...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Interaktivt material Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /      ██████████████████████████

Additionsmetoden

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

I den här lektionen lär du dig att använda additionsmetoden för att lösa linjära ekvationssystem.

Additionsmetoden är en algebraisk metod, tillsammans med substitionsmetoden, för att lösa linjära ekvationssystem. Det innebär att du med metoden kan lösa ekvationssystemet exakt.

Additionsmetoden

Metoden går ut på att du adderar de bägge ekvationerna på ett sätt så att en variabel elimineras (försvinner) i den ena ekvationen. Detta gör att den ekvationen blir lösbar. Du kan på detta vis få fram hela lösningen. Ofta kan man behöva multiplicera ena eller båda ekvationerna först. Detta för att en variabel skall kunna elimineras i additionen.

Så fungerar additionsmetoden

Additionsmetoden

När du löser linjära ekvationssystem med den här metoden innebär det att du gör på följande vis.

  1. Undersök först om du har motsatta tal i de bägge ekvationerna. Exempelvis är $2x$2x och $-2x$2x motsatta tal. Dessa två kommer att eliminera varandra om de adderas.
  2. Om du inte har motsatta tal så kan du multiplicera ena eller bägge ekvationerna först.
  3. Addera bägge ekvationerna ledvis.
  4. Lös den ekvationen som skapas.
  5. Använd din lösning och sätt in denna i någon av de ursprungliga ekvationerna för att få hela lösningen till ekvationssystemet.

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Principen bakom additionsmetoden

Nedan visas i en animation principen bakom additionsmetoden. Animationen visar hur balansen mellan vänsterledet och högerledet kvarstår när de bägge ekvationerna adderas.

Principen bakom additionsmetoden

Räkneexempel

Exempel 1 – Addera direkt

Använd additionsmetoden och lös ekvationssystemet
$\begin{cases} y+x=4 \quad (1) \\ 6x-y=3 \quad (2) \end{cases}$

Lösning

Här ser vi att vi har de två motsatta talen/termerna $y$y och $-y$y i ekvationerna. Vi kan därför addera dem direkt och eliminerar då en variabel.

Vi adderar de bägge ekvationerna ledvis
  (y+x=4)
+ (6x-y=3)
————-
7x=7

Vi kan lösa ekvationen
$7x=7$7x=7 Dela med 7
$x=1$x=1

Nu kan vi sätta in $x=1$x=1 i ekvation (1) för att ta reda på $y$y.
$y+1=4$y+1=4 Subtrahera med 1
$y=3$y=3

Vi har nu hela lösningen som är
$\begin{cases} x = 1 \\ y=3 \end{cases}$

Exempel 2 – Multiplicera först, sedan addera

Använd additionsmetoden och lös ekvationssystemet
$\begin{cases} y-x=1 \quad (1) \\ 3y+6x=21 \quad (2) \end{cases}$

Lösning

I det här ekvationssystemet har vi inga motsatta tal/termer. Så om vi adderar direkt så kommer ingen variabel att elimineras. Det vi då kan göra är att multiplicera ekvation (1) med $\left(-3\right)$(3) för att få termen $\left(-3y\right)$(3y). Denna kommer då att eliminera $3y$3y i ekvation (2).

När vi multiplicerar ekvation (1) med $\left(-3\right)$(3) så gör vi det på följande vis.

$\begin{cases} y·(-3)-x·(-3)=1·(-3) \quad (1) \\ 3y+6x=21 \quad (2) \end{cases}$

Då får vi ekvationssystemet

$\begin{cases} -3y+3x=-3 \quad (1) \\ 3y+6x=21 \quad (2) \end{cases}$

Nu kan vi addera de bägge ekvationerna ledvis.

 (-3y+3x=-3)
+ (3y+6x=21)
————–
-3y+3x+3y+6x=-3+21

Förenkla vänsterledet och högerledet så får du
 $9x=18$9x=18 Dela med 9
 $x=2$x=2

Nu kan vi sätta in $x=2$x=2 i ekvation (1) vilket ger oss följande

 $y-2=1$y2=1 Addera med 3
 $y=3$y=3 

Vi har nu hela lösningen som är
$\begin{cases} x = 2 \\ y=3 \end{cases}$

Exempel i videon

  • Lös ekvationssystemet $\begin{cases} x-y=10 \\ y+x=4\end{cases}$ med additionsmetoden.
  • Lös ekvationssystemet $\begin{cases} y+3x=6 \\ 4x+2y=10 \end{cases}$ med additionsmetoden.

Kommentarer

Hanna Nilsson

Hej!
Hur löser jag detta ekvationssystem med hjälp av additionsmetoden?
2x-y=3 (1)
15-2x=3y (2)

MVH Hanna

    Simon Rybrand (Moderator)

    I ekvation (1) har du termen +2x och i ekvation (2) har du termen -2x. Dessa två termer tar ut varandra när du adderar ekvationerna:
    2x-y=3
    15-2x=3y
    Addition ger
    2x-y+15-2x=3+3y
    -y+15=3+3y

    Nu har du bara en okänd variabel kvar!

David Ygge

På uppg. 7 så borde väl även -4 vara ett korrekt svar, man behöver ju faktiskt inte flytta om bland termerna för att eliminera y-termen:
-8y = -4x – 16 och 6 = x +8y ger genom additionsmetoden x = -4x – 10
Eller?

Mvh David

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, helt rätt. Du kan utföra elimineringen efter multiplikationen också.
    Vi korrigerar uppgiften.

Berkan991

som t.ex
5x-2y=7
7x+6y=45

    Simon Rybrand (Moderator)

    Ja där får du multiplicera ena eller bägge ekvationerna med något tal så att någon av variablerna tar ut varandra. Här är det enklast att multiplicera den översta ekvationen med 3 så att du får $-6y$ där. Sedan addera dem. Det kan se ut så här:
    $5x-2y=7 \quad \text{Multiplicera med 3}$
    $7x+6y=45$
    ——————
    $15x-6y=21$
    $7x+6y=45$
    ——————
    Vid addition av ekvationerna får du
    $ 22x=66 $
    $ x=3 $
    ——————
    Sedan blir det enkelt att lösa ut $y$

Berkan991

Hej!

Om en ekvation inte ha termer som inte tar ut varandra, ska man då multiplicera så att termerna kan ta ut varandra? Är det bara när man inte kan ta ut varandra man ska multiplicera?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Har du ett exempel som vi kan utgå ifrån? Det blir lättare att förklara då.

Simon Rybrand (Moderator)

Hej
Ett sätt (det finns flera vägar till lösningen) är att multiplicera den första ekvationen med $-3$ och en andra med $2$ vilket ger ekvationssystemet
-6x-12y=-177
6x+6y=126
När ekvationerna adderas med varandra elimineras variabeln x och vi får ekvationen
-6y=-51
y=8,5
Sedan kan du lösa ut x.

Komvux Sundsvall Elev

Hej! Jag skulle verkligen behöva hjälp med att lösa ut:

2x+4y=59
3x+3y=63

Jag har försökt att lösa ut talet genom förklaringen i boken men det blir bara fel och i mathleaks står det att man ska dividera den andra ekvationen med 3 och sedan multiplicera med (-4).. Blir bara helt förvirrad och vet inte längre hur jag ska göra! Tacksam för svar 🙂

Komvux Sundsvall Elev

Hej! Hur löser man

2x+4y =59
3x+3y =63

Jag har försökt att lösa talet genom förklaringarna i boken men det blir bara fel och i mathleaks står det att man ska dividera bort den andra ekvationen med 3 och sedan multiplicera med (-4).. J

nadja.pavlova.rashid92@gmail.com

Hej, jag undrar hur man bör tänka när man löser denna uppgift med hjälp av substitutionsmetoden…
4x+y= -9
6x=2y+4

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det kan vara lämpligt att lösa ut y i den översta ekvationen då du inte har någon koefficient (något tal) framför variabeln y.
    Du får då att
    $ y=-9-4x $
    Detta sätter du nu in (substituerar) i den andra ekvationen så att du får
    $ 6x=2(-9-4x)+4 ⇔$
    $ 6x=-18-8x+4 ⇔$
    $ 14x=-14 ⇔$
    $ x=-1 $
    Sedan använder du detta för att lösa ut $y$

Simon Rybrand (Moderator)

Hej!
Håller med, vi borde ta med lite fler ekvationer som liknar de du nämner, lägger in det i vår framtida utveckling av videos!
Så länge hjälper vi dig gärna vidare med de ekvationer som du behöver hjälp med på vårt forum som du hittar här.
Posta gärna dina frågor där, vi är inne och svarar alla vardagar.

veritas87

2x + 3y = -6
3x – 4y = 25

= 5x + y = 19

Och hur räknar jag sedan? Har jag räknat rätt här ovan?

Tacksam för svar!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Innan du adderar de bägge ekvationerna behöver du multiplicera dem med något så att du eliminerar en variabel. Du skulle kunna multiplicera den översta med 3 och den nedersta med (-2) får du:
    6x+9y=-18
    -6x+8y=-50
    När du nu adderar de bägge ekvationerna så kommer variabeln x att elimineras, du får alltså ekvationen
    17y=68
    y=4
    Sedan behöver du bara lösa ut x.

maggie liew

ok, det ska jag göra, tusen tack för ditt snabbt svar.

mvh
Maggie

Simon Rybrand (Moderator)

Hej!
Eftersom att det är flera uppgifter som du vill ha hjälp med så hänvisar jag detta till vårt forum. SKicka in frågan där så tar vi det därifrån 🙂 och det finns då mer plats att svara och diskutera på.

David Granlund

Hej, hur räknar jag ut (1) y=2x+2 (2) y=x-2 med hjälp av additionsmetoden, jag får ut fel svar och vet inte vad jag gör fel. 🙁

    Simon Rybrand (Moderator)

    $\begin{cases} y=2x+2 \quad \left(1\right) \\ y=x-2 \quad (2) \end{cases}$
    $\text{Multiplicera ekvation (1) med (-1)}$
    $\begin{cases} -y=-2x-2 \quad (1) \\ y=x-2 \quad (2) \end{cases}$
    $\text{Addera ekvationerna med varandra så att y elimineras}$
    $\quad -y={\left({-2}\right) \, {x}}-{2}$
    $+ \quad y={x}-{2}$
    $———————$
    $0=-x-4 ⇔$
    $x=-4$

    Vi sätter in detta i någon av ekvationerna och får att $ y = -6 $

    Hjälper detta dig att se hur du kan använda additionsmetoden för att lösa detta ekvationssystem?

jesibra

hej! har du ingen video på hur man använder substitionsmetoden? eller är substitutionmetoden och additionsmetoden samma sak?
Mvh jesibra

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, jo det finns, du hittar den här:
    https://matematikvideo.se/lektioner/linjara-ekvationssystem/

      tobias peterson

      Den verkar inte finnas kvar? Hittar ingen video alls om sub-metoden, har den raderats?

        Simon Rybrand (Moderator)

        Hej
        Kolla här: https://matematikvideo.se/lektioner/linjara-ekvationssystem/
        Länken var felaktig

lovisa

Hej!!
Har problem här:
2x-8y+12=0

x-12y+8=0

Jag har försökt multiplicera in -2 i ekvation 2 men får inte rätt på det!

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tycker att det verkar vara en bra idé att multiplicera in -2 i ekvation 2:
    2x-8y+12=0
    -2x+24y-16=0
    Addera så ges ekvationen
    16y-4=0
    y=1/4
    Lös sedan ut x.

Ulrica Pinones Gunnarsson

Hej,
Jag har fastnat, säkert jätte enkelt.

Hur löser man denna?

X+Y=6
Y=3X-2

MVH Ulrica

    Simon Rybrand (Moderator)

    (1) x+y=6
    (2) y=3x-2

    Från ekvation (1) kan du lösa ut x = 6 – y
    Substituera nu x i ekvation (2) mot 6 – y:
    y=3(6-y)-2 ⇔
    y = 18 – 3y – 2 ⇔
    y = 16 – 3y ⇔
    4y = 16
    y = 4

    Vi kan nu ta fram x genom att sätt in y i (1) vilket ger x = 6 – 4 = 2
    Alltså:
    x = 2
    y = 4

melker

hej!
jag jobbar med ekvationssystem
kan du lösa detta
3x+6y=178,50
8x+2y=168
och förklara hur du gjorde?

mvh

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, här kan du använda additionsmetoden och det är lämpligt att förlänga den andra ekvationen med (-3) så att du kan eliminera y. Vi får då
    3x+6y=178,50
    -24x-6y=-504

    Nu adderar vi dessa ekvationer:
    3x+6y=178,50
    -24x-6y=-504 +
    ————————
    -21x = -325.5 (dividera med -21)
    x = 15,5

    Nu har vi x och kan lösa ut y och får då att y = 22.

Simon Rybrand (Moderator)

Hej, jag kan hjälpa dig vidare med denna men skulle det gå bra om du istället klistrar in denna uppgift i vårt forum här så tar vi det därifrån och har lite mer plats att diskutera på.

juliasofi

Hej.
I uppgift 4 får jag x = -5 och y = 1/4. När jag sätter in 1/4 i en av lösningarna får jag 2x-(8*1/4)+12=0 -> 2x-2+12=0 -> 2x+10=0 -> 2x=-10 -> x=-5. Vad gör jag för fel?
Med vänlig hälsning, Julia

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej! Nej du gör inte fel där utan det är ett tecken som fattas i de sista uträkningarna i uppgiften och det skall vara -5, tack för att du påpekade det, vi har korrigerat testet.

johansson50

Hej, hur gör jag med dessa? Kan inte riktigt få fram vilket tal det är jag ska multiplicera med.

3x – y + 7 = 0
x + 2y – 7 = 0

2x – 3y – 5 = 0
3x – 5y – 9 = 0

Finns det någon regel som säger vad det är man får multiplicera talen med eller gäller det enbart att hitta gemensam nämnare så att y tar ut varandra?

Sedan undrar jag också vad det är som avgör vilket led man ska multiplicera in x-värdet i för att få ut Y ?

Mvh/
Camilla

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Camilla, målet är att eliminera en av variablerna genom att multiplicera med ett tal innan ekvationerna adderas med varandra. Så om du siktar på att eliminera x eller y spelar egentligen ingen roll utan man försöker göra det så smidigt som möjligt. Tex i det exemplet du nämner:
    3x – y + 7 = 0
    x + 2y – 7 = 0

    Här ser det smidigt ut att multiplicera den övre ekvationen med 2 för att då får vi -2y där. Denna term kommer då att eliminera +2y i den andra ekvationen, dvs -2y + 2y = 0. Sedan har du bara en variabel kvar som du löser ut.

    När du väl har fått fram en variabels värde, t.ex. x, så sätter du in detta värde i någon av ekvationerna. Då kommer du kunna att lösa ut den andra variabeln.

scaleo

Hej , hur löser man :
en rätt linje går genom (-3,5) och (a,2). den skär x axeln i punkten x=7. Bestäm a

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej eftersom du vet att den skär x – axeln i (7, 0) kan du använda detta tillsammans med punkten (-3, 5) för att ta reda på lutningen och m – värdet. Sedan sätter du in (a, 2) i den ekvation du får fram och kan på det viset ta fram värdet på a.

annab87

Hur tänker man när det gäller denna=/

3x+2y-5=0
2y-3x+7=0

mvh

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, eftersom du har +3x i den första ekvationen och -3x i den andra ekvationen så kommer denna variabel att elimineras när du adderar de bägge ekvationerna enligt:
    3x+2y-5=0
    + 2y-3x+7=0
    —————–
    4y + 2 = 0
    y = (-1/2)

    Sedan använder du detta svar för att lösa ut x

      annab87

      okej, tack tack!

minerva

Mycket bra genomgång!

JacobHP

tack för snabbt och bra svar. Jag glömde bara byta tecken när jag flyttade över Y:et..

slarv..

JacobHP

hej. varför blir svaret fel om man använder substitionsmetoden på samma uppgift? jag trodde det fungerade, bara att additionsmetoden fungerade bättre i detta fall. Antigen räknar jag fel, men jag får ett annat svar. på uppgiften x-y = 10 och 3x +y = 2

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Jakob, det stämmer att du skall kunna få samma svar med hjälp av substitutionsmetoden på samma ekvationssystem. Du skulle kunna ställa upp och lösa det med substitionsmetoden såhär:
    (1) x – y = 10 => x = 10 + y
    (2) 3x + y = 2
    ——————
    (1) i (2) ger att
    3(10 + y) + y = 2 <->
    30 + 3y + y = 2 <->
    30 + 4y = 2 <->
    4y = -28 <->
    y = -7
    ——————-
    (2) insatt i (1) ger att
    x – (-7) = 10 <->
    x = 3

    En något längre uträkning här alltså 😉


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (6)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket tal ska du förlänga ekvation $(1)$(1) med för att eliminera $x$x -termerna om du använder additionsmetoden?

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationssystemet med additionsmetoden.

    $\begin{cases} 2x+y=5 \\ x-y=1 \end{cases}$

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationssystemet med additionsmetoden.

    $\begin{cases} 3x+y=4 \\ -3x+2y=-10 \end{cases}$

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationssystemet med additionsmetoden.

    $\begin{cases} x+y=4 \\ 2x-3y=-7 \end{cases}$

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P2
    PL
    M
    R
    K

    Lös ekvationssystemet med additionsmetoden.

    $\begin{cases} 2x-8y+12=0 \\ x-12y+8=0 \end{cases}$

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R1
    K

    Kim har löst ekvationssystemet med hjälp av additionsmetoden.
    Studera lösningen och välj det påstående du tycker stämmer bäst.

    Evationssystem_felsokning

    Rättar...

c-uppgifter (2)

  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket tal ska du förlänga ekvation $(1)$(1) med för att eliminera $y$y-termerna om du använder additionsmetoden?

    $\begin{cases} 2y=x+4\,\,\,\qquad (1) \\ -8y+6=x  \qquad (2)  \end{cases}$

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B
    P
    PL
    M
    R1
    K

    Bestäm $k$k så att $x$x-termerna elimineras när du använder additionsmetoden, utan att du behöver förlänga eller förkorta någon av ekvationerna.

    $\begin{cases} y=kx+m \\ f(x)=ax+b\end{cases}$

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar