Nationellt prov Matematik 3b ht 2012 DEL D

Bestäm det värde på $x$x där derivatan till $f(x)=x^2+5x$ƒ (x)=x²+5x  är lika med derivatan till $g(x)=-5x^2+14x$g(x)=−5x²+14x.

Kanadagåsen infördes till Sverige på $1930$1930-talet. Därefter har populationen ökat. Vid samma tidpunkt varje år görs en inventering av antalet kanadagäss.

Populationens tillväxt kan beskrivas med en exponentiell modell. Diagrammet nedan visar antalet kanadagäss $K$K som funktion av tiden $t$t år, där $t=0$t=0 motsvarar år $1977$1977.

a) Bestäm ett närmevärde till $K´(30)$K´(30) med hjälp av grafen.

b) Ge en tolkning av vad $K´(20)=800$K´(20)‍=800 betyder för antalet kanadagäss i detta sammanhang.

Marcel tänker sätta in $2000$2000 kr på ett sparkonto i slutet av varje år. Han tänker göra sin första insättning i slutet av år $2013$2013 och den sista i slutet av år $2020$2020. Marcel räknar med en årlig ränta på $2\%$2%.

Hur mycket pengar kommer han att ha på sitt konto omedelbart efter den sista insättningen?

Sture har ett enmansföretag som köper in färdiga trädetaljer i furu. Han tillverkar enbart två produkter, pallar och byråer. Stures arbetsuppgifter består av att montera och lacka dessa, vilket han inte kan göra samtidigt.

Följande data gäller för hans produktion:

a) Sture får en order på $40$40 pallar och $10$10 byråer. Hinner han tillverka dessa under en arbetsvecka?

b) Beräkna den maximala vinst Sture kan göra på en arbetsvecka, utifrån den tillgängliga datan för hans produktion.

Är följande påstående korrekt? 

 $F\left(x\right)=3e^x$F(x)=3e^x är en primitiv funktion till $f\left(x\right)=e^{3x}$ƒ (x)=e^3x

Motivera ditt svar.

Är följande påstående korrekt? Grafen till $f\left(x\right)=x^3+ax$ƒ (x)=x³+ax har tre olika nollställen om konstanten $a\le0$a≤0

Motivera ditt svar.

Karolina häller upp en kopp kaffe i ett rum där temperaturen är $20$20 °C. Hon mäter kaffets temperatur direkt och därefter varje minut under de första fem minuterna. Karolina anpassar sedan en matematisk modell till sina mätvärden

 $T(t)=95e^{-0,039t}$T(t)=95e^−0,039t

där $T$T är kaffets temperatur i °C och $t$t är tiden i minuter efter att Karolina startade sin mätning av temperaturen.

a) Bestäm temperaturen hos kaffet då Karolina startade sin mätning.

b) Bestäm med hur många procent temperaturen hos kaffet minskar per minut.

c) Karolinas modell stämmer väl överens med verkligheten i början. Utvärdera hur väl hennes modell stämmer överens med verkligheten över tid.

Italienaren Tartaglia var en matematiker som levde på $1500$1500-talet. Han anses ha formulerat följande matematiska problem, här återgivet i modern översättning

Summan av två positiva tal är $8$8. Bestäm talen så att produkten av talens differens och talens produkt blir så stor som möjligt.

Din uppgift är att lösa Tartaglias matematiska problem.

För en tredjegradsfunktion $f$ƒ  gäller att

• $f´(2)=-1$ƒ ´(2)‍=−1
• $f´´(4)=0$ƒ ´´(4)=0

Bestäm $f´(6)$ƒ ´(6)

När Mario föds bestämmer sig hans mormor för att spara pengar åt honom i en burk. Mormor tänker lägga ett belopp som motsvarar kvadraten av Marios ålder multiplicerat med $100$100, varje gång han fyller år. Marios farbröder Sergio och Riccardo funderar över hur mycket pengar mormor kommer att ha i burken på Marios $6$6-årsdag. Sergio säger: –Man får reda på hur mycket pengar som finns i burken genom att beräkna integralen $\int_0^6100x^2dx$∫₀⁶100‍x²dx. Riccardo funderar ett tag och svarar: –Nej, den ger ett för litet värde. Förklara varför integralen ovan ger ett för litet värde om man använder den för att räkna ut hur mycket pengar det finns i burken på Marios $6$6-årsdag.