Komplexa tal - Imaginära tal

På den reella tallinjen motsvarar varje punkt ett specifikt reellt tal. Mängden av alla reella tal ”fyller” hela tallinjen, utan undantag. Men trots detta finns det ekvationer som saknar lösningar om vi endast söker dem på den reella tallinjen. 

För att lösa ekvationer på formen $x^2 = a$ där  $a<0$a<0 måste vi använda oss av komplexa tal. Namnet härstammar från latinets complexus, som översätts sammansatt. De komplexa talen är sammansatta av reella tal och imaginära tal. 

Under 1500-talets början gjordes de första beräkningarna med komplexa tal, även om matematikerna som utförde beräkningarna ansåg att kvadratrötter ur negativa tal egentligen inte fanns. Man sa att talen var inbillade, imaginära, till skillnad från de verkliga talen, de så kallade reella. 

Även om man sedan länge accepterat att komplexa tal är precis lika verkliga som de reella talen lever dess namn kvar.

Observera att talet $i$i inte ingår i imaginärdelen. Utan bara talen framför.

Mängden av komplexa tal en $\mathbf{C}$, kan definieras med hjälp av enbart reella tal, med tillägget att $i$i har egenskapen $i^2=-1$i²=−1. Till följd av det kan räkneregler med de fyra räknesätten tillämpas i likhet med de reella talen. Men mer om det i kommande lektioner.

I Matematik 2 fördjupade vi oss i hur man löser andragradsekvationer. En av metoderna vi introducerade är kvadratsots metoden.

Lösningsmetoden går ut på att man drar roten ur båda leden för att finna ekvationens rötter. I vissa fall saknade ekvationen reella rötter. De resultaten fick vi när vi inte kunde hitta ett reellt tal, vars kvadrat blev negativ.

Detta var en av anledningar till att man konstruerade en ny typ av tal. Man ville nämligen kunna lösa ekvationer, av typen $x^2 = a$ där  $a<0$a<0. 

För att beteckna de nya talen införde man symbolen $i$i med egenskapen att $ i^2 = -1$. Denna nya typ tal, $bi$bi, kallade man för imaginära tal. 

Med hjälp av det nydefinierade talet $i$i  kan vi nu lösa ekvationer på formen $x^2 = a$ där $a<0$a<0.

Skulle vi välja att skriva rötterna som komplexa tal får vi  $z_1=i$z₁=i och  $z_2=-i$z₂=−i. 

För denna lösning gäller att att realdelen $\text{Re }z=0$Re z=0 och imaginärdelen $\text{Im }z=\pm1$Im z=±1.  När realdelen i ett komplext tal saknas kallas talet för ett imaginärt tal.

Talet $ z = -2i $ saknar en realdel och är därmed ett imaginärt tal, eller ett rent imaginära tal.

De reella talen utgör en delmängd av de komplexa talen. Det innebär att alla reella tal kan skrivas som komplexa tal. Det görs genom att adderar ett imaginärt tal $0i$0i till det reella talet.

Ett komplext talplan är ett bra sätt att visualisera de komplexa talen. Den horisontella axeln representera alla reella tal och den lodräta axeln alla imaginära tal. Det komplexa talet $ w = 3 + 2i $ kan då representeras genom att punkten med koordinaterna $(3, 2)$ markeras i det komplexa talplanet.

Som vi nämnde i lektionen om Tal och Talsystem har matematiken utvecklas genom historien. Nya upptäckter och behov medför upptäckten, eller uppfinnandet, av nya tal.  Talen kan delas upp i bland annat följande delmängder.

Vissa av talen finns med i flera olika grupperingar. Inom mattematiken kan man kalla en mängd tal som även ingår i en annan mängd för delmängder.

Vill du repetera dessa talmängder mer grundläggande så finns som sagt mer info om varje mängd i lektionen om tal.

Som vi sett här är det fullt möjligt att definiera eller konstruera nya typer av tal, så länge de besitter de logiska regler som krävs för att man skall kunna räkna med dem. Så det är bara att sätta igång.

• Lösning av ekvationen $ x^2 = -1 $.
• Markering av $ z = 2+3i $ och $z = -2-i$ i det komplexa talplanet.
• Markera z = 2 – 3i i det komplexa talplanet.
• Ange Re z och Im z då z = -4 – 9i.
• Lös ekvationen x² + 4 = 0