8$      då det tal som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med $8$.
   $9$      då talets siffersumma är delbart med $9$.
   $10$    då talets slutsiffra är $0$.
   $12$    då villkoren för delbarhet med $3$ och $4$ är uppfyllda.

Exempel 1

Primtalsfaktorisera talet $100$.

Lösning:

Vi delar upp talet steg för steg till vi endast har faktorer som är primtal.

$100 = 2⋅50$
$100 =2⋅2⋅25$
$100 = 2⋅2⋅5⋅5$

Faktoriseringen $2⋅5⋅2⋅5$ är den samma, bara att faktorerna står i annan ordning..

Ibland kan det vara svårare att se direkt hur ett ta kan primtalsfaktoriseras, då kan man ta ett faktorträd till hjälp för detta. Då delar man steg för steg upp talet i faktorer tills det endast finns primtal kvar.

[mvexamples]

Exempel 2

Primtalsfaktorisera talet $100$100  med hjälp av ett faktorträd.

Lösning

I bilden nedan ges ett exempel på hur just talet $100$100 kan primtalsfaktoriseras som $2⋅2⋅5⋅5$ i ett faktorträd.

Faktorträd- primtal

Du tänker; vilket tal ger produkten $100$100 om vi multiplicerar med $2$2? Hittar du ett heltals svar skriver du talen i varsin ruta. I detta exemplet är svaret $50$50.

Om du inte hittar något heltal som ger produkten$100$100,  försöker du med primtalet $3$3 därefter $5,\text{ }7,\text{ }11…$5, 7, 11… tills du hittar en.

Om svaret inte är ett primtal tänker du; vilket tal ger produkten $50$50 om vi multiplicerar med $2$2? Hittar du ett heltals svar skriver du talen i varsin ruta. I detta exemplet är svaret $25$25.

Om du inte hittar något heltal som ger produkten du sökte,  försöker du med primtalet $3$3 därefter $5,\text{ }7,\text{ }11…$5, 7, 11… tills du hittar en.

Om svaret inte är ett primtal tänker du; vilket tal ger produkten $25$25 om vi multiplicerar med $2$2? Hittar du ett heltals svar skriver du talen i varsin ruta. I detta exemplet hittade vi inget, utan försöker med talet  $3$3 först , utan resultat. Sedan $5$5 med svaret $5$5.

När du tillsist endast har primtal kvar i de ”yttersta” rutorna har du hittat dina primtalsfaktorer. dessa skriver du nu i storleksordning som en produkt.

Exempel i videon

  • Primtalsfaktorisera $22$
  • Primtalfaktoriser $28$
  • Använd ett faktorträd och primtalsfaktorisera talet $460$.

Kommentarer

Simeon Dahlin

Hej, Fråga fem ger felsvar när jag ger rätt svar enligt instruktionen.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Jag har förtydligat den frågan, tack för att du sade till!

Adam Lottkärr

Fråga 5 är felformulerad ang vilket tecken man ska använda sig av

    Simon Rybrand (Moderator)

    Vi korrigerar detta, tack för att du sade till!


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av följande tal är ett primtal: $100$100$101$101$120$120 

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Primtalsfaktorisera talet $24$24.

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Hur många primtal $p$p finns det där  $20<$20< $p<50$p<50  

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Primtalsfaktorisera talet $600$600 utan räknare.
    Ange faktorerna i storleksordning med multiplikation (* eller $\cdot$· ) mellan varje faktor.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...

c-uppgifter (4)

  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Primtalsfaktorisera talet $4680$4680 utan räknare.

    Ange faktorerna i fallande storleksordning med * mellan varje faktor. Dvs börja med den största faktorn och sluta med den minsta.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Primtalsfaktorisera talet $-924$924

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/1)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Du har fått i uppgift att primtalsfaktorisera talet $143$143. Vilket påstående är korrekt och varför?
    Du behöver undersöka primfaktorer $p$p, där…

    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/2/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Vilket eller vilka av följande påståenden stämmer?

    A.  $a-1$a1 är alltid ett udda tal om $a$a är ett heltal.
    B.   $p-1$p1 kan inte vara ett primtal om $p$p är ett primtal.
    C.  $2n+1$2n+1 är alltid ett udda tal om $n$n är ett heltal.

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar