Additionsmetoden - Linjära ekvationssystem (Matte 2) - Matematikvideo

LOGGA IN

VIA

OBS! Inget publiceras i ditt flöde utan ditt medgivande.

VIA E-POST

E-post/användarnamn

Lösenord

Glömt lösenordet?
eller
Matematik 2 ABC

Additionsmetoden

Video

Video, text & övningsfrågor av: Simon Rybrand

I den här lektionen lär du dig att använda additionsmetoden för att lösa linjära ekvationssystem.

Är du ny här? Så här funkar Matematikvideo PREMIUM


  • 600+ pedagogiska videolektioner till hela gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ typiska övningsfrågor med tips och fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kurs, slipp leta efter videos själv på Youtube.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovets matematik.
PROVA FÖR 9 kr
Prova i 7 dagar för 9 kr, sedan endast 89 kr/mån.
Ingen bindningstid, avsluta prenumerationen när du vill.
32 votes, average: 3,78 out of 532 votes, average: 3,78 out of 532 votes, average: 3,78 out of 532 votes, average: 3,78 out of 532 votes, average: 3,78 out of 5
32
Du måste vara inloggad för att rösta.
Loading...

Övning

8
FRÅGOR

TESTA DIG SJÄLV

Alla övningar har fullständiga förklaringar och pedagogisk feedback som hjälper dig att förstå.
ANTAL FÖRSÖK
0
POÄNG
DINA
0
 
 
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6
  • 7
  • 8
MEDELPOÄNG
ALLA
4

Text

Additionsmetoden

Additionsmetoden är en algebraisk metod, tillsammans med substitionsmetoden, för att lösa linjära ekvationssystem. Det innebär att du med metoden kan lösa ekvationssystemet exakt.

Metoden går ut på att du adderar de bägge ekvationerna på ett sätt så att en variabel elimineras (försvinner) i den ena ekvationen. Detta gör att den ekvationen blir lösbar. Du kan på detta vis få fram hela lösningen. Ofta kan man behöva multiplicera ena eller båda ekvationerna först. Detta för att en variabel skall kunna elimineras i additionen.

Additionsmetoden

När du löser linjära ekvationssystem med den här metoden innebär det att du gör på följande vis.

  1. Undersök först om du har motsatta tal i de bägge ekvationerna. Exempelvis är $2x$2x och $-2x$2x motsatta tal. Dessa två kommer att eliminera varandra om de adderas.
  2. Om du inte har motsatta tal så kan du multiplicera ena eller bägge ekvationerna först.
  3. Addera bägge ekvationerna ledvis.
  4. Lös den ekvationen som skapas.
  5. Använd din lösning och sätt in denna i någon av de ursprungliga ekvationerna för att få hela lösningen till ekvationssystemet.

Principen bakom additionsmetoden

Nedan visas i en animation principen bakom additionsmetoden. Animationen visar hur balansen mellan vänsterledet och högerledet kvarstår när de bägge ekvationerna adderas.

Principen bakom additionsmetoden

Exempel 1 – Addera direkt

Använd additionsmetoden och lös ekvationssystemet
$\begin{cases} y+x=4 \quad (1) \\ 6x-y=3 \quad (2) \end{cases}$

Lösning

Här ser vi att vi har de två motsatta talen/termerna $y$y och $-y$y i ekvationerna. Vi kan därför addera dem direkt och eliminerar då en variabel.

Vi adderar de bägge ekvationerna ledvis
$
\begin{array}{r}
\qquad y+x=4\\
+ \qquad 6x-y=3\\
\hline
7x=7
\end{array}
$

Vi kan lösa ekvationen
$7x=7$7x=7 Dela med 7
$x=1$x=1

Nu kan vi sätta in $x=1$x=1 i ekvation (1) för att ta reda på $y$y.
$y+1=4$y+1=4 Subtrahera med 1
$y=3$y=3

Vi har nu hela lösningen som är
$\begin{cases} x = 1 \\ y=3 \end{cases}$

Exempel 2 – Multiplicera först, sedan addera

Använd additionsmetoden och lös ekvationssystemet
$\begin{cases} y-x=1 \quad (1) \\ 3y+6x=21 \quad (2) \end{cases}$

Lösning

I det här ekvationssystemet har vi inga motsatta tal/termer. Så om vi adderar direkt så kommer ingen variabel att elimineras. Det vi då kan göra är att multiplicera ekvation (1) med $\left(-3\right)$(3) för att få termen $\left(-3y\right)$(3y). Denna kommer då att eliminera $3y$3y i ekvation (2).

När vi multiplicerar ekvation (1) med $\left(-3\right)$(3) så gör vi det på följande vis.

$\begin{cases} y·(-3)-x·(-3)=1·(-3) \quad (1) \\ 3y+6x=21 \quad (2) \end{cases}$

Då får vi ekvationssystemet

$\begin{cases} -3y+3x=-3 \quad (1) \\ 3y+6x=21 \quad (2) \end{cases}$

Nu kan vi addera de bägge ekvationerna ledvis.

$\begin{array}{r}
\qquad -3y+3x=-3\\
+ \qquad 3y+6x=21\\
\hline
-3y+3x+3y+6x=-3+21
\end{array}$
Förenkla vänsterledet och högerledet så får du
 $9x=18$9x=18 Dela med 9
 $x=2$x=2

Nu kan vi sätta in $x=2$x=2 i ekvation (1) vilket ger oss följande

 $y-2=1$y2=1 Addera med 3
 $y=3$y=3 

Vi har nu hela lösningen som är
$\begin{cases} x = 2 \\ y=3 \end{cases}$

Exempel i videon

  • Lös ekvationssystemet $\begin{cases} x-y=10 \\ y+x=4\end{cases}$ med additionsmetoden.
  • Lös ekvationssystemet $\begin{cases} y+3x=6 \\ 4x+2y=10 \end{cases}$ med additionsmetoden.

Kommentarer

  1. Hej!
    Hur löser jag detta ekvationssystem med hjälp av additionsmetoden?
    2x-y=3 (1)
    15-2x=3y (2)

    MVH Hanna

    Hanna Nilsson
    1. I ekvation (1) har du termen +2x och i ekvation (2) har du termen -2x. Dessa två termer tar ut varandra när du adderar ekvationerna:
      2x-y=3
      15-2x=3y
      Addition ger
      2x-y+15-2x=3+3y
      -y+15=3+3y

      Nu har du bara en okänd variabel kvar!

      Simon Rybrand
  2. På uppg. 7 så borde väl även -4 vara ett korrekt svar, man behöver ju faktiskt inte flytta om bland termerna för att eliminera y-termen:
    -8y = -4x – 16 och 6 = x +8y ger genom additionsmetoden x = -4x – 10
    Eller?

    Mvh David

    David Ygge
    1. Hej, helt rätt. Du kan utföra elimineringen efter multiplikationen också.
      Vi korrigerar uppgiften.

      Simon Rybrand
  3. som t.ex
    5x-2y=7
    7x+6y=45

    Berkan991
    1. Ja där får du multiplicera ena eller bägge ekvationerna med något tal så att någon av variablerna tar ut varandra. Här är det enklast att multiplicera den översta ekvationen med 3 så att du får $-6y$ där. Sedan addera dem. Det kan se ut så här:
      $5x-2y=7 \quad \text{Multiplicera med 3}$
      $7x+6y=45$
      ——————
      $15x-6y=21$
      $7x+6y=45$
      ——————
      Vid addition av ekvationerna får du
      $ 22x=66 $
      $ x=3 $
      ——————
      Sedan blir det enkelt att lösa ut $y$

      Simon Rybrand
  4. Hej!

    Om en ekvation inte ha termer som inte tar ut varandra, ska man då multiplicera så att termerna kan ta ut varandra? Är det bara när man inte kan ta ut varandra man ska multiplicera?

    Berkan991
    1. Hej
      Har du ett exempel som vi kan utgå ifrån? Det blir lättare att förklara då.

      Simon Rybrand
  5. Hej
    Ett sätt (det finns flera vägar till lösningen) är att multiplicera den första ekvationen med $-3$ och en andra med $2$ vilket ger ekvationssystemet
    -6x-12y=-177
    6x+6y=126
    När ekvationerna adderas med varandra elimineras variabeln x och vi får ekvationen
    -6y=-51
    y=8,5
    Sedan kan du lösa ut x.

    Simon Rybrand
  6. Hej! Jag skulle verkligen behöva hjälp med att lösa ut:

    2x+4y=59
    3x+3y=63

    Jag har försökt att lösa ut talet genom förklaringen i boken men det blir bara fel och i mathleaks står det att man ska dividera den andra ekvationen med 3 och sedan multiplicera med (-4).. Blir bara helt förvirrad och vet inte längre hur jag ska göra! Tacksam för svar 🙂

    Komvux Sundsvall Elev
  7. Hej! Hur löser man

    2x+4y =59
    3x+3y =63

    Jag har försökt att lösa talet genom förklaringarna i boken men det blir bara fel och i mathleaks står det att man ska dividera bort den andra ekvationen med 3 och sedan multiplicera med (-4).. J

    Komvux Sundsvall Elev
  8. Hej, jag undrar hur man bör tänka när man löser denna uppgift med hjälp av substitutionsmetoden…
    4x+y= -9
    6x=2y+4

    nadja.pavlova.rashid92@gmail.com
    1. Hej
      Det kan vara lämpligt att lösa ut y i den översta ekvationen då du inte har någon koefficient (något tal) framför variabeln y.
      Du får då att
      $ y=-9-4x $
      Detta sätter du nu in (substituerar) i den andra ekvationen så att du får
      $ 6x=2(-9-4x)+4 ⇔$
      $ 6x=-18-8x+4 ⇔$
      $ 14x=-14 ⇔$
      $ x=-1 $
      Sedan använder du detta för att lösa ut $y$

      Simon Rybrand
  9. Hej.
    Ni har förklarat det enkla sättet att köra additionsmetoden.
    I boken så finns det endast 1 övning på detta resten handlar om att
    x-värderna eller y-värderna inte är likadana. 🙁
    tillexempel
    4s+9t=43
    3s+7t=26
    eller
    7a-3b=6
    5a+2b=25

    Det finns mängder av sådana ekvationer som jag och säkert de flesta inte förstår hur man löser de.
    Boken Mattematik 5000 är så dåliga på att ge övningar på det de har förklarat i början.

    Hamed Kashefi
    1. Hej!
      Håller med, vi borde ta med lite fler ekvationer som liknar de du nämner, lägger in det i vår framtida utveckling av videos!
      Så länge hjälper vi dig gärna vidare med de ekvationer som du behöver hjälp med på vårt forum som du hittar här.
      Posta gärna dina frågor där, vi är inne och svarar alla vardagar.

      Simon Rybrand
  10. 2x + 3y = -6
    3x – 4y = 25

    = 5x + y = 19

    Och hur räknar jag sedan? Har jag räknat rätt här ovan?

    Tacksam för svar!

    veritas87
    1. Innan du adderar de bägge ekvationerna behöver du multiplicera dem med något så att du eliminerar en variabel. Du skulle kunna multiplicera den översta med 3 och den nedersta med (-2) får du:
      6x+9y=-18
      -6x+8y=-50
      När du nu adderar de bägge ekvationerna så kommer variabeln x att elimineras, du får alltså ekvationen
      17y=68
      y=4
      Sedan behöver du bara lösa ut x.

      Simon Rybrand
  11. ok, det ska jag göra, tusen tack för ditt snabbt svar.

    mvh
    Maggie

    maggie liew
  12. Hej, jag skulle blir tacksamt om jag kan få hjälp att lösa de frågor som står nedanför:

    Frågan 1
    Bestäm talet ”a” så att saknar lösning.
    Y=a¨^2x + a
    Y=15x – 2ax +3

    Frågan 2
    Lös ekvationssystemet (denna är bråktal.)
    x/2 – y/2 = 7
    2y/3 + x/4 + 1 = 0

    Jag är verkligen ha inga aning hur kan jag börja :(, saknar lösning, innebär båda ekvation ha gemensamt k-vädet?

    Mvh
    Maggie

    maggie liew
    1. Hej!
      Eftersom att det är flera uppgifter som du vill ha hjälp med så hänvisar jag detta till vårt forum. SKicka in frågan där så tar vi det därifrån 🙂 och det finns då mer plats att svara och diskutera på.

      Simon Rybrand
  13. Hej, hur räknar jag ut (1) y=2x+2 (2) y=x-2 med hjälp av additionsmetoden, jag får ut fel svar och vet inte vad jag gör fel. 🙁

    David Granlund
    1. $\begin{cases} y=2x+2 \quad \left(1\right) \\ y=x-2 \quad (2) \end{cases}$
      $\text{Multiplicera ekvation (1) med (-1)}$
      $\begin{cases} -y=-2x-2 \quad (1) \\ y=x-2 \quad (2) \end{cases}$
      $\text{Addera ekvationerna med varandra så att y elimineras}$
      $\quad -y={\left({-2}\right) \, {x}}-{2}$
      $+ \quad y={x}-{2}$
      $———————$
      $0=-x-4 ⇔$
      $x=-4$

      Vi sätter in detta i någon av ekvationerna och får att $ y = -6 $

      Hjälper detta dig att se hur du kan använda additionsmetoden för att lösa detta ekvationssystem?

      Simon Rybrand
  14. hej! har du ingen video på hur man använder substitionsmetoden? eller är substitutionmetoden och additionsmetoden samma sak?
    Mvh jesibra

    jesibra
      1. Den verkar inte finnas kvar? Hittar ingen video alls om sub-metoden, har den raderats?

        tobias peterson
        1. Hej
          Kolla här: https://matematikvideo.se/lektioner/linjara-ekvationssystem/
          Länken var felaktig

          Simon Rybrand
  15. Hej!!
    Har problem här:
    2x-8y+12=0

    x-12y+8=0

    Jag har försökt multiplicera in -2 i ekvation 2 men får inte rätt på det!

    lovisa
    1. Tycker att det verkar vara en bra idé att multiplicera in -2 i ekvation 2:
      2x-8y+12=0
      -2x+24y-16=0
      Addera så ges ekvationen
      16y-4=0
      y=1/4
      Lös sedan ut x.

      Simon Rybrand
  16. Hej,
    Jag har fastnat, säkert jätte enkelt.

    Hur löser man denna?

    X+Y=6
    Y=3X-2

    MVH Ulrica

    Ulrica Pinones Gunnarsson
    1. (1) x+y=6
      (2) y=3x-2

      Från ekvation (1) kan du lösa ut x = 6 – y
      Substituera nu x i ekvation (2) mot 6 – y:
      y=3(6-y)-2 ⇔
      y = 18 – 3y – 2 ⇔
      y = 16 – 3y ⇔
      4y = 16
      y = 4

      Vi kan nu ta fram x genom att sätt in y i (1) vilket ger x = 6 – 4 = 2
      Alltså:
      x = 2
      y = 4

      Simon Rybrand
  17. hej!
    jag jobbar med ekvationssystem
    kan du lösa detta
    3x+6y=178,50
    8x+2y=168
    och förklara hur du gjorde?

    mvh

    melker
    1. Hej, här kan du använda additionsmetoden och det är lämpligt att förlänga den andra ekvationen med (-3) så att du kan eliminera y. Vi får då
      3x+6y=178,50
      -24x-6y=-504

      Nu adderar vi dessa ekvationer:
      3x+6y=178,50
      -24x-6y=-504 +
      ————————
      -21x = -325.5 (dividera med -21)
      x = 15,5

      Nu har vi x och kan lösa ut y och får då att y = 22.

      Simon Rybrand
  18. Hej Simon
    Jag jobbar med ekvationssystem med tre obekanta och jag fick fel svar. Det är så här.
    (1) x+2y+4z=16
    (2) 3x+5y-2z=12
    (3) -2x-y+z=-4

    Mvh
    Absuge

    Absuge
    1. Hej, jag kan hjälpa dig vidare med denna men skulle det gå bra om du istället klistrar in denna uppgift i vårt forum här så tar vi det därifrån och har lite mer plats att diskutera på.

      Simon Rybrand
  19. Hej.
    I uppgift 4 får jag x = -5 och y = 1/4. När jag sätter in 1/4 i en av lösningarna får jag 2x-(8*1/4)+12=0 -> 2x-2+12=0 -> 2x+10=0 -> 2x=-10 -> x=-5. Vad gör jag för fel?
    Med vänlig hälsning, Julia

    juliasofi
    1. Hej! Nej du gör inte fel där utan det är ett tecken som fattas i de sista uträkningarna i uppgiften och det skall vara -5, tack för att du påpekade det, vi har korrigerat testet.

      Simon Rybrand
  20. Hej, hur gör jag med dessa? Kan inte riktigt få fram vilket tal det är jag ska multiplicera med.

    3x – y + 7 = 0
    x + 2y – 7 = 0

    2x – 3y – 5 = 0
    3x – 5y – 9 = 0

    Finns det någon regel som säger vad det är man får multiplicera talen med eller gäller det enbart att hitta gemensam nämnare så att y tar ut varandra?

    Sedan undrar jag också vad det är som avgör vilket led man ska multiplicera in x-värdet i för att få ut Y ?

    Mvh/
    Camilla

    johansson50
    1. Hej Camilla, målet är att eliminera en av variablerna genom att multiplicera med ett tal innan ekvationerna adderas med varandra. Så om du siktar på att eliminera x eller y spelar egentligen ingen roll utan man försöker göra det så smidigt som möjligt. Tex i det exemplet du nämner:
      3x – y + 7 = 0
      x + 2y – 7 = 0

      Här ser det smidigt ut att multiplicera den övre ekvationen med 2 för att då får vi -2y där. Denna term kommer då att eliminera +2y i den andra ekvationen, dvs -2y + 2y = 0. Sedan har du bara en variabel kvar som du löser ut.

      När du väl har fått fram en variabels värde, t.ex. x, så sätter du in detta värde i någon av ekvationerna. Då kommer du kunna att lösa ut den andra variabeln. Om du känner att du vill resonera mer kring detta så använd gärna forumet så tar vi det därifrån.

      Simon Rybrand
  21. Hej , hur löser man :
    en rätt linje går genom (-3,5) och (a,2). den skär x axeln i punkten x=7. Bestäm a

    scaleo
    1. Hej eftersom du vet att den skär x – axeln i (7, 0) kan du använda detta tillsammans med punkten (-3, 5) för att ta reda på lutningen och m – värdet. Sedan sätter du in (a, 2) i den ekvation du får fram och kan på det viset ta fram värdet på a.

      Simon Rybrand
  22. Hur tänker man när det gäller denna=/

    3x+2y-5=0
    2y-3x+7=0

    mvh

    annab87
    1. Hej, eftersom du har +3x i den första ekvationen och -3x i den andra ekvationen så kommer denna variabel att elimineras när du adderar de bägge ekvationerna enligt:
      3x+2y-5=0
      + 2y-3x+7=0
      —————–
      4y + 2 = 0
      y = (-1/2)

      Sedan använder du detta svar för att lösa ut x

      Simon Rybrand
      1. okej, tack tack!

        annab87
  23. Mycket bra genomgång!

    minerva
  24. tack för snabbt och bra svar. Jag glömde bara byta tecken när jag flyttade över Y:et..

    slarv..

    JacobHP
  25. hej. varför blir svaret fel om man använder substitionsmetoden på samma uppgift? jag trodde det fungerade, bara att additionsmetoden fungerade bättre i detta fall. Antigen räknar jag fel, men jag får ett annat svar. på uppgiften x-y = 10 och 3x +y = 2

    JacobHP
    1. Hej Jakob, det stämmer att du skall kunna få samma svar med hjälp av substitutionsmetoden på samma ekvationssystem. Du skulle kunna ställa upp och lösa det med substitionsmetoden såhär:
      (1) x – y = 10 => x = 10 + y
      (2) 3x + y = 2
      ——————
      (1) i (2) ger att
      3(10 + y) + y = 2 <->
      30 + 3y + y = 2 <->
      30 + 4y = 2 <->
      4y = -28 <->
      y = -7
      ——————-
      (2) insatt i (1) ger att
      x – (-7) = 10 <->
      x = 3

      En något längre uträkning här alltså 😉

      Simon Rybrand

Endast premiumkunder kan kommentera. Prova Premium!

Prova Premium i 7 dagar för 9 kr

Därefter 89 kr per månad.
Avsluta prenumerationen när du vill.
SKAFFA PREMIUM
Nej tack. Inte just nu.

Vad är detta?
Här hittar du matematiska symboler som kan användas när du ställer frågor på forumet eller kommenterar. När du klickar på symbolen markeras denna, kopiera genom klicka med höger musknapp eller använda kortkommandot Ctrl-C (PC) / cmd-C (Mac)
Förhandsvisning Latex:
Latexkod: