...
Kurser Alla kurser Min sida Min sida Provbank Mina prov Min skola Läromedel Blogg Guider Om oss Kontakt Nationella prov Gamla högskoleprov Läxhjälp matematik Priser
Sök Mitt konto Logga ut Elev/lärare
-registrering
Logga in Köp Premium Köp Premium Prova gratis
Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies.
EXEMPEL I VIDEON
Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
  Lektionsrapport   Hjälp

Frågor hjälpmarkerade!

Alla markeringar försvinner.

Ta bort markeringar Avbryt
Kopiera länk Facebook Twitter Repetera Rapportera Ändra status
KURSER  / 
Matematik 4
 /   Integraler

Volymintegraler

Endast Premium- användare kan rösta.
Författare:Simon Rybrand
Rapportera fel Redigera lektion Redigera text Redigera övning Redigera video
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se

Så beräknas en Volymintegral

I den här genomgången börjar vi att ge exempel på volymintegraler. Detta är ett bra sätt att använda integraler för att beräkna volymer som tidigare har varit svåra att beräkna. Själva idén bakom volymintegraler är att vi delar upp volymen i smala skivor med skivmetoden för att sedan summera alla dessa skivor i kroppen med hjälp av en integral.

Volymintegral

Det finns två olika sätt att använda sig av volymintegraler. Dels kan du skiva upp kroppen horisontellt (i x – led) eller lodrätt (i y – led). Det som då är viktigt att ha med sig när du gör detta är att när man gör det horisontellt skall variablerna i integralen beskrivas med $x$ och gör du det lodrätt skall variablerna skrivas med hjälp av $y$.

Metod för att beräkna volymintegraler

Det finns ett sätt att tänka strukturerat kring beräkning av volymintegraler. Det handlar övergripande om att:

  1. Börja med att först ta fram en formel för att beräkna volymen för en skiva.
  2. Detta gör du genom att först välja om du skall beräkna den i x – led eller i y – led. Om du beräknar den i x – led får du bredden Δx och i y – led bredden Δy på skivan. Ställ sedan upp en formel för att beräkna volymen för en skiva.
  3. Använd en integral för att beräkna volymen (summera alla skivors volym) för hela kroppen.

Ett exempel på beräkning av en volymintegral

Exempel 1

Beräkna volymen som bildas då linjen $ y=2x $ snurras runt x-axeln i intervallet $ 0≤x≤2 $

Lösning

Volymen för en skiva ges av

$ \pi ⋅ r^2 ⋅ Δx = $ $ \pi ⋅ y^2 ⋅ Δx = $ $ \pi ⋅ (2x)^2 ⋅ Δx= $ $\pi ⋅ 4x^2 ⋅ Δx $

Hela volymen ges av integralberäkningen

$ \int\limits_0^2 (\pi ⋅ 4x^2 ) dx  = $ $ \left[ \pi \frac{4x^3}{3} \right]_0^2 $

$ \pi \frac{4⋅2^3}{3} $ $ = \frac{32}{3}\pi \, v.e ≈ 10,667\pi \, v.e $

Exempel i videon

  • Linjen $y=x$ snurrar runt $x-axeln$ så att en kon bildas. Beräkna volymen i intervallet $ 1≤x≤3 $.
  • Funktionen $ y=x^2 $ snurrar runt y-axeln så att en volym bildas. Beräkna volymen i intervallet $ 0≤y≤4 $.

Kommentarer

John Winlund

Varför i tredje exemplet när vi byter ut x^2 så blir det bara y? I exempel två så blev ju y^2 = x^2 …

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej,
    Det är för att vi har funktionen $ y = x^2 $ så när vi har radien $x^2$ så är det samma sak som y.
    Här skall vi också integrera i y-led så vi behöver byta ut variabeln x till variabeln y.

    Eller tänker du på när vi tar den primitiva funktionen? Dvs att om $ f(x)=x $ så är den primitiva funktionen $ F(x) = \frac{x^2}{2} $.

Edin

Hur gör man när man byter ut X mot Y om funktionen är Y=5/(1+X)

    Simon Rybrand (Moderator)

    Du menar om du behöver lösa ut x från formeln
    $ y = \frac{5}{1+x} $?

    I så fall kan du göra enligt följande:
    $ y = \frac{5}{1+x} ⇔ $
    $ 1+x = \frac{5}{y} ⇔ $
    $ x = \frac{5}{y}-1 $

NISSE-MA

Om: pi*r^2*h = pi*y^2*deltax = pi*x^2*deltax
Varför är då…:
pi*r^2*h = pi*x^2*deltax = pi*y*deltay

Alltså varför blir det inte y i kvadrat ???

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej, det beror på att vi i uppgiften har funktionen $ y = x^2 $ och så när vi byter ut $ x^2 $ så byter vi ut det mot bara y.

    I det här fallet så beräknar vi volymintegralen i y – led så vi behöver skriva integralen med hjälp av variabeln y.

Daniel Fransson

Hej. Ni behöver ändra intervallet i det sista exemplet, så att det är Y och inte X mellan 0 och 4.

Mvh, Daniel.

    Simon Rybrand (Moderator)

    Hej Daniel och tack för påpekandet, vi ändrar detta omgående.


Endast Premium-användare kan kommentera.

██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████

e-uppgifter (4)

  • 1. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna volymen som bildas då $ y=\sqrt{x} $ roteras runt $x$-axeln i intervallet $0 ≤ x ≤ 2$.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 2. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna volymen som bildas då $y=e^x$y=ex roteras runt $x$-axeln i intervallet $0\le x\le1$0x1.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 3. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna volymen som bildas då $y=$y= $\frac{x^2+1}{2}$x2+12   roteras runt  $y$y-axeln i intervallet $1\le x\le3$1x3 .

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Så hjälper Eddler dig:
    Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
    Allt du behöver för att klara av nationella provet
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
    Så funkar det för:
    Elever/Studenter Lärare Föräldrar
    Din skolas prenumeration har gått ut!
    Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
  • 4. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (2/0/0)
    E C A
    B
    P 2
    PL
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Funktionen $ y=\sqrt{2x} $ roteras runt $x$-axeln. Bestäm volymen som bildas i intervallet $ 0 ≤ x ≤ 2 $.
    Svara utan enhet och använd ”pi” om du vill beskriva talet $\pi$.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

c-uppgifter (3)

  • 5. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Beräkna volymen av den ändliga kropp som bildas då $y=x^2-1$y=x21 roteras runt $x$-axeln.

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 6. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Funktionen $y=\frac{a}{x}$y=ax  roteras kring $x$-axeln i intervallet $1\le x\le2$1x2. Bestäm ett värde på konstanten $a$, så att rotationsvolymen som bildas får volymen $8\pi$8π v.e.

    Använd ”pi” om du vill beskriva talet $\pi$.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
  • 7. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/2/0)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    En funktion roteras kring $x$-axeln. En skiva av den rotationsvolym som bildas har arean $A\left(x\right)=x^2$A(x)=x2. Bestäm volymen som bildas i intervallet $1\le x\le4$1x4 .
    Svara utan enhet och använd ”pi” om du vill beskriva talet $\pi$.

    Svar:
    Ditt svar:
    Rätt svar:
    (Korrekta varianter)
    {[{correctAnswer}]}
    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...

a-uppgifter (1)

  • 8. Premium

    Redigera uppgift Rapportera fel Ändra till korrekt
    (0/0/2)
    E C A
    B
    P
    PL 2
    M
    R
    K
    M NP INGÅR EJ

    Använd en lämplig rotationsvolym för ta fram en allmän formel för volymen av en cirkulär kon där basradien $r$ är lika lång som höjden.

    (Här innebär A-nivån att ta fram formeln på ett korrekt sätt, inte att klicka i rätt svar. Öva på att göra en fullständig lösning med papper och penna.)

    Bedömningsanvisningar/Manuell rättning
    Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.
    • Rättad
    • +1
    • Rättad
    Dela med lärare
    Rättar...
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Så hjälper Eddler dig:
Videor som är lätta att förstå Övningar & prov med förklaringar
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se