Huvudräkning – Några strategier

2021-09-27 Av Simon Rybrand 11 kommentarer

Att kunna utföra beräkningar ”i huvudet” utan papper, penna eller räknare kan vara väldigt användbart. Detta är också något som du kan utveckla och förbättra så att du blir snabbare och mer säker. I det här blogginlägget tänkte jag att vi skall gå igenom några strategier som kan vara användbara att kunna.

Innehåll

• Huvudräkning och dess användningsområde
• Strategi för huvudräkning med addition och subtraktion
• Strategi för multiplikation och division
• Dubbelt-hälften strategin
• Strategi för stora kvadrater
• Har du egna strategier?

Huvudräkning och dess användningsområde

Förutom att huvudräkning kan vara väldigt användbart i vardagen så är det även bra att kunna i de olika matematikkurserna. Bland annat för allmän hjärnträning men också för att snabba upp vissa enklare beräkningar. På vissa delar av de nationella proven så är det ju inte tillåtet att använda sig av en räknare eller grafritande räknare så då är det bra att vara förberedd på det.

Det börjar ju även närma sig höstens högskoleprov och där är det ju inte tillåtet alls att använda en räknare på matematikdelarna. På det provet är ju även snabbheten i överslagsräkning och huvudräkning av stor vikt. Då är det minst sagt viktigt att ha en bra strategi.

Strategi för huvudräkning med addition och subtraktion

Den vanligaste strategin för att beräkna addition och subtraktion av tal i huvudet är att dela upp talen i ental, tiotal, hundratal, tusental o.s.v. För att exemplifiera det så kan vi pröva att göra det med beräkningen $437+51$437+51 . Uppdelningen skulle då så ut på följande vis i skrift.

$437+51=400+30+50+7+1$437+51=400+30+50+7+1

Då har vi delat upp det i hundratal, tiotal och ental. Då är det enklare att ta nästa steg som troligtvis ser ut så här ”i huvudet”.

$480+8=488$480+8=488

Ibland kan det vara lättare att använda sig av nära tal. Exempel på nära tal kan vara 9 och 11, 19 och 21 eller 28 och 32. Tanken med att tänka att dessa tal är nära varandra är att de ligger nära vissa tiotal.

Vi kan använda oss av additionen  $9+21$9+21  som ett första exempel. Här är nio nära tio och tjugoett är nära tjugo. Nio är ett mindre än tio och tjugoett är ett mer än tjugo. Ett sätt att utföra denna beräkningen i sitt huvud kan då vara att göra den på följande vis.

$9+21=10+20=30$9+21=10+20=30

Hör ökar vi 9 med ett och minskar 21 med ett. Summan kommer att vara densamma.

Ett liknande exempel men med subtraktion skulle kunna vara följande.

$493-487=\left(493+3\right)-\left(487+3\right)$493−487=(493+3)−(487+3) $=496-490=6$=496−490=6

Här ovan ökar vi på de nära talen med tre vardera. Det som händer då är att det tal vi subtrahera med blir ett jämnt tiotal och det blir lätt att se att differensen är $6$6.

Strategi för multiplikation och division

Även vid multiplikation och division kan vi använda oss av strategin att dela upp talen i ental, tiotal, hundratal, tusental o.s.v. Låt oss se hur det fungerar med en multiplikation där vi skall beräkna $8\cdot124$8·124.

$8\cdot124=8\cdot100+8\cdot20+8\cdot4$8·124=8·100+8·20+8·4

Här delar vi först upp multiplikationen så att vi multiplicerar hundratal, tiotal och ental med 8 var för sig. Sedan kan vi beräkna varje del var för sig.

$800+160+32=960+32=992$800+160+32=960+32=992

Vid division är det inte lika enkelt att hitta en enkel algoritm förutom kort division, trappan eller liggande stolen. Men om man inte vill ge sig in och göra beräkningen med hjälp av de algoritmerna så kan följande hjälpfrågor användas. Som exempel här använder vi att vi vill beräkna $\frac{675}{3}$6753 .

• Kan du hitta ett tal som multiplicerat med tre kommer närma 675? T.ex.  $220\cdot3=660$220·3=660, då fattas $15=5\cdot3$15=5·3
• Vad skulle du uppskatta divisionen till? Tex att den är större än $200$200 då $3\cdot200=600$3·200=600. Då fattas bara $\frac{75}{3}=25$753 =25.

Svaret är alltså $225$225, kan du lyckas lista ut det med de två hjälpfrågorna ovan?

Dubbelt-hälften strategin

Ibland är den så kallade dubbelt-hälften strategin bra att använda vid multiplikation. Den går ut på att en faktor dubbleras och den andra halveras. Vi kan använda den med exemplet $ 44 \cdot 4 $ för att ta ett första enkelt exempel. Så här används den:

$44$ dubbleras och $4$ halveras till

$ 88 \cdot 2 $

Nu gör vi samma sak en gång till och dubblerar $88$ och halverar $2$

$ 176 \cdot 1 $

Här blir det nu rätt enkelt att se resultatet, dvs att

$ 44 \cdot 4 = 176 \cdot 1 = 176$

Vi kan prova den med större tal också:

$36 \cdot 32$

$72 \cdot 16$

$144 \cdot 8$

$288 \cdot 4$

$576 \cdot 2$

Här kan stanna och räkna ut $576 \cdot 2 = 500\cdot2+70\cdot2+6\cdot2=1000+140+12=1152 $

Strategi för stora kvadrater

När du skall beräkna stora kvadrater så kan du utnyttja kvadreringsreglerna ibland. Det kan göra att du exempelvis kan beräkna kluringar som $15^2$ i huvudet! Låt mig visa hur.

Vi skriver om $15^2$ till $15=(10+5)^2$

Nu kan vi använda kvadreringsregeln $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ och skriver om till

$15=(10+5)^2=10^2+2 \cdot 10 \cdot 5 + 5^2$

Det här utvecklar vi vidare till

$10^2+2 \cdot 10 \cdot 5 + 5^2 = 100 + 100 + 25 = 225$

Alltså vet vi nu att $15^2 = 225$

Har du egna strategier?

Kanske har du nu läst detta och tänker att jag har minsann en bättre strategi? Det finns förstås massor av fler tekniker och tankesystem som kan göra oss till bättre huvudräknare.

Du är då varmt välkommen att kommentera här nedan och gärna ”avslöja” din strategi. Jag är av uppfattningen att det finns många vägar till samma mål i det här fallet. Det som fungerar bra för en person behöver nödvändigtvis inte fungerar lika bra för någon annan. Så ju fler alternativ som finns desto större möjlighet för dig och andra att hitta just din mest effektiva variant.