Lägg till som läxa
Lägg till som stjärnmärkt
Frågor hjälpmarkerade!
Alla markeringar försvinner.
KURSER /
Matematik 4
/ Derivata
Repetition Derivata
Innehåll
Innebörden av derivata
Vi kan säga att vi jobbar med att fördjupa vår förståelse för funktioner och hur de beter sig när vi jobbar med derivata. Derivata är ju egentligen bara ett ord för att beskriva hur en funktion förändras vid en speciell tidpunkt. Man kan beskriva Derivata både som förändringshastigheten i en punkt (tidpunkt) eller som lutningen för en tangent till funktionens kurva. I den här videogenomgången går vi igenom ett antal olika exempel för att göra det så tydligt och lättförståeligt som möjligt att förstå vad derivata kan vara. Derivata är nämligen nära kopplat till verkliga händelser och situationer. Derivata har massor av användningsområden i alltifrån Kemi, Fysik och Biologi till ekonomi.
Så betecknas Derivata
En funktion beskriver man med matematiskt språk med $f(x)$. Det kan t ex vara $f(x) = 3x + 1$. När man vill beskriva derivatan till den funktionen så använder man beteckningen $f ’(x)$ (uttalas ”f prim av x”). Det vi då menar är förändringshastigheten (derivatan) av funktionen.
Så definieras Derivata
Själva definitionen av derivata utgår ifrån ett gränsvärde som definieras enligt.
Derivatans definition
$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $
De vanligaste deriveringsreglerna
Nedan följer ett antal deriveringsregler som är bra att känna till, några av dessa kommer att gås igenom i kommande genomgångar.
Derivatan av en konstant är noll.
Om $ f(x) = a \cdot x^k $ är $ f'(x) = k \cdot a \cdot x^{k-1} $.
Du får derivera ”term för term” i ett polynom.
$ y=a^x $ har derivatan $ y´=a^x \ln a $
$ y = \ln x $ har derivatan $ y´=\frac{1}{x} $
$ y = \sin x $ har derivatan $ y´=\cos x $
$ y = \cos x $ har derivatan $ y´=-\sin x $
$ y = \tan x $ har derivatan $ y´=\frac{1}{\cos^2 x} $
$ y = f(x)⋅g(x) $ har derivatan $ y´=f´(x)⋅g(x)+f(x)⋅g´(x) $
$ y = \frac{f(x)}{g(x)} $ har derivatan $ y´=\frac{f´(x)⋅g(x)-f(x)⋅g´(x)}{(g(x))^2} $
Exempel i videon
- Exempel på beskrivning av hur derivatan av höjden förändras när en boll skjuts upp i luften.
- Derivera $ f(x)=2 $
- Derivera $ f(x)=-2000 $
- Derivera $ f(x)=x $
- Derivera $ f(x)=x^2$
- Derivera $ f(x)=3x^3$
- Derivera $ f(x)=2x^2+3x-10 $
Kommentarer
██████████████████████████
████████████████████████████████████████████████████
e-uppgifter (5)
-
1. Premium
Vad är derivatan av funktionen $f(x)=x^3$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
2. Premium
Låt $f(x)=3x+2$, vad är $f'(x)$?
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
3. Premium
Låt $f(x)=3x^3+2x^2-10x+4$. Beräkna $f´(x)$.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
4. Premium
Låt e $f(x)=$ƒ (x)= $\frac{5}{x^3}$5x3 . Beräkna $f´(x)$ƒ ´(x).
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
5. Premium
Låt $f(x)=2x^4-x^2+12x+e^x$. Beräkna $f”(x)$.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
c-uppgifter (3)
-
6. Premium
Beräkna $f´(x)$ƒ ´(x) då $f(x)=4\cdot2^{2x}-$ƒ (x)=4·22x−$\sqrt{\frac{4}{x^2}}$√4x2
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Liknande uppgifter: Derivata exponentialfunktioner potensfunktionRättar... -
7. Premium
Derivera $x^2$ genom att använda derivatans definition.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar... -
8. Premium
Derivera $\frac{1}{x}$1x genom att använda derivatans definition.
Bedömningsanvisningar/Manuell rättningRätta själv Klicka i rutorna och bedöm ditt svar.-
-
Rättad
-
+1
-
Rättad
Rättar...
Leon Stenberg Wadstrom
Hej,
Denna sida har varit jättehjälpsam, bara en snabb fråga. På uppgift 8 i förklaring så står det att -h/x(x+h) gånger 1/h blir -1/x(x+h).
Jag förstår inte riktigt hur -h gånger 1 blir -1 och hur h gånger x(x+h) blir x(x+h)
Tack så mycket för hjälpen.
Leon
holm.nathalie
Hej!
Om man har f prim dvs. f ’ (y) = roten ur y så kommer jag så långt att:
roten ur y är samma sak som y^1/2
sen måste man plussa på 1
y = y^1+ 1/2 = y^3/2
men sen då?? Tar jag ned 3/2 framför y och delar med 3/2 så tar ju de ut varandra?
Tacksam för svar 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Svarar gärna men vilken uppgift är det som du jobbar med?
Någon från övningarna här eller någon annanstans? Kan du skriva ned frågan här?
RasmusP
Nu är det något fel med alla tecken. Det står $ osv istället för talen på frågorna.
”
Vad är derivatan av x3x3?
x^3$
$
x2x2
x^2$
FÖRKLARING
I formelsamlingen kan vi se att derivatan av xaxa är a⋅xa−1a⋅xa−1.
Tillämpat på frågan får vi att derivatan av x3x3 är:
\cdot x^{3-1} = 3x^2$
”
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Detta kan bero på att du har javascript (programmeringsspråket som gör om formlerna) avstängt i din webbläsare. Testa gärna med en annan webbläsare och hör av dig om det fortfarande inte fungerar!
Jonathan Sundström
Fråga 4 verkar inte stämma, derivatan av sin(x) ska väl vara cos(x) och inte cos2(x) som den rättar som rätt svar.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, tänk på att du här måste använda dig av produktregeln. Derivatan av sin(x) är cos(x) men eftersom du inte deriverar cos(x) så får du $cos(x) \cdot cos(x) = cos^2x$
Mikael
Fråga fyra har två likadana alternativ 1 och 3.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej och tack för kommentaren, det är korrigerat i testet.
Leila
Hej!
Jag svarade rätt på alla frågor men det visas 80% rätt!
Det inte stämmer.
Hälsningar
Leila
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, vilken fråga är det som du får fel på?
Endast Premium-användare kan kommentera.