Deriveringsregler

Funktionen  $f\left(x\right)=x^n$ƒ (x)=xⁿ   har derivatan  $f´\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}$ƒ ´(x)=n·xⁿ⁻¹ 

och

För alla funktioner  $f\left(x\right)=k\cdot g\left(x\right)$ƒ (x)=k·g(x)  där $k$k är en konstant, gäller att  $f´\left(x\right)=k\cdot g´\left(x\right)$ƒ ´(x)=k·g´(x)    

 $D\left(f+g\right)=f´+g´$D(ƒ +g)=ƒ ´+g´ 

En potensfunktion $f\left(x\right)=kx^n$ƒ (x)=kxⁿ, där $k$k är en konstant har derivatan

 $f´\left(x\right)=n\cdot k\cdot x^{n-1}$ƒ ´(x)=n·k·xⁿ⁻¹

Dessutom gäller att

• Du får derivera term för term, d.v.s om vi har flera termer deriverar du varje term för sig.
• Derivatan av en konstant, t.ex.  $4,5,100,-10$4,5,100,−10  är noll.

Ofta behöver potensfunktioner skrivas om med potensregler för att bli lättare att derivera. De potensregler som då används är:

1)  $a^{-n}=$a⁻ⁿ=  $\frac{1}{a^n}$1aⁿ  
2)  $\sqrt{x}=x^{1/2}$√x=x^1/2 

 $f(x)=a^{kx}$ƒ (x)=a^kx  där  $a>0$a>0  har derivatan $f´(x)=a^{kx}\cdot k\cdot lna$ƒ ´(x)=a^kx·k·lna 

 $f\left(x\right)=a\cdot e^{kx}$ƒ (x)=a·e^kx har derivatan  $f´\left(x\right)=k\cdot a\cdot e^{kx}$ƒ ´(x)=k·a·e^kx 

 $f\left(x\right)=k\cdot\ln x$ƒ (x)=k·lnx  där $x>0$x>0 har derivatan

 $f´\left(x\right)=$ƒ ´(x)= $\frac{k}{x}$kx   

 $f(x)=\sin x$ƒ (x)=sinx  har derivatan  $f´(x)=\cos x$ƒ ´(x)=cosx 

 $f(x)=\cos x$ƒ (x)=cosx  har derivatan  $f´(x)=-\sin x$ƒ ´(x)=−sinx 

 $f(x)=\tan x$ƒ (x)=tanx  har derivatan  $f´(x)=$ƒ ´(x)= $\frac{1}{\cos^2x}$1cos²x  

 $y=f\left(g\left(x\right)\right)$y=ƒ (g(x)) har derivatan

 $y´=f´\left(g\left(x\right)\right)\cdot g´\left(x\right)$y´=ƒ ´(g(x))·g´(x) 

•  $f´\left(g\left(x\right)\right)$ƒ ´(g(x)) kallas för den yttre derivatan.
•  $g´\left(x\right)$g´(x) kallas för den inre derivatan.

 $y=f(x)\cdot g(x)$y=ƒ (x)·g(x)  har derivatan $y´=f´(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g´x)$y´=ƒ ´(x)·g(x)+ƒ (x)·g´x) 

 $y=$y=  $\frac{f(x)}{g(x)}$ƒ (x)g(x)   där $g\left(x\right)\ne0$g(x)≠0 har derivatan $y´=$y´= $\frac{f´(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g´x)}{(g(x))^2}$ƒ ´(x)·g(x)−ƒ (x)·g´x)(g(x))²