Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Trigonometri och trigonometriska funktioner
Derivera sin x och cos x - Kedjeregeln
Innehåll
Deriveringsregler för cosinus och sinus
För funktioner som innehåller sinus, cosinus och tangens gäller att att de har följande derivator.
$ y = \sin x $ har derivatan $ y´=\cos x $
$ y = \cos x $ har derivatan $ y´=-\sin x $
$ y = \tan x $ har derivatan $ y´=\frac{1}{\cos^2x} $
Kedjeregeln
När man har en funktion som består av en ”inre” funktion behöver man använda den så kallade kedjeregeln för att kunna derivera rätt. Denna säger att om man har en funktion enligt $f(g(x))$ så blir derivatan av denna $f ’(g(x)) \cdot g’(x)$. Dvs man tar den yttre derivatan och multiplicerar med den inre derivatan.
$ y=f(g(x))$ har derivatan $ f´(g(x)) \cdot g´(x) $
Exempel på att derivera med kedjeregeln
Nedan följer två exempel på hur du kan se den inre funktionen och derivera med hjälp av kedjeregeln.
Exempel 1
Derivera $ f(x)=sin^3x $.
Lösning:
Här gäller att den inre funktionen är $ u=sinx$ och den yttre blir då $ u^3 $.
$ f´(x)=3sin^2x \cdot cosx $
Exempel 2
Derivera $ f(x)=cos(4x-90) $.
Lösning:
Här gäller att den inre funktionen är $ u=4x-90$ och den yttre blir då $ cosu $.
$ f´(x)=-sin(4x-90) \cdot 4 = -4sin(4x-90) $
Exempel i videon
- Derivera $ f(x)=2sinx $.
- Derivera $ f(x)=-sinx $.
- Derivera $ f(x)=2x+cosx $.
- Derivera $ f(x)=sin(4x) $.
- Derivera $ f(x)=2sinx $.
- Derivera $ f(x)=sin^2x $.
- Derivera $ f(x)=2cos(3x+1) $.
- Derivera $ f(x)=\sqrt{x+1}$.
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (2)
-
1. Premium
Vad blir derivatan av $f(x)=-\frac{1}{2}sin(x)$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
2. Premium
Derivera $y=cos(2x+1)$
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
Armend Berisha
Ska man inte derivera term för term?
Syftar på fråga 1, sin(x) blir ju cos(x) men borde inte -(1/2) bli = 0? Att derivera en konstant ska inte gå enligt det jag lärt mig.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej,
Det är samt att derivatan av en konstant är lika med noll. En konstant är ju just konstant och har därmed ingen förändring, vilket är det derivatan motsvarar.
Men i denna uppgift är $-\frac{1}{2}$ inte en konstant utan en koefficient. Alltså den konstanta faktor variabeln multipliceras med. Och koefficienten har inte derivatan noll, utan förblir en faktor som derivatans värde, förändringen, ska multipliceras med.
Så hade det stått $y=-\frac{1}{2}+\sin(x)$ hade derivatan varit $y=-0 + \cos(x)=\cos(x)$. Men i denna uppgiften är $-\frac{1}{2}$ en koefficient, inte en konstantterm.
randsara
hej Simon!
jag har en fråga här som jag inte kunde lösa
bestäm det exakta värde f´ ( pi/4)
f(X)= sinx/2 – cosx/3 ?
hur ska man bestämma exakta värde här ?
Simon Rybrand (Moderator)
Jag antar att du menar
$ f(x) = \frac{sinx}{2}-\frac{cosx}{3} $
Först så deriverar du funktionen så att du får:
$f'(x)=\frac{cosx}{2}+\frac{sinx}{3}$
Nu sätter vi in $\pi/4$
$ f'(\pi/4)=\frac{cos(\pi/4)}{2}+\frac{sin(\pi/4)}{3}=$
(ta fram exakta trigonometriska värden genom exempelvis en formelsamling)
$ \frac{1/\sqrt{2}}{2}+\frac{1/\sqrt{2}}{3} = $
$ \frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}} $
Maria
Hej jag har försökt lösa det här talet men jag får olika svar
En tangent dras till kurvan i X= Pi/3
Ange tangentens ekvation
Då y= 2sin(X+2)
Tack på förhand!
Leila
Sista frågan som kattla ställde:
Jag har svarat så:
-3 sin x (2+cos x)^2
Har jag svarat rätt?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, ja det är samma sak som vi nämner ovan.
Leila
Hej Simon!
Jag har slutprov övermorgon. Det känns mycket mindre nervös nu när jag pluggar med hjälp av matematikvideo. Jag rekomenderar denna sida till alla mina vänner som pluggar matte med:)
Den perfekta undervisningen!
TACK!
Med vänlig hälsning,
Leila
Simon Rybrand (Moderator)
Kul att höra, lycka till med provet!
kattla
Hej och tack för en mycket bra sida som kommer rädda mina studier! Jag har lärt mig mer på några minuter här än efter ett helt kapitel i boken!
Jag är dock lite osäker på en uppgift. y=(2+cosx)^3
Jag har följ din video och kommit fram till följande.
Inre funktionen:(2+cos x)=u
Inre derivata: u’=-sinx
Yttre funktionen: u^3
Yttre derivata: 3u^2=3(2+cosx)^2
Detta ger:
y’=3u^2∙u’ = 3(2+cosx)^2∙(-sinx) =3(cosx)^2 ∙(- sinx)
När jag skriver in funktionen på tex wolfram alpha så står det att derivatan till funktionen blir:
-3(2+cos(x))^2∙sin(x)
Vart har jag gjort fel i min uträkning? Eller är det så enkelt att man multiplicerat -1 framför sin x med 3an framför första parentesen? Borde man inte ta bort konstanten 2 när man deriverar?
Mvh
Kattis
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Kattis, du är mycket nära rätt lösning där och det är bara den yttre derivatan som blir fel, du tar bort 2:an där vilket du inte skall göra. Jag skriver derivatan här och förenklar den även så att du ser likheten med wolfram:
$ y = (2+cosx)^3 $
$ y´ = 3⋅(2+cosx)^2 ⋅ (-sinx) = $
$ -3⋅(2+cosx)^2 ⋅ sinx $
På slutet läggs minustecknet framför 3:an istället, hoppas att detta hjälper dig att förstå!
kattla
Tack så mycket!
Sebastian
Hej!
Jag undrar hur man deriverar sinx/2 ?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Sebastian, när man deriverar det så får du
$ f´(x) = \frac{cosx}{2} $
emmaknutsdotter
Hej! Jag har fastnat på en typ av tal som jag inte hittar i din video.
sin(3x-pi/4)
2cos pi-3x/12
Jätte snällt om du ville förklara dessa! Det är svårt att de vad som är inre och yttre derivata…
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det brukar vara lite krångligt att komma på vad som är inre och yttre derivata i början så det får man träna på en del.
I funktionen y = sin(3x-pi/4) så har du den inre derivatan inom parantesen, så derivatan är
$ y’ = cos(3x – \pi/4) \cdot 3 = 3cos(3x – \pi/4) $
Den andra derivatan löser du på samma vis.
David Stephan
Jag anade att det talet var en konstant 🙂 Tack Simon för en grym sida! Du hjälper många genom att förenkla matten, och inte som många läroverk gör, dvs. komplicerar mer än nödvändigt.
David Stephan
Tjena Simon! Har en fråga gällande derivering. Om en inre funktion ser ut t.ex. så här: (x – 5a), deriverar man endast x? eller även 5a? Antingen bara 1, eller 1 – 5 som blir isåfall -4?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej David,
Antagligen så är det så att med a menas en konstant, dvs ett tal, så denna konstant deriveras som vilken konstant som helst. Så om vi exempelvis har funktionen
$ f(x) = (x – 5a)^3 $
$ f'(x) = 3(x – 5a)^2 \cdot 1 $
för att derivatan av x – 5a är 1 – 0 = 1
Gunilla Jacobsson
Hej! Jag försöker lösa följande tal men utan att lyckas: $ sin^4(2x-1) $. Fyran efter sin är upphöjt. Ger detta tal dubbla inre och yttre funktioner och derivata?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Gunilla,
Ja det stämmer att det ger ”dubbla” inre funktioner då även den inre funktionen har en inre funktion.
Vi har alltså
$ y = sin^4(2x-1) = (sin(2x-1))^4 $
Derivatan blir då
$ y ’ = 4(sin(2x-1))^3⋅( cos(2x – 1)⋅2 ) = $
$ y ’ = 4(sin(2x-1))^3⋅2cos(2x – 1) = $
$ y ’ = 8sin^3(2x-1)⋅cos(2x – 1) $
Gunilla Jacobsson
Tack Simon! Vet inte om jag hade klarat matematik 4 utan matematikvideo. Rekommenderar den här sidan till alla mina vänner som pluggar matte!
Endast Premium-användare kan kommentera.