Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 2b
/ Andragradsfunktioner
Vad är en andragradsfunktion
Innehåll
En andragradsfunktion är en funktion, där själva funktionsuttrycket utgörs av ett andragradspolynom. Med det menas att funktionsuttrycket har graden två. Uttrycket måste då innehålla en variabelterm av sorten $ax^2$ och inga variabeltermer med ett högre gradtal, en större exponent, än två.
Andragradsfunktionens olika delar
Generell formel för andragradsfunktionen
Det allmänna funktionsuttrycket för andragradsfunktionen är följande.
Den generella andragradsfunktionen
$ f(x) = ax^2 + bx + c $
där $a,b$ och $c$ är konstanter och där $a≠0$
Viktigt är att koefficienten framför andragradstermen, $a$a , måste vara frånskild från noll. Annars får vi ingen andragradsfunktion, eftersom att andragradstermen ”försvinner” om $a=0$a=0.
Andragradsfunktionens graf
När du ritar grafen till en andragradsfunktion i ett koordinatsystem kallas grafen för en parabel. Något som kännetecknar dessa parabler är att de antingen ser ut som en glad mun, öppen uppåt, eller en ledsen mun, öppen nedåt.
För andragradsfunktioner där $a>0$a>0, alltså då koefficienten framför andragradstermen är positiv, kommer grafen att vara öppen uppåt.
För andragradsfunktioner där $a<0$a<0 , alltså då koefficienten framför andragradstermen är negativ, kommer grafen att vara öppen nedåt.
Enkelt uttryck gäller att om det är en negativ koefficient framför $ x^2 $ får du en graf som ser ut som en negativ, sur, mun.
Om det är en positiv koefficient framför $ x^2 $ får en graf som ser ut som en positiv, glad, mun.
Undersök parabelns utseende
Genom att flytta reglagen i sidled kan du undersöka hur konstanterna $a,\text{ }b$a, b och $c$c i andragradsfunktionen $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c påverkar parabeln utseende.
Konstanten $a$a påverkar parabelns utseende på det sätt att den går från att för stora negativa värden på $a$a resultera i en smal och negativ graf, till att bli bredare och bredare ju närmre värdet noll $a$a kommer. Får små positiva värden är parabeln bred men positiv, för att sedan bli smalare och smalare igen desto större värdet på $a$a blir.
Konstanten $b$b förflyttar grafen i både sid och höjdled samtidigt.
Konstanten $c$c förflyttar endast grafen i höjdled. Notera att värdet på $c$c alltid går att läsa av i skärningspunkten mellan grafen och $y$y-axeln.
Vertex
Vid tillämpning av matematiken är det vanligt att man vill beräkna största och minsta möjliga funktionsvärdet. Därför har de punkter som anger vart grafen vänder fått ett eget namn. Nämligen vertex.
Vertex motsvarar den punkt där andragradsfunktionen antar sitt största eller minsta värde.
I grafen kan vi läsa av dessa vändpunkter.
Exempel 1
Ange koordinaterna för vertex genom avläsning i figuren nedan.
Lösning
Vertex återfinns i grafens vändpunkt. I detta fall är vertex en minimipunkt. Vi läser av punktens koordinater till $(2,-3)$.
Eftersom att det kan vara av intresse om vertex anger det största eller minsta funktionsvärdet delar man upp vertex i maximi- och minimipunkter.
Största värdet på parabeln återfinns i maximipunkten, eller maxpunkten som den också kallas.
Maximipunkt
En parabel där $a<0$a<0 , alltså då koefficienten framför andragradstermen är negativ, har alltid en maximipunkt.
Minsta värdet på parabeln återfinns i minimipunkten, eller minpunkten som den också kallas.
Miminipunkt
En parabel där $a>0$a>0 , alltså då koefficienten framför andragradstermen är positiv, har alltid en minimipunkt.
Så genom att läsa av koefficienten framför andragradstermen kan du enkelt avgöra om funktionen har en max- eller minpunkt.
I samlingsnamnet extrempunkter ingår alla vertexpunkter, då extrempunkter motsvarar just max- och minpunkter. I Ma3b och Ma3c kommer vi att fördjupa våra kunskaper kring maximi och minimipunkter. Men för nu nöjer vi oss med att sammanfatta ovanstående om extrempunkt på följande vis.
Maximipunkt
En punkt $a$a i en definitionsmängd kallas för en maximipunkt om det finns ett intervall kring punkten där $f\left(a\right)>$ƒ (a)> $f\left(x\right)$ƒ (x) för alla $x$x som tillhör definitionsmängden och intervallet.
Minimipunkt
En punkt $a$a i en definitionsmängd kallas för en minimipunkt om det finns ett intervall kring punkten där $f\left(a\right)<$ƒ (a)< $f\left(x\right)$ƒ (x) för alla $x$x som tillhör definitionsmängden och intervallet.
Vi tar nu till sist i detta avsnitt och tittar på ett exempel.
Exempel 2
Har grafen till $ f(x)=10x^2+4 $ en maximipunkt eller en minimipunkt?
Lösning
Koefficienten framför andragradstermen är $10$10, vilket är ett positiv tal. Det ger att grafen ser ut som en glad mun. Därför har grafen en minimipunkt.
Konstanten c
I likhet med den linjära funktionens $m$m -värde, kan man lätt avgöra andragradsfunktionens $c$c -värde. Detta eftersom att den är en konstant som inte påverkas av variablerna i uttrycket.
Värdet på $c$c återfinns, i likhet med värdet på den linjära funktionens värde på $m$m, i skärningspunkten mellan grafen och $y$y -axeln. Även för andragradsfunktionen gäller att värdet på konstanten i funktionsuttrycket motsvarar $y$y -värdet i skärningspunkten.
Med hjälp av bland annat denna information kan vi bestämma formeln till en andragradsfunktion utifrån den uppritade grafen. Men mer om det i lektionen Ange andragradsfunktionen utifrån nollställena och en punkt.
Exempel 3
En andragradsfunktionen kan beskrivas med formeln
$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c.
Ange värdet på $c$c med hjälp av grafen.
Lösning
Värdet på $c$c motsvarar $y$y -värdet i skärningspunkten mellan grafen och $y$y -axeln. Därför är $c=3$c=3
Varför är det så då? Jo, eftersom att $x$x -värdet är lika med noll när grafen skär -axeln får vi att funktionsvärdet är $f\left(0\right)=a\cdot0^2+b\cdot0+c=c$ƒ (0)=a·02+b·0+c=c. Men mer om detta i kommande lektioner.
Symmetrilinjen
En parabel är alltid symmetrisk. Det innebär att man kan dra en linjen mitt genom grafen, som ger att varje punkt på grafen ger en exakt spegling som också tillhör grafen. För att detta ska stämma måste symmetrilinjen dras som en lodrät linje genom vertex.
Symmetrilinjen går alltid genom vertex.
Symmetrilinjens ekvation är $x=a$x=a , där $a$a motsvarar $x$x -värdet där den lodräta linjen skär $x$x-axeln. Men mer om detta i nästa lektion.
Nollställen
De $x$-värden där parabeln skär $x$-axeln kallas för nollställen.
För alla nollställen gäller att funktionens värde är lika med noll, vilket vi kan skriva som $ f(x) = 0 $. Kännedom kring nollställen kan komma till användning bland annat vid lösning av andragradsekvationer. I nästa lektion fördjupar vi kunskapen kring andragradsfunktionens nollställen.
Exempel i videon
- Andragradsfunktionens begrepp
- Har graferna till följande funktioner en maximi-, eller en minimipunkt?
a) $f(x)=3x^2-x-2$
b) $f(x)=-8-x^2$ - I koordinatsystemet är $f(x)=x^2-2x-8$ utritad. Ange koordinaterna för vertex.
- Bestäm skärningspunkten med y-axeln för $f(x)=-10x^2-x+10$
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (7)
-
1. Premium
Vad kallas grafen i en andragradsfunktion?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsfunktion begrepp parabelRättar...2. Premium
Vad är samlingsnamnet för de punkter där andragradsfunktionens graf vänder, och därmed antar sitt största eller minsta värde?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: andragradsfunktion parabel vertexRättar...3. Premium
I figuren är grafen till $f\left(x\right)=-x^2-2x+2$ƒ (x)=−x2−2x+2 utritad. I vilket $y$y -värde skär grafen $y$y -axeln?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Andragradsfunktioner graf Högskoleprovet Högskoleprovet matematik Matematik 2Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Har andragradsfunktionen $f(x)=x^2-2$ƒ (x)=x2−2 en maximipunkt eller minimipunkt?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Andragradsfunktioner Högskoleprovet Högskoleprovet matematik Matematik 2Rättar...5. Premium
Bestäm $y$y-värdet där grafen till $f\left(x\right)=12x^2+0,6x-1,5$ƒ (x)=12x2+0,6x−1,5 skär $y$y-axeln.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Andragradsfunktioner graf Högskoleprovet Högskoleprovet matematik Matematik 2Rättar...6. Premium
Har andragradsfunktionen $f(x)=2x-x^2$ƒ (x)=2x−x2 en maximi- eller minimipunkt?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Andragradsfunktioner maxpunkt parabeln vertexRättar...7. Premium
Vilka koordinater har maximipunkten?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Andragradsfunktioner Högskoleprovet Högskoleprovet matematik Matematik 2Rättar...c-uppgifter (2)
-
8. Premium
I figuren är grafen till en funktion på formen $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ƒ (x)=ax2+bx+c utritad. Bestäm konstanten $c.$c.
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Andragradsfunktioner graf Högskoleprovet Högskoleprovet matematik Matematik 2Rättar...9. Premium
$f\left(x\right)=0,5x^2$ƒ (x)=0,5x2 och $g\left(x\right)=-x^2+6$g(x)=−x2+6.
För vilka $x$x gäller att $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ƒ (x)=g(x)?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Andragradsfunktioner Högskoleprovet Högskoleprovet matematik Matematik 2Rättar...a-uppgifter (1)
-
10. Premium
Bestäm förhållandet mellan konstanterna $A$A och $B$B så att graferna till funktionerna $f\left(x\right)=x^2+A$ƒ (x)=x2+A och $g\left(x\right)=B-x^2$g(x)=B−x2 skär varandra i endast en punkt.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Andragradsfunktioner Högskoleprovet Högskoleprovet matematik Matematik 2Rättar...
-
Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut! -
Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Lektion
Kategori
ID
Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Logga in
viaAll svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Ida Åskog
Fråga 5: Svarar -1,5 Men får fel? Hur vill ni att man fyller i svaret?
I förklaringen står:
Detta kan vi lösa på två olika sätt;
Genom begreppskunskapen så vet vi att konstanttermen −1,5 motsvarar det y-värde där grafen skär y-axeln.
Genom beräkningen f(0)=12⋅0
2
+0,6⋅0−1,5=−1,5.
Anna Admin (Moderator)
Hej Ida,
Om du klickar på facit och sedan Korrekta varianter kan du se alla alternativ vi har lagt in i systemet som rätt. Där ser du att vi önskar att du även ska ha med $y=$ i svaret.
Det är bra att ta som vana att alltid ange variabeln och eventuella enheter i sina svar för att undvika att inte på poängavdrag. Därför har vi valt att vara hårda med det.
Men hör gärna av dig igen om du tycker att svar korrekta svars varianter.
Christoffer Suhonen
Lite störande att grafen på Uppgift 2 skär i y-axeln ungefär -8.7 men rätt svar är 9. Kan ni inte justera grafen så att den faktiskt ligger på 9 då 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Japp det fixade vi direkt Christoffer!
Sara Svensson
Hej! Hur ritar jag en parabel med grafräknare? Har en TI-83 Stats. Är osäker på om det blir rätt när jag räknar så känns bättre om jag kan dubbelkolla med grafräknare.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, genom att gå till knappen Y= och där skriva i funktionens formel, sedan ser du grafen genom att trycka på GRAPH.
Vi har även en grafräknare här på sajten, du kommer åt den via knappen längst ned till höger om du använder en vanlig dator.
Sara Svensson
Hej igen! Gjorde som du skrev på grafräknare men får upp ett felmeddelande : Err Syntax. Vad har jag slagit fel? Eller är min räknare fel inställd?
Simon Rybrand (Moderator)
Svårt att svara på vad som blir fel. Testa följande:
– Skriver du exempelvis Y1=2X^2, dvs använder rätt X
– Gå till knappen ZOOM och välj ZStandard så att du har rätt fönsterinställningar.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Här tror jag tanken är att du skall tänka på att konstanterna +1, -2 och +3 förskjuter x^2 grafen etta steg upp, två steg ned och 3 steg upp. Dvs du behöver först veta hur $y=x^2$ ser ut och sedan inse att denna förskjuts uppåt/nedåt med hjälp av konstanterna.
Graferna kommer att se ut på följande vis:
Fanny Johansson
hej! jag förstår inte hur man ska rita upp en grafen om man har en funktion.. finns det någon video på de?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Ja det finns flera, framförallt när det gäller linjära funktioner men principen är densamma. Börja med att kika på:
Så fungerar en funktion
Adam Falk
Hej.
Var ett tag sedan jag gjorde dessa andragradsfunktioner. Jag har en fundering på hur du får reda på minimipunkten eller maximipunkten på en positiv eller negativ andragradsfunktion.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Det finns en enkel minnesregel för att veta detta. Om tecknet framför $x^2$ termen är positivt så ser kurvan ut som en glad (positiv) mun och du har en minimipunkt. Om tecknet framför $x^2$ termen är negativt så ser kurvan ut som en ledsen (negativ) mun och du har istället en maximipunkt.
Om du funderar på hur du tar reda de exakta koordinaterna för max/min punkten så kan du göra så att du först tar reda på symmetrilinjen. Det kan du exempelvis göra genom att hitta där kurvan skär x – axeln. Sedan går symmetrilinjen mellan dessa så kallade nollställen.
Emily McEwan Fornhammar
Jag förstår hur man hittar nollställen via p/q formeln men hur man vet att kurvan ser ut sådär förstår jag inte… knappar in funktionen på räknaren?
Tex. f(x) =1/ x-4 är ett tal jag inte förstår. La in olika värden för x ( 1, 3 och 6) och fick då tre punkter på en linje, men det var tydligen helt fel… grafen skulle se ut om en glad och ledsen mun, vridet ett kvarts varv… var i kursen kan jag kolla för att förstå det här? ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Den funktionen är ingen andragradsfunktion utan man kallar dem för potensfunktioner. Eftersom att du har x nere i nämnaren så är det lite speciella typer av funktioner som inte är definierade för alla x, i det här fallet är funktionen inte definierad för x = 4 förutsatt att det är funktion $ f(x)=\frac{1}{x-4} $ som du har. Om det är funktionen $ f(x) = \frac{1}{x}-4 $ så den inte definierad för x = 0.
Kan rekommendera att kika vidare på den här genomgången om asymptoter där mycket av dessa saker gås igenom.
Emily McEwan Fornhammar
tack!
Caroline
03:28 i videon. Jag förstår att x^2 är positiv (glad mun), men varför är grafen just där den är? Vad i 4x-5 säger det? Kan tyda att minimipunkten om den nu hette så, är -5 kanske eller? Men 4x i sådant fall?
Som sagt, varför är grafen där den är?
Simon Rybrand (Moderator)
I den uppgiften har vi ritat ut grafen med hjälp av ett grafprogram för att hjälpa till att förstå vad det är vi får fram när vi sätter funktionens formel lika med 0 och löser ekvationen som uppstår. Dvs att det är nollställena eller x-värdena där linjen skär x-axeln.
Om vi inte hade haft bilden framför oss så kan vi vi göra följande för att kunna skissa ut funktionen:
-Vi vet att grafen ser ut som en ”glad mun” då koefficienten framför $x^2$ termen är positiv, i det här fallet $+1$
– Om vi sätter $x = 0$ så får vi att $y = 0^2 +4⋅0 -5 = -5$. Då vet vi att grafen skär y-axeln i $y=-5$.
– När vi sätter $ y = 0 $ (som i videon) får vi reda på där grafen skär x-axeln (nollställena).
Utifrån dessa saker kan vi ganska säkert skissa vår graf.
Camilla Tarnvik
det är något fel på videon som ligger ute, när man startar videon så finns det bara en 1-minuterslång video.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Kan du göra så att du kontaktar support@matematikvideo.se så får vi hjälpa dig att ta reda på varför du upplever detta problem.
Nathalie Hermansson
Jag förstår inte riktigt hur man får fram värdet på a och c i f(x)=ax^2+c, även om man har en värdetabell..
Simon Rybrand (Moderator)
Om du har en värdetabell så har du ett antal x och y som du kan använda dig av.
Om du exempelvis vet att y=f(x)=2 då x=1 samt att y=f(x)=5 då x=2 så kan du sätta in detta i funktionen så att du får:
$ 2 = a⋅1^2+c $
$ 5 = a⋅2^2+c $
Här har du ett ekvationssystem som du kan lösa. Du behöver förstås använda dig av de värden du har i din värdetabell istället men metoden är densamma.
GabriellaR
Hej! Jag har en fråga! Jag har andragradsfuntionen Y=ax^2 + bx + c
Jag har även nollställena 2 och 5
Och C skall vara 3.
Hur ska jag ta reda på K, samt utföra ekvationen?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Vilket K är det som du skall ta reda på? Eller är det a och b som du söker? Du kan med hjälp av nollställena (dvs då y = 0) ställa upp sambanden:
$ a⋅2^2+b⋅2+3=0 $
och
$ a⋅5^2+b⋅5+3=0 $
Detta kan du lösa som ett ekvationssystem.
dinmamma777
I sista funktionen hur får man fram x2 som är -2?
Nollställena är
x1=10, x2=−2
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Här används pq formeln och vi kommer fram till
$ x = 4 \pm 6 $.
Då ges de två lösningarna av
$ x_1 =4+6=10 $ och $ x_2 = 4-6=-2 $
Bushra Sadat
Hej!
Tack för lätt och bra förklaringar… ville även säga att ni har råkat skriva fel ovan…. ” Maximipunkt: Den punkt där andragradsfunktionen antar sitt största värde. Det är endast andragradsfunktioner med negativ koefficient framför x2 som har en minimipunkt.” sista ordet är fel …visst menar ni maximipunkt….!
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för att du påpekade detta, vi fixar det omedelbums.
Endast Premium-användare kan kommentera.