...
Testa premium Kurser Alla kurser Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Förälder Blogg Om oss Kontakt Läxhjälp matemtaik Hjälp & guider
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärar-registrering Logga in
EXEMPEL I VIDEON   Lektionsrapport   Hjälp Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
 ███████████████
    /        ██████████████████████████

Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning

Absolutbelopp

Absolutbeloppet eller det absoluta beloppet för ett komplext tal, innebär avståndet från origo upp till punkten i det komplexa talplanet för det komplexa talet. Man räknar ut detta genom att använda sig av Pythagoras sats för en rätvinklig triangel.

Absolutbeloppet och komplexa konjugatet

Själva beteckningen av absolutbeloppet för ett komplext tal z är $|z|$. När man betecknar ett komplext tal sätter man alltså två lodrät streck på var sida om det komplexa talet.

Absolutbeloppet beräknas på följande vis.

Definition av absolutbeloppet för ett komplext tal

Om $ z = a+bi $ gäller att

$ |z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} $

Som du ser ska inte $i$i ingå i beräkningen av talets absolutbelopp. Vi tittar på några exempel på beräkningar av absolutbeloppet.

Exempel 1

Bestäm $|z|$ då $ z=5+12i $

Lösning

Vi använder oss att definitionen av absolutbeloppet för ett komplext tal och får att.

$|z|= \sqrt{5^2+12^2}= \sqrt{25+144} = $ $ \sqrt{169} = 13 $

Vi tar två liknande exempel till. Observera att vi lika gärna kan använda oss av absolutbeloppet av talen då  $\left(-a\right)^2=a^2$(a)2=a2

Exempel 2

Bestäm $|z|$ då $ z=-2-3i $

Lösning

Vi kan utnyttja att $|-2|=2$ och $|-3|=3$ och får att

$|z|= \sqrt{2^2+3^2}= \sqrt{4+9} =$ $ \sqrt{13} ≈ 3,606 $

Exempel 3

Bestäm $|z|$ då $z=\sqrt{6}+\sqrt{2}i$z=6+2i 

Lösning

Vi bestämmer absolutbeloppet på följande vis.

 $\left|z\right|=\sqrt{\sqrt{6}^2+\sqrt{2}^2=}\sqrt{6+2}=\sqrt{8}$|z|=62+22=6+2=8 

...
Ny här?
Så funkar Premium
  • 600+ videolektioner till gymnasiet och högstadiets matte.
  • 4000+ övningsfrågor med fullständiga förklaringar.
  • Heltäckande för din kursplan. Allt på ett ställe.
  • Träning inför nationella prov och högskoleprovet.
Ingen bindningstid. Avsluta när du vill.

Det komplexa konjugatet

Det komplexa konjugatet betecknar man istället med ett streck ovanför det komplexa talet och uttrycker sig genom ”z tak”, dvs $ \overline{z} $ och med matematiskt språk för att beskriva det komplexa konjugatet. Konjugatet innebär att man byter tecken på den imaginära delen av det komplexa talet.

Definition av det komplexa konjugatet för ett komplext tal

Om $ z = a+bi $ gäller att

$ \overline{z}=a-bi $

Först tar vi ett exempel på framtagning av ett komplext konjugat.

Exempel 4

Ange det komplexa konjugatet till 

a) $z = 5 – 2i$

b) $z = -10 + i$

Lösning

För det komplexa talet $z = a – bi$ är det komplexa konjugatet enligt definitionen $ \overline{z} = a + bi $. Därför får vi som följer.

a) För det komplexa talet $z = 5 – 2i$ är det komplexa konjugatet enligt definitionen $ \overline{z} = 5 + 2i $.

b) För det komplexa talet $z = -10 + i$ är det komplexa konjugatet enligt definitionen$ \overline{z}= -10 +(- i)= -10 – i $.

Nyttan med komplexa konjugat

Nyttan med konjugatet är framförallt att när det multipliceras med sitt komplexa konjugat enligt $ z \cdot \overline{z} $ så får man ett reellt svar. Detta används när man skall förenkla och dividera komplexa tal eller när man löser ekvationer med komplexa tal.

Exempel 5

Beräkna $z\cdot\overline{z}$z·z  om $z=3+3i$z=3+3i.

Lösning

Vårt komplexa tal    Våt komplexa tal$z=3+3i$z=3+3i   ger att dess komplexa konjugat är   $\overline{z}=3-3i$z=33i.

Vi beräknar produkten med hjälp av konjugatregeln.

 $z\cdot\overline{z}=\left(3+3i\right)\cdot\left(3-3i\right)=9-9i^2$z·z=(3+3i)·(33i)=99i2 

Då  $i^2=-1$i2=1 ersätter vi med detta i vårt uttryck.

 $9-9i^2=9-9\cdot\left(-1\right)=9+9=18$99i2=99·(1)=9+9=18 

Som resultat får vi alltså endast ett reellt tal $18$18.

För alla komplexa tal $z$z  gäller att produkten av $z$z  och dess konjugat  $\overline{z}$z  är ett reellt tal som är större eller lika med noll. Med matematiska symboler skriver vi det som att

Produkten av ett komplext tal  $z$z och dess konjugat  $\overline{z}$z 

 $z\cdot\overline{z}\ge0$z·z0 

Exempel i videon

  • Markera $z = 3 + 4i$ i det komplexa talplanet och beräkna absolutbeloppet.
  • Markera $z = -3 – 4i$ i det komplexa talplanet och beräkna absolutbeloppet.
  • Bestäm $\overline{z}$ då $z = -5 – 2i$. Markera bägge talen i ett det komplexa talplanet.

Kommentarer

rossul alhasnawi

hej
i Exempel 6 du har skrivit
z⋅z¯=(3+3i)⋅(3−3i)=9−9i+9i−3i2
frågan är hur blev det 3i^2 men inte 9i^2 ???? eller

    Simon Rybrand (Moderator)

    Tack för din kommentar.
    Det var fel där i ett steg, det är korrigerat!

darrrrUC

På exempel 2 så är talet z = -3 -4i då borde väll koordinaten vara (-3,-4) men den sätts ut i videon på (-4, -3) Har jag missat något eller är det fel i videon? realdelen är väll -3 och imaginärdelen -4?

mvh Emil

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej
    Det har slunkit in ett fel i videon där, det skall ordnas så fort som möjligt. Tack för att du sade till!

      thronell

      Det där felet är inte rättat ännu 🙂

        Mikael144600

        Felet är fortfarande kvar 🙂

          Simon Rybrand (Moderator)

          Nu är det fixat!

natsu25

på fråga 4 skrev du att enligt konjugatregeln blir svaret:
1−3i+3i−9i2=1+9=10.
vad jag inte förstår är hur 1-9i^2 blir 1+9?

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det kommer ifrån att inom området komplexa tal så definierar man $ i^2 = -1 $.
    Detta gör att du får
    $ 1-9i^2 = 1-9⋅(-1) = 1+9 = 10 $

Sussicake

svaret på nr.3 står att det är roten ur 13. Vart tar minuset på 3an vägen? 🙂

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej!
    Om du beräknar $(-3)^3$ så är detta samma sak som $ (-3)(-3) = 9 $, dvs multiplikation av två negativa tal ger en positiv produkt.

Leila

Tack så mycket!

BotenAnnie

du är grym! tack


Endast Premium-användare kan kommentera.

e-uppgifter (7)

  • 1. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Låt $z=2-3i$, vad är $\overline{z}$?

    Rättar...
  • 2. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Med vilken sats/regel kan vi beräkna avståndet till ett komplext tal från origo i det komplexa talplanet?

    Rättar...
  • 3. Premium

    Rapportera fel
    (2/0/0)
    ECA
    B1
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Vilket av nedanstående komplexa tal ligger närmast origo i det komplexa talplanet?

    Rättar...
  • ...
    Upptäck ett bättre
    sätt att lära sig
    "Ni hjälpte mig in på min drömutbildning. Handelshögskolan i Stockholm. Kunde inte vara mer tacksam för er tjänst!" -Emil C.
  • 4. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Låt $z=1+2i$, beräkna absolutbeloppet $|z|$.

    Rättar...
  • 5. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Låt $z=2-3i$. Beräkna $|z|$.

    Rättar...
  • 6. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Bestäm $\left|z\right|$|z| då $z=\sqrt{4}+\sqrt{2}i$z=4+2i

    Rättar...
  • 7. Premium

    Rapportera fel
    (1/0/0)
    ECA
    B
    P1
    PL
    M
    R
    K

    Beräkna $z \cdot \overline{z}$ då $z=1+3i$.

    Rättar...

c-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Rapportera fel
    (0/1/0)
    ECA
    B1
    P
    PL
    M
    R
    K

    Låt $w$ vara ett komplext tal, vad är $Im(\overline{w})$?

    Rättar...
...
Upptäck ett bättre
sätt att lära sig
Gör som 100.000+ andra och nå dina mål
med Matematikvideo Premium.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar