Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 1b
/ Algebra
Begrepp i Algebra
Innehåll
I den här lektionen går vi igenom grunderna i algebra. Vi visar nyttan med att kunna räkna med variabler och går även igenom de grundläggande begreppen som är bra att känna till.
Vad är Algebra – En kort bakgrund
Algebra är en del inom matematiken. Ordet Algebra kommer från det arabiska ordet Al´djabr och betyder återförening eller koppling. Till vardags kan man höra folk kalla algebra för bokstavsräkning. Även om det inte är en helt korrekt översättning beskriver det till viss del vad algebra handlar om.
Tanken bakom algebra är att kunna beskriva storheter som längd, tid, hastighet och vikt med hjälp av bokstäver, så att vi kan teckna förhållanden mellan olika storheter, utan att känna till de exakta värdena på dem. Men hjälp av algebran kan man bestämma värden till det tidigare okända.
Viktiga grundläggande begrepp
I den här lektionen lär du dig grunderna om algebra och det är då viktigt att känna till några begrepp, ord i matematiken, som ofta används. Dessa begrepp kommer att återanvändas om och om igen inom algebrans alla områden. Så det är lika bra att sätta igång och plugga in dem utantill. Det kommer underlätta för dig framöver.
Begrepp inom algebra
Ett algebraiskt uttryck är en summa av termer där åtminstone en av termerna innehåller variabler. Några exempel på algebraiska uttryck är $3x+2$3x+2 , $x$x och $2x^2-3x+10$2x2−3x+10
Bokstaven $x$x i det algebraiska uttrycket ovan kallas för en variabel. Som man hör på namnet kan variablerna variera. Uttryckets värde är alltså beroende av variabelns värde som kan vara flera olika i samma uttryck. En variabel betecknas ofta med just en bokstav, men vilken det är kan variera. Tex är $a$$x$x, $y$y och $a$a vanliga beteckningar för variabeln.
Talet som multipliceras med en variabel kallas för en koefficient. Oftast står koefficienten precis framför variabeln och den utgör den konstanta faktorn i en variabelterm. T.ex. är $ 5 $ koefficient i uttrycket $ 5x^2 $ och $ 4 $ är koefficient i uttrycket $ 4x^3 $.
Eftersom att man i matematiken alltid strävar mot att använda så få tecken som möjligt i ett uttryck, väljer man att inte skriva ut tecken som ”inte behövs”.
Exempelvis finns ett ”dolt” multiplikationstecken mellan koefficienten och variabeln som inte skrivs ut. Skrivsättet $3x$3x är alltså detsamma som $3\cdot x$3·x. Och på liknande vis skriver man sällan ut koefficienten $1$1. Skrivsättet $x$x motsvarar underförstått $1\cdot x$1·x.
En ekvation är en likhet mellan två uttryck där minst ett av dem innehåller en variabel.
Ett ekvation kan innehålla flera variabler, men i denna kurs använde vi endast en variabel per ekvation. Står flera bokstäver i samma uttryck motsvarar alla utom en av dem konstanter.
Vid addition och subtraktion kallas de olika talen för termer. Samma gäller för algebraiska uttryck med skillnaden att termerna även kan innehålla variabler, alltså bokstäver. En algebraisk term kan alltså vara en kombination av siffror och bokstäver, men även innehålla termer som endast innehåller siffror. Några exempel på variabeltermer är $4x$4x , $-17x^3$−17x3 eller $\frac{4x^2}{3}$4x23 .
Termerna skiljs åt, precis som vid vanlig addition och subtraktion, av plus- eller minustecken. Det algebraiska uttrycket $5x^2+10x-2$5x2+10x−2 har tre stycken termer.
En term som bara innehåller siffror kallas för en konstantterm. Man kallar även termen endast för en konstant. Namnet ger egenskapen, nämligen att värdet på termen inte varierar utan är just konstant. Uttrycket $3x+4$3x+4 konstanten fyra och uttrycket $5x^2+4x-12$5x2+4x−12 konstanten minus tolv. Fyran och minustolvan är också uttrycken konstanttermer.
Vi tar nu några exempel på frågor kring begreppen.
Exempel 1
Hur många termer har det algebraiska uttrycket $x^4-2x^3+5x-6$x4−2x3+5x−6 ?
Lösning
I uttrycket så separeras termerna med $+$+ eller $-$−. Så det har sammanlagt fyra termer.
Exempel 2
Vilka är koefficienterna i uttrycket $3x^2+x$3x2+x ?
Lösning
Koefficienten motsvarar talet som multipliceras med variabeln. Oftast står koefficienten precis framför variabeln.
I uttrycket har den första termen, $3x^2$3x2 , koefficienten $3$3 och den andratermen, $x$x, har en osynlig koefficient $1$1.
Observerar alltså att alla variabler utan koefficient faktiskt har en koefficient $1$1. Bara att den är ”osynlig”.
Vi kan multiplicera alla termer med talet $1$1 utan att ändra värdet på termen. Om variabeln multipliceras med talet $1$1, ger produkten samma värde som variabelns värde. Vikten av att skriva ut ettan är därför obefintlig, förutom när man ska ange koefficienten eller faktorisera uttryck som vi ska göra framöver.
Som vi tidigare nämnde väljer därför matematiken det skrivsätt som innehåller så få tecken som möjligt utan att lämna tolkningsutrymme för missuppfattningar, och hoppar därmed över att skriva ut ettan som koefficient. Men glöm aldrig att den finns där, hur osynlig den är!
Exempel 3
Vilken är konstanten i uttrycket $3x^3-x-15$3x3−x−15 ?
Lösning
I uttrycket har vi bara en konstant, nämligen konstanten $-15$−15 då den termen inte innehåller någon variabel.
Observera att det sista minustecknet i stället kan ses som addition med minus femton, så här $3x^3-x+\left(-15\right)$3x3−x+(−15). Omskrivet på detta sett ser man tydligare att konstanttermen är just minus femton.
Bra att veta är att vid lite krångligare uppgifter kan en koefficient även betecknas med en bokstav som då motsvarar ett konstant värde. Detta är vanligt exempelvis när vi ska tillämpa matematiken med en formel eller annan matematiskt samband.
Det algebraiska uttryckets grad
Det är viktigt att kunna se vilken grad som ett algebraiskt uttryck eller term har. Detta hjälper dig att senare kunna förenkla och utveckla algebraiska uttryck, avgöra antalet möjliga lösningar till en ekvation samt skissa grafers utseenden.
Det som anger det algebraiska uttryckets grad är den största exponenten någon variabel i uttrycket har. Med exponenten menas den siffra som man upphöjer en variabel med. Ett uttryck kan bara ha en grad även om det finns flera exponenter, det är alltså den största exponenten som anger graden.
Nedan följer ett antal exempel där vi förklarar vad uttryckets grad är.
Exempel 4
Vilken grad har uttrycken
a) $ 2x^3 + x+5 $
b) $ x + 9000 $
c) $ a^{4} + a^{2}+3^{7}$
Lösning
a) Uttrycket $ 2x^3 +x+ 5 $ har graden tre, eftersom att de är den högsta exponenten i en variabelterm.
b) Vi vet att $x= x^1 $. Uttrycket $ x + 9000 $ har därför graden ett, eftersom att den högsta exponenten som tillhör en variabelterm är den ”osynliga” ettan i $x$.
c) Då den största exponenten som tillhör en variabel är fyra, är graden fyra. Observera att även om det finns en exponent med ett större värde, sju i detta exempel, så anger inte det graden då den inte tillhör en variabel.
Följande områden är viktiga inom algebra men behandlas inte denna lektion utan i kommande lektioner hos oss. Men vi har här en sammanfattning av dessa områden med länkar till fördjupningar.
Så beräknar du ett algebraiskt uttrycks värde
När du skall beräkna ett algebraiskt uttrycks värde så byter du ut en eller flera bokstäver mot tal. Då kan du få ut endast ett tal av det och det kallas för ett algebraiskt uttrycks värde. Fördjupa dig om hur du beräknar värdet av algebraiska uttryck.
Förenkla algebraiska uttryck
När man förenklar algebraiska uttryck så lägger du samman de termer i uttrycket som är av samma sort. Termer är av samma sort om de har samma variabler och är av samma grad. Fördjupa dig om förenkling av algebraiska uttryck.
Utveckla algebraiska uttryck
När man utvecklar algebraiska uttryck så multiplicerar man ihop parenteser och utvecklar exponenter, t.ex. om en parentes är upphöjd med 2. Fördjupa dig om att multiplicera och dividera algebraiska uttryck.
Faktorisering
När ett algebraiskt uttryck faktoriseras så delar man upp uttrycket i så kallade faktorer. Två tal som multipliceras med varandra kallas för faktorer. Om man då delar upp en produkt i dess faktorer så kallas det för en faktorisering eller att man bryter ut något ur ett uttryck.
Algebra och ekvationslösning
Ett mycket stort och viktigt område inom algebra är ekvationer och ekvationslösning. Här söker du något okänt i en likhet mellan ett vänsterled och ett högerled så att dessa är lika med varandra. Det finns många olika typer av ekvationer där den första typen som du lär dig kallas för linjära ekvationer.
Exempel i videon
- Rutger och hans morsa har gjort fruktsallad. Rutger köpte tre bananer och en mango i affären och för det betalade han $24$24 kronor av morsans pengar. Rutger kommer ihåg att bananerna kostade $5$5 kronor styck men han minns inte vad mangon kostade. Beskriv och ta reda på detta med hjälp av algebra.
- Beskrivning av $x,2x,3x^3$x,2x,3x3 och $-2x^3$−2x3.
- Ange koefficient, variabel, exponent och grad för $3x^3+2x-2$3x3+2x−2.
- Vilka är koefficienterna i uttrycket $4x⁴+3x⁵$4x⁴+3x⁵ ?
- Vilken grad har uttrycken a) $2000a+1000$2000a+1000 b) $5x^3+10-2x⁹$5x3+10−2x⁹
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (12)
När du skriver potenser på Eddler kan du skriva tex $x^2$x2 som x^2.
Gå till lektionen Potenser och Potenslagar om du vill få mer information om hur du gör det.
-
1. Premium
Vad i uttrycket $4x^2+7$4x2+7 är variabeln?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra algebraiskt uttryck begrepp variabelRättar...2. Premium
Vad i uttrycket $4x^2+7$4x2+7 är konstanten?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra algebraiskt uttryck begrepp konstantRättar...3. Premium
Vad i uttrycket $4x^2+7$4x2+7 är en koefficient?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra algebraiskt uttryck begrepp koefficientRättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!4. Premium
Vad i uttrycket $4x^2+7$4x2+7 är en variabelterm?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra algebraiskt uttryck begrepp variabel variabeltermRättar...5. Premium
Vad i uttrycket $4x^2+7$4x2+7 är en konstantterm?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra algebraiskt uttryck begrepp konstant konstanttermRättar...6. Premium
Hur många termer har uttrycket $4a^{12}-a^2+a+8$4a12−a2+a+8?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...7. Premium
Vilken grad har uttrycket $x^2+6x-2000$x2+6x−2000 ?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra algebraiskt uttryck exponent grad gradtalRättar...8. Premium
Vilken grad har uttrycket $4x-8$4x−8 ?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra algebraiskt uttryck exponent grad gradtalRättar...9. Premium
Vilken grad har uttrycket $5000x^7-x^{12}$5000x7−x12 ?
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...10. Premium
Ange alla koefficienter i uttrycket $3x^2+6x+1000$3x2+6x+1000
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra algebraiska uttryck begrepp koefficient variabelRättar...11. Premium
Ange alla exponenter i uttrycket
$x^3+x^2+2x$x3+x2+2x
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Algebra algebraiskt uttryck begrepp exponentRättar...12. Premium
Ange koefficienten till andragradstermen i uttrycket
$f\left(x\right)=5+4x-3x^2$ƒ (x)=5+4x−3x2
Svar:Ditt svar:Rätt svar:(Korrekta varianter)Ger rätt svar {[{correctAnswer}]}Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...Din skolas prenumeration har gått ut!Din skolas prenumeration har gått ut!Redigera uppgift Stäng Lägg till uppgift Det finns inga befintliga prov.
-
{[{ test.title }]}
●
Namnet måste vara 4-60 tecken långt. Rapportera fel Lektion
{[{lessonData.title}]}
Kategori
{[{reportType}]}
ID
{[{reportId}]}
Beskriv med minst 10 tecken. Byt kurs Test i 7 dagar för 9 kr.
Det finns många olika varianter av Lorem Ipsum, men majoriteten av dessa har ändrats på någotvis. Antingen med inslag av humor, eller med inlägg av ord som knappast ser trovärdiga ut.
Köp Premium Avbryt Din skolas prenumeration har gått ut!Övningsuppgifter ej tillgängliga!Stäng Din skolas prenumeration har gått ut!Exempel i videon. 
Logga in
viaeller medGör om alla uppgifter All svar raderas. Detta går inte att ångra detta.
Radera Avbryt Genom att använda den här sidan godkänner du våra användarvillkor, vår integritetspolicy och att vi använder cookies. -
Jessica Hajdu
jätte kul sätt att lära sig på
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Vad kul och höra, Jessica!
Lycka till med matten.
Hyeseung Jeong
Hej, Jag vet rätt svaret, men jag kan inte skriva exponenten.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Hyeseung,
i lektionen kring Potenser hittar du instruktioner om hur du ska skriva potenser på datorn.
På Eddler kan du använda dig av skrivsättet x^2 för att skiva $x^2$.
David Lidwall Valentin
Det går inte att få in ”upphöjt till 2” i svars rutan
Anna (Moderator)
Hej David,
för att skriva ”upphöjt till” i kortsvartfrågor kan du använda skrivsättet nedan.
$4^2$ skrivs 4^2
$x^2$ skrivs x^2
$52^{3x}$ skrivs 52^(3x)
Du skriver ”taket” ^ genom att hålla inne shift samtidigt som du trycker på tangenten med symbolen på, ofta hittar du den strax till höger om tangenten Å.
Har du en chromebook brukar den skriva ut en liten exponent när du tryckt på shift och ^ och sedan skriver den siffra du önskar ha i exponenten.
Mohammad Reza Dehghanfar
Ange koefficienten till andragradstermen i uttrycket
f(x)=5+4x−3x²
Hej
Varför koefficienten 3 är fel?
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej,
koefficienten är ”talet framför $x^2$-termen”. Vi ser då att det är $-3$ och inte $+3$.
Hedda B
mitt svar omformatteras till ”4×2” utan upphöjd 2a oavsett vad jag gör, och därmed blir mitt svar fel. kopierar och klistrar in från uttrycket i frågan men det blir ändå fel.
Anna Eddler Redaktör (Moderator)
Hej Hedda,
prova att skriva ut symbolen ^ innan exponenten. Du gör det genom att trycka på shift+ ^ (knappen bredvid Å)
Då ska det ge rätt.
Hör av dig igenom det inte fungerar.
Simon De Reuver
Hej, när jag ska lösa denna fråga vill jag skriva:
Teckna ett uttryck som motsvarar värdet hälften av nio mer än tre gånger värdet av x.
Ditt svar: 3x+9/2.
Men detta godtas inte och jag ska istället skriva (3x+9)/2 eller en annan variant, varför går det inte att svara utan parenteser? Varför ska jag använda parenteser, vad gör det för skillnad?
Wolf
Hur skriver man upphöjt till?
Man ska svara med 4x och sedan upphöjt till 2 men det sista går inte att skriva som upphöjd till?
Anna Admin (Moderator)
Hej,
genom att hålla inne shift och samtidigt trycka på tangenten precis till höger om Å skriver du ett så kallat ”tak”.
Det ser ut så här ^.
Det är tecknet man använder för upphöjt till.
På vissa datorer och digitala hjälpmedel, till exempel Chromebooks,flyttas markören i stället automatiskt upp och nästa tecken du skriver hamnar i exponenten. Men vårt system klarar av att tolka tecknet ^ som upphöjt till.
Tänk bara på att om du vill ha fler tecken, eller siffror, i exponenten behöver du skriva en parentes kring alla tecken du vill ha i exponenten.
Ex $x^{12}$ får du skriv som x^(12). Annars tolkas det som $x^1$2
Karl
Hej! Förstår inte riktigt hur jag ska räkna ut fråga 8:
”Här är ett exempel på priset för ett telefonabonnemang.
Samtalskostnad: 0,50 kr
Minutkonstnad: 0,10 kr / min
Vilket uttryck ger dig den totala snittkostnaden per minut?”
Finns det någon video som förklarar detta mer? Då jag tycker att svars altenativ (0,50+0,10x) stämmer?
Det korrekta svaret (0,50 + 0,10x / x) :
När jag testar X med olika siffror (0,50 + 0,10x / x) får jag:
X: 1 = 0,6 (vilket verkar stämma)
X: 2 = 0,35. (Men borde inte detta bli 0,7?)
X: 3 = 0,26. (borde bli 0,8?)
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Tänker du på att det inte är den totala kostnaden som söks utan medelpriset per minut?
Om vi söker den totala kostnaden så denna $0,50+0,10x$ men om vi skall ha medelpriset så måste vi även dela med det totala antalet ringda minuter.
Karl
Hej
Ok, jag ser att jag även måste ha räknat fel när jag testade de olika värdena då snittpriset alltid kommer vara 0.6kr?
Kan man tänka att så fort frågan efter medelkostnaden frågas om, kommer alltid svaret på uttrycket vara en uppställning av ”delat med”?
Simon Rybrand (Moderator)
Ja du tänker åt rätt håll. Ibland kan man förstås förenkla det hela så att det inte blir någon division kvar men från början så behöver man ställa upp en division.
michaela padellaro
skumt å få fel på fråga 1 och 2 när jag svarat rätt…
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Hur skrev du svaret?
Det kan vara lite känsligt när det är textsvar som skall kollas.
Joakim Dalfors
Hej!
På fråga 5 hävdar jag att erat svarsalternativ är fel då konstanttermen 2 kan sägas ha exponenten 0 (för variabeln x och det är ju den ni syftar på) och då är alternativet 2, 1, 0 det korrekta.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Kan till viss del hålla med om detta att det skulle kunna sättas ut en variabelterm 2x^0 = 2.
Vi gör ändå så att vi formulerar om denna fråga en del för att detta sätt att tolka uppgiften inte skall bli fel, tack för att du kommenterade detta.
Cherrytreelane
Er fråga ”Ett företag har köpt in 220 laptops för 5980 kr och 44 surplattor och totalt betalat 1 443 200 kr för inköpet. Vilken ekvation kan beskriva kostnaden för en surfplatta?” är lite luddig. Det borde stå att 5980 kr är styckpriset per laptop. Och vad 44 ”surplattor” är det jag inte 😉
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det håller vi verkligen med om. Vi har förtydligat formuleringen där! Tack för din kommentar.
Pedro Veenekamp
Tycker även att frågan ger möjlighet för två svar … där ett är mer fullständigt än det andra. Uttrycket 220*y+44*x=1443200 är också korrekt … trotts att det blir mer komplett med priset 220*y=1315600 för varje laptop så klart.
Endast Premium-användare kan kommentera.